Zadanie 11. Zbadać monotoniczność funkcji a) R ∋ x ↦→ f (x

Zadanie 11. Zbadać monotoniczność funkcji a) R ∋ x ↦→ f (x

2
Zadanie 11. Zbadać monotoniczność funkcji
a) R ∋ x 7→ f (x) := −2x + 3,
1
,
b) [1, ∞) ∋ x 7→ f (x) :=
2x + 1
c) [2, ∞) ∋ x 7→ f (x) := 4x − x2 ,
1
d) [1, 7) ∋ x 7→ f (x) := x2 + 2 .
x
Zadanie 12. Wyznaczyć obraz zbioru A i przeciwobraz zbioru B dla funkcji f , gdy
x
a) R ∋ x 7→ f (x) := − − 4, A := [6, ∞), B = [3, 5],
3
b) R ∋ x 7→ f (x) := −x2 + 7x − 12, A := (−2, 3], B = 0, B = [0, 1],
c) R ∋ x 7→ f (x) := |x2 − 5x + 6|, A := (−1, 2], B = 0, B = (0, 1).
Zadanie 13. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji
a) R ∋ x 7→ f (x) := 2 − 3x,
b) [0, 1] ∋ x 7→ f (x) := x2 ,
1
c) [−2, −1] ∋ x 7→ f (x) := ,
x
x+2
,
3x − 4
−x
e) R ∋ x 7→ f (x) := 1 − 3 ,
f) (1, ∞) ∋ x 7→ f (x) := 3 + log2 (3x).
d) [2, ∞) ∋ x 7→ f (x) :=
Zadanie 14. Obliczyć granicę ciągu
3n + 1
,
2 − 3n
n7 + 2n
lim
,
n→∞ n6 − 3n8
4
n −5
,
lim
n→∞ 2n2 + 1
√
2n3 + 2
lim
,
n→∞ n2 + 2
n
n
3 −2
,
lim n
n→∞ 5 − 3n
2n+1 + 3n+1
lim
,
n→∞
2n + 3n
ln(3n + 2n )
,
n→∞
n
log2 (n + 1)
,
lim
n→∞ log (n + 1)
√
√ 3
1 + 2n2 − 1 + 4n2
lim
,
n→∞ √ n lim n − n2 − 5n ,
n→∞
3n + 1 n−1
lim
,
n→∞ 3n + 2
!2n2
n2 − 1
lim
.
n→∞ n2 + 8
a) n→∞
lim
g) lim
b)
h)
c)
d)
e)
f)
i)
j)
k)
l)
Zadanie 15. Przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę
√
n2 + 1
2n
a) n→∞
lim n 2n + π n ,
cos
,
d) n→∞
lim
√
2n2 − 1
2n + 1
b) n→∞
lim n 1n + 2n + 3n ,
n
X
k
e) n→∞
lim
.
n + sin n
2
c) n→∞
lim
,
k=1 n + k
2n + 3
Zadanie 16. Obliczyć granicę ciągu obliczając najpierw wartości występujących w niej sum
n X
1 k
,
−
a) n→∞
lim
3
k=1
Pn
( 1 )k
b) n→∞
lim Pnk=1 13 k ,
k=1 ( 4 )
!
P
n
2n − 1
k=1 (2k − 1)
c) n→∞
lim
−
,
n+1
2
Pn
k
,
d) n→∞
lim √ k=1
2
n 4n + n
n − 3n2
,
e) n→∞
lim Pn
(3k
+
1)
k=1
P
1
n nk=1 k(k+1)
.
f) n→∞
lim
−1 − n
Zadanie 17. Zbadać zbieżność ciągu (an ), zaś w przypadku zbieżności obliczyć jego granicę
√
√
a) a1 = 2, an+1 = 2 + an ,
b) a1 = 1, an+1 = √
sin an ,
c) a1 = 3, an+1 = 3an − 2.