2 jest granicą ciągu - Informacje dla uzytkowników serwera antenor

2 jest granicą ciągu - Informacje dla uzytkowników serwera antenor

Granica ciągu liczbowego
Zadanie 1. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać, że
(1) liczba −2 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = 2n−1
2−n ,
7−2n
(2) liczba 13 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = 2−6n
,
n−1
(3) liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = 2−5n
2,
(4) liczba
(5) liczba
(6) liczba
√
8 n−1
√ ,
3+14 n
8n3 −3
− 23 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = 1−12n
3,
2
.
−1 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = 1−5n
5n2 +2
4
7
jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an =
Zadanie 2. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
(1) an = n2 ,
(2) bn = 2n ,
(3) cn = log 21 n1
są zbieżne do +∞.
Zadanie 3. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
(1) an = −n3 ,
(2) bn = 1 − 3n ,
(3) log 10
n
są zbieżne do −∞.
Zadanie 4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych
(1) an = (−1)3n+1 ,
(2) bn = cos n π2 ,
(3) cn = (cos π)5n+2 ,
n
(4) dn = n(−1) .
Zadanie 5. Obliczyć następujące granice:
10n − 31
,
n→∞ 2n + 1
10 − 7n
,
(2) lim
n→∞ 3n − 1
2
2n + 6
,
(3) lim 3
n→∞ n − 4n2 + 1
2
n −1
(4) lim
,
n→∞ 3n − 2
(1) lim
(n2 − 1)99
,
0
n→∞ (n2 − n + 2)100
(n2 − 1)50
(6) lim
,
1
n→∞ (n − 1)51 (n + 1)49
(n2 − 1)(n4 − 2)(n5 + 1)
, 1
(7) lim
n→∞ (n6 + 7)(n2 + 2)(n3 + 7)
2
(8) lim (−n + 6n + 12).
−∞
5
(5) lim
− 73
0
+∞
n→∞
Zadanie 6. Obliczyć następujące granice:
√
√
(1) lim ( n + 4 − n),
n→∞ p
p
(2) lim ( n2 − n + 4 − n2 + 8n − 2),
n→∞ p
(3) lim ( 4n2 − 5n + 4 − 2n),
n→∞ p
3
(4) lim ( n3 − n − n),
n→∞ p
3
(5) lim ( n2 − n3 + n),
n→∞
1
(6) lim √
,
n→∞ 4 n4 + n3 − n
√
√
3
n3 + 2n2 − 3 n3 − 1
√
(7) lim √
,
n→∞
n2 + 7n − n2 + 5
Zadanie 7. Obliczyć następujące granice:
5n − 100
(1) lim
,
n→∞ 100 − 5n+1
n
n+1
2 +3
(2) lim n
,
n→∞ 3 + 4n−1
0
− 29
− 54
0
1
3
4
4
21
− 15
0
1
2
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)
,
(n + 1)2
1
1
1
1 + 2 + 4 + · · · + 2n
(4) lim
,
n→∞ 1 + 1 + 1 + · · · + 1n
3
9
3
1
+ · · · + 41n
1 + 41 + 16
(5) lim
n−1 ,
n→∞ 1 − 1 + 1 − · · · + (−1)
5
25
5n−1
(n + 1)! − n!
n
(6) lim
·
.
n→∞ (n + 2)! + n!
2
(3) lim
1
n→∞
4
3
8
5
+∞
Zadanie 8. Obliczyć następujące granice:
2 3n
,
(1) lim 1 +
n→∞
n 4 n
(2) lim 1 − 2 ,
n→∞
2n +n1 3n+2
(3) lim
,
n→∞ 2n + 3
n2 + n + 1 2n−1
,
(4) lim
n→∞ n2 − n + 1
e6
(5) lim
n2 + n + 1 2n2 −1
,
+∞
n2 − n + 1
n2 + n + 1 −n3 +2
(6) lim
,
0
n→∞ n2 − n + 1
2
n2 +n
5n + 7n + 13
(7) lim
, +∞
n→∞
5n2 + n + 3
n+5
2
2n + 6n + 3
3
.
e2
(8) lim
n→∞ 2n2 + 3n + 6
n→∞
1
e−3
e4
Zadanie 9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, obliczyć granice następujących
ciągów:
p
n
1
(1) an = √ n3 + sin n,
(2) bn = n 3n + 5n + 7n ,
7
n+1
sin(2n − 3),
0
(3) cn = 2
n −2
π
2
n + 2n cos n 2
(4) dn =
,
−1
1 − n2
1
1
1
(5) en = √
+√
+ ··· + √
,
1
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
2
n
1
1
+
+ ··· + 2
,
(6) fn = 2
2
n + 1 n2 + 2
n +n
Zadanie 10. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice:
log(2−n + 3−n + 6−n )
(1) lim
,
n→∞ n
p
4
(2) lim
n4 + 2n3 − n ,
n→∞ √
√
n2 + 1 − n2 + n
√
(3) lim
,
4
2
n→∞
p n + n − n p
3
3
(4) lim
8n3 − 5n2 − 8n3 + 2n2 − 4 ,
n→∞
3n2 + 4 2n2 +3
(5) lim
,
n→∞ p
3n2 + 1
n
(6) lim
n2 + n + 1,
n→∞
5n + 2 3n−1
(7) lim
,
n→∞ √
5n + 6
√
n2 + 2n + 3 − n2 − n
√
(8) lim
,
n→∞
n2 + n + 6 − n
− log 2
1
2
−∞
7
− 12
e2
1
− 12
5
e
3
3
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
√
√
3n − 2 − 5n + 1
√
lim √
,
n→∞
12n
+ 1 − 20n − 2
n+1
,
lim n ln
n→∞
n
3n+1 − 2 · 5n−2
lim
,
n→∞ p22n + 7 · 3n
p
√
√
n2 + n + 1 − n2 − n − 1
√
,
lim
√
n→∞
n+1− n
1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 + 8 − 9 + · · · − 3n
lim
,
n→∞ n2+ n + 1
nπ
n
lim 1 +
cos
,
n→∞
n
+
1
√ √
√2
4
2n
lim 2 · 2 · · · · ·
2,
n→∞ n(n+1)
n−1
+ 3 · (−1) 2
,
lim 2 + (−1)
n→∞
n
1
2
1
−∞
2
3
2
nie istnieje
2
nie istnieje
n
2 + (−2)
,
n→∞
5n
2
n23+2
n +n+2
lim
,
n→∞ n2 + n + 1
r
(−1)n
n
1+
lim
,
n→∞ √
n
1 + 2 + 3 + ··· + n
,
lim
n→∞ √
nn
2 n−3
√
lim
,
n→∞ 2 n + 7
n
n
3 + (−3)
lim
,
n→∞
3n
2
lim n [ln(n + 3) − ln(n + 2)].
(17) lim
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
n→∞
0
1
e3
1
√
2
2
0
nie istnieje
+∞