Wstęp do topologii MAP1212

Wstęp do topologii MAP1212
Wykład 1
Metryka. Przestrzeń metryczna. Kule. Zbieżność ciągów.
1. Wstęp
Na analizie matematycznej 1 zgłębialiśmy narzędzia znane jako rachunek różniczkowy
i całkowy. Czyli pochodne i całki. Oba te pojęcia (jak i wiele innych, np. ciągłość) mają
w podstawach pojęcie granicy. Pochodna to granica pewnej funkcji (ilorazu różnicowego),
a granicę funkcji Heine definiuje przy użyciu granic ciągów. Całka Riemanna to też pewna
granica, ale granica ciągu uogólnionego. Choć można ją też wysłowić odwołując się do
granic ciągów (sum całkowych). Uznajmy więc roboczo, że naszym pierwszym celem jest
uogólnienie pojęcia granicy ciągu.
Przypomnijmy, że ciąg liczb rzeczywistych (xn ) zbiega do g, gdy
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − g| < ε
Oznacza to, że dalekie wyrazy ciągu leżą coraz bliżej g. Co znaczy „coraz bliżej”? Gdzieś na
początku leży informacja, że odległość między dwoma liczbami x, y ∈ R dana jest wzorem:
d(x, y) = |x − y|.
Zadanie: przeszczepić pojęcie odległości na inne przestrzenie.
2. Metryka. Przestrzeń metryczna. Kule.
Definicja 1. Metryką na zbiorze X nazywamy funkcję dwóch zmiennych d : X×X → [0, ∞)
spełniającą warunki
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
2. ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x)
3. ∀x, y, z ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nierówność trójkąta).
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Twierdzenie 1. Podzbiór Y przestrzeni metrycznej (X, d) tworzy przestrzeń metryczną z
tą samą metryką obciętą do Y .
Będziemy pisać (Y, d) ignorując operację obcięcia metryki (ale niektóre źródła piszą
(Y, d|Y ), definiując d|Y : Y × Y → [0, ∞, d|Y (x, y) = d(x, y) dla x, y ∈ Y ). Parę (Y, d)
będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni metrycznej (X, d).
Przykłady:
1. Przestrzeń X = R z metryką d(x, y) = |x − y| – aksjomaty metryki wynikają ze
znanych własności wartości bezwzględnej.
p
2. Przestrzeń X = R2 z metryką d2 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , gdzie x = (x1 , x2 ),
y = (y1 , y2 ) – dwa pierwsze aksjomaty są oczywiste. Ostatni ma brzmienie:
p
p
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ≤ (x1 − z1 )2 + (x2 − z2 )2 + (z1 − y1 )2 + (z2 − y2 )2
1
Podstawiając: x1 − z1 = A1 , x2 − z2 = A2 , z1 − y1 = B1 , z2 − y2 = B2 , otrzymujemy
równoważną postać:
q
q
p
(A1 + B1 )2 + (A2 + B2 )2 ≤ A21 + A22 + B12 + B22 .
Możemy porównywać kwadraty obu stron, po uproszczeniach otrzymując do udowodnienia:
q
q
A1 B1 + A2 B2 ≤ A21 + A22 · B12 + B22
Nierówność ta nie jest oczywista tylko wtedy, gdy obie strony są dodatnie. Ale
wtedy również możemy porównać kwadraty, co prowadzi nas do zawsze prawdziwej
nierówności:
2A1 A2 B1 B2 ≤ A21 B22 + A22 B12
3. Przestrzeń X = R2 z metrykami d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | (metryka taksówkowa)
oraz d∞ (x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |} (metryka maksimum) – dowód aksjomatów
wynika z własności wartości bezwzględnej.
4. Analogiczne metryki można zdefiniować w przestrzeni Rn – gdy x = (x1 , ..., xn ),
y = (y1 , ..., yn ) kładziemy:
v
u n
n
X
uX
d1 (x, y) =
|xi − yi |,
d2 (x, y) = t (xi − yi )2
i=1
i=1
d∞ (x, y) = max |xi − yi |
i=1,...,n
Zadanie domowe: pokazać, że d1 , d2 , d∞ określają metryki w Rn .
5. Niech X będzie dowolnym zbiorem (może, lecz nie musi być to Rn ). Metryka dyskretna
zadana jest wzorem
(
1 gdy x 6= y,
d(x, y) =
.
0 gdy x = y
6. W R określmy d(x, y) = |x − y| + | sign x − sign y|. Na ćwiczeniach udowodnimy, że
jest to metryka (zwana metryką „mur”).
7. W przestrzeni N ∪ {0} będziemy zwykle rozważać dwie metryki: odziedziczoną z R,
1
tzn. d(m, n) = |m − n|, oraz zadająca topologię ciągu n1 , tzn. ρ(m, n) = | m
− n1 | dla
1
m, n 6= 0, ρ(0, m) = m dla m 6= 0, ρ(0, 0) = 0.
3. Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Definicja 2. Kula otwarta o środku w x0 i promieniu r to zbiór:
K(x0 , r) = Kr (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} .
Kula domknięta to zbiór:
K̄(x0 , r) = K̄r (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r} .
2
Przykłady:
1. Kule w R w naturalnej metryce to odcinki: K(x0 , r) = (x0 − r, x0 + r).
2. Kule w R2 z metryką d2 to koła: K (x0 , y0 ), r = {(x, y) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r2 }.
3. Kule w R2 z metrykami d1 oraz d∞ to odpowiednio umieszczone kwadraty.
Figure 1: Kula K (0, 0), 1 w metryce taksówkowej
Figure 2: Kula K (0, 0), 1 w metryce maksimum
4. W metryce dyskretnej w przestrzeni X mamy:
K(x, r) = {x} dla r ≤ 1,
K(x, r) = X dla r > 1
K̄(x, r) = {x} dla r < 1,
K(x, r) = X dla r ≥ 1
3
5. Bardziej zaawansowany przykład: standardowa metryka w C([0, 1]): d∞ (f, g) =
kf − gk∞ = supx∈[0,1] |f (x)−g(x)|. Zauważmy, że, na mocy twierdzenia Weierstrassa,
supremum jest zawsze osiągane, bo dla f ,g ciągłych funkcja |f (x) − g(x)| jest ciągła.
Kula o środku w f i promieniu r składa się z funkcji, których wykresy leżą w pasie
{(x, y) : f (x) − r < y < f (x) + r}.
R
6. Inna metryka w C([0, 1]): d1 (f, g) = |f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w
poprzedniej metryce!
Definicja 3. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę
d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}
(własności na ćwiczeniach)
Definicja 4. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór
K (A) = {x : d(x, A) < }.
4. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Ciąg elementów przestrzeni metrycznej (X, d) to funkcja x : N → X. Piszemy x(n) = xn .
Definicja 5. Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0.
Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x.
Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0
zachodzi xn ∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać.
4