wzory skróconego mnoenia, przekształca

Program kursu wyrównawczego z Matematyki (dr Paweł Jakubczyk, dr Krzysztof Kucab)
Wymagania wstępne: elementarna wiedza z matematyki na poziomie szkoły średniej, tj.:
wzory skróconego mnożenia, przekształcanie wyrażeń algebraicznych,
własności funkcji elementarnych, elementy geometrii i rachunku
prawdopodobieństwa.
Cele przedmiotu: (efekty kształcenia i kompetencji): usystematyzowanie wiadomości ze
szkoły średniej i przygotowanie studenta do odbioru treści wykładów
uniwersyteckich, głównie z analizy matematycznej, ale także z algebry
liniowej oraz fizyki elementarnej. Po zakończeniu kursu student posiada
wiedzę matematyczną pozwalającą mu przystąpić do studiowania zagadnień
fizycznych wymagających aparatu matematycznego na poziomie wyższym.
W szczególności: student posiada umiejętność przekształcania wyrażeń
algebraicznych, operowania zapisem wykładniczym liczby, radzenia sobie
z wykonywaniem obliczeń bez pomocy kalkulatora; umie badać własności
funkcji; potrafi rozwiązywać proste układy równań i nierówności; posiada
wiedzę na tematy związane z trygonometrią, geometrią płaską, analityczną
oraz
stereometrią;
potrafi
operować
pojęciami
związanymi
z kombinatoryką.
Treści merytoryczne przedmiotu
Liczba godzin
SEMESTR I
1. Podstawowe wiadomości.
−
−
−
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory. Przybliżenia dziesiętne liczby
rzeczywistej. Usuwanie niewymierności z mianownika. Zamiana ułamka
okresowego na zwykły. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Wyznaczanie największego wspólnego podzielnika i najmniejszej wspólnej
wielokrotnej pary liczb naturalnych.
Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym. Działania na wyrażeniach
algebraicznych z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia. Obliczenia
procentowe.
Wartość bezwzględna i jej własności. Interpretacja geometryczna. Równania
i nierówności z wartością bezwzględną.
4
2. Funkcje – własności podstawowe
−
Funkcja i jej wykres. Szczególne własności funkcji. Funkcja liniowa. Równania
i nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Algebraiczne i geometryczne
rozwiązywanie układów równań liniowych z dwoma niewiadomymi. Zadania
tekstowe prowadzące do równań i układów równań liniowych.
4
3. Funkcja kwadratowa
−
−
Funkcja kwadratowa. Miejsca zerowe. Wykres funkcji kwadratowej. Postać ogólna,
iloczynowa i kanoniczna funkcji kwadratowej. Równania i nierówności kwadratowe.
Wzory Viete'a. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem. Wartość
najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
4
4. Wielomiany
−
−
Wielomiany. Działania na wielomianach. Rozkład wielomianu na czynniki
z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia i przez grupowanie wyrazów.
Miejsca zerowe wielomianu. Dzielenie wielomianu przez dwumian. Twierdzenia
Bezouta. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach
całkowitych. Równania i nierówności wielomianowe.
4
5. Wyrażenia wymierne
−
Działania na wyrażeniach wymiernych. Wyznaczanie dziedziny i miejsc zerowych
wyrażeń wymiernych. Rozwiązywanie prostych równań i nierówności wymiernych.
Proporcjonalność odwrotna.
4
6. Funkcje elementarne
−
−
−
−
Funkcja wykładnicza i jej własności. Rozwiązywanie równań i nierówności
wykładniczych.
Logarytmy. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. Podstawowe własności logarytmów.
Rozwiązywanie prostych równań i nierówności logarytmicznych.
Rozwiązywanie zadań praktycznych związanych z funkcją wykładniczą
i logarytmiczną.
Powtórzenie wiadomości o funkcjach. Rozwiązywanie zadań różnych.
6
7. Ciągi liczbowe
−
Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Zadania z treścią związane z
ciągami arytmetycznym i geometrycznym. Wyznaczanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
zadanego wzorem rekurencyjnym.
RAZEM
4
30h
SEMESTR II
8. Funkcje trygonometryczne
−
−
−
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Wartości funkcji
trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni. Miara łukowa kąta. Funkcje
trygonometryczne
dowolnego
kąta.
Wykresy
i
własności
funkcji
trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.
Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.
Tożsamości trygonometryczne.
Wzory redukcyjne. Proste równania i nierówności trygonometryczne.
4
9. Geometria
−
−
−
Kąty w okręgu. Wyznaczanie związków miarowych miedzy odcinkami stycznych
i siecznych. Własności czworokątów wypukłych wpisanych w okrąg i opisanych na
okręgu.
Rozwiązywanie zadań praktycznych z zastosowaniem cech podobieństwa
i przystawania trójkątów a także z zastosowaniem własności figur podobnych
i jednokładnych.
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów. Rozwiązywanie trójkątów
dowolnych. Zastosowanie poznanych twierdzeń do rozwiązywania problemów
teoretycznych i praktycznych.
4
10. Stereometria
−
−
−
Graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe.
Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii.
Przekroje płaskie wielościanów.
4
11. Wektory
−
−
−
−
Wektory i działania na wektorach.
Wektory w układzie współrzędnych.
Współrzędne i długość wektora.
Przykłady zastosowania wektorów do dowodzenia własności figur.
4
12. Liniowa geometria analityczna
−
−
Prosta na płaszczyźnie. Równanie kierunkowe i ogólne. Warunki równoległości
i prostopadłości prostych. Graficzne rozwiązywanie nierówności i układów
nierówności liniowych.
Okrąg i koło we współrzędnych. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch
okręgów.
6
13. Elementy kombinatoryki
−
−
−
Elementy kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo i jego własności.
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej
oraz na podstawie własności prawdopodobieństwa.
4
14. Statystyka
−
−
Elementy statystyki opisowej.
Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, wariancja i odchylenie
standardowe.
4
RAZEM:
60h
Forma zaliczenia przedmiotu:
- obecność na zajęciach (dozwolona 1 obecność nieusprawiedliwiona);
- pozytywne odpowiedzi przy tablicy;
- pozytywny wynik testu kompetencyjnego na zakończenie semestru.
Zalecana literatura:
1. W. Leksiński, I. Nabiałek, W. Żakowski., Matematyka dla studiów eksperymentalnych,
WNT, Warszawa 1981.
2. A. Gagatnicki, Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT, Warszawa
1965.
3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, GiS, Wrocław 2000.
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007.
5. Dowolny podręcznik z podstaw matematyki na poziomie wyższym.