Ruch harmonicny

Politechnika Łódzka
FTIMS
Kierunek: Informatyka
rok akademicki: 2009/2010
sem. 3.
grupa II
Zadanie:
Ruch harmonicny
Termin: 1 XII 2009
Nazwisko i imię:
Nr. albumu: 150875
Grzegorz Graczyk
Nazwisko i imię:
Nr. albumu: 151021
Tarasiuk Paweł
Data oddania raportu:
1 XII 2009
Treść zadania
Rozważmy ruch harmoniczny dla ciała o masie m = 2.
Dane są wartości energii kinetycznej zbierane co 0, 25s:
Ek = [ 0.714; 0.61; 0.726; 0.623; 0.460; 0.540; 0.414; 0.229; 0.289; 0.279; 0.362; 0.226; -0.001; ..
0.152; 0.215; -0.188; -0.088; -0.105; -0.229; 0.097; -0.113; 0.126; 0.333; 0.292; 0.364; ..
0.388; 0.322; 0.533; 0.635; 0.513; 0.570; 0.642; 0.622; 0.765; 0.751; 0.682; 0.525; 0.355; ..
0.384; 0.476; 0.274; 0.358; 0.106; 0.058; 0.139; -0.081; 0.099; 0.066; 0.163; -0.043 ]
Do danych należy dopasować krzywą Ek = m · V 2 /2, gdzie V = Aω cos(ωx + φ) i wyznaczyć
parametry A, ω oraz φ, wiedząc że wartość masy wynosi 2 (wykres). Pokazać również wykres
V (t).
Wykonać całkowanie numeryczne danych V (t) i wykonać wykres x(t).
Wiedząc, że eneriga potencjalna Ep = k · x2 /2, oraz k/m = ω 2 wykonać wykres x(t). Porównać uzyskane wykresy.
Opis metody
Szum na wartościach energii potencjalnej jest tak istotny, że w danych pojawiają się wartości
ujemne (co oczywiście jest wyłącznie wynikiem niedokładnoci pomiarów - energia kinetyczna z
definicjipnie może być ujemna). W celu przygotowania tablicy prędkości od czasu (według wzoru
V = ± 2 · Ek /m) konieczne było zatem wyzerowanie tych wartości (aby uniknąć urojonych
wyników w macierzy prędkości).
Współczynniki A, ω oraz φ zostały wyznaczone za pomocą funkcji leastsq, na podstawie danych opisujących zależność prędkości od czasu, tak aby dopasowane były do zależności
V = Aω cos(ωx + φ). Dla pozycji w których prędkość równa zero wynikała z ”ręcznie” wyzerowanej energii kinetycznej waga punktu została wyzerowana, natomiast pozostałe punkty miały
równe wagi.
p
Istotnym spostrzeżeniem jest, że wzór V = ± 2 · Ek /m nie jest jednoznaczny. Dane wejściowe w wyraźny sposób opisują 3/4 pełnego okresu drgań harmonicznych, zaczynając od zerowego
wychylenia (maksimum energii kinetycznej). Zatem przez 1/4 okresu ciało traciło prędkość, a
następnie zmieniało zwrot prędkości na przeciwny. Z braku przesłanek pozwalających to rozstrzygnąć, ustalono znak prędkości przez początkową 1/4 okresu jako dodatni, a później - ujemny. Oczywiście 1/4 okresu drgań oznacza 1/3 danych wejściowych.
2
Analogiczny
q problem pojawił się przy wyznaczaniu x na podstawie wzoru Ep = k · x /2,
czyli x = ± 2 · Ep /k. Oczywiście ze względu na dadatnią prędkość, najpierw przez 1/4 okresu
ciało było wychylone się w kierunku dodatnim, po upływie 1/2 okresu wróciło do x = 0, a
następnie było wychylone się w kierunku ujemnym. Zatem przez ostanią 1/3 danych wejściowych
wychylenie było ujemne. Oczywiście znaki wychylenia oraz prędkości można by równie dobrze
wybrać jako przeciwne.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
2/5
Wyznaczone parametry
Parametr
A
ω
φ
Wartość
2.099746
0.383706
−0.008590
Opis
Amplituda
Częstość kołowa drgań
Przesunięcie fazowe
Wykresy
Parametry były dopasowywane na podstawie zależności prędkości od czasu, która wynikała
z danych wejściowych. Poniższy wykres przedstawia zależność prędkości od czasu wynikającą z
danych na temat energii kinetycznej, oraz z wyznaczonych parametrów.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
3/5
Poniższy wykres przedstawia energię kinetyczną oraz potencjalną w czasie, według danych
wejściowych oraz ze wzoru, z którego można było skorzystać dzięki wyznaczonym parametrom.
Ostatni wykres przedstawia zależnośc wychylenia od czasu, wyznaczaną różnymi metodami.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
4/5
Podsumowanie
Pomimo bardzo dużego szumu na danych wejściowych, widocznego na wykresie energii od
czasu, możliwe było zbadanie parametrów badanego ruchu harmonicznego. Wykres energii od
czasu sprawia wrażenie dopasowanego najmniej dokładnie. Jest to jednak spowodowane przede
wszystkim absurdalnymi, ujemnymi wartościami energii kinetycznej, z których wynikają energie
potencjalne przekraczające energię całkowitą. Ta absurdalna sytuacja wynika po prostu z danych wejściowych. Pozostałe wykresy wskazują na adekwatność wyznaczonych parametrów do
danych wejściowych.
Ważnym sposrzeżeniem jest to, że całkowanie numeryczne powoduje znoszenie się szumu.
Jakkolwiek statystyczna redukcja szumu skutkuje eleganckim kształtem krzywej uzyskanej jako
wynik całkowania, skupiające się w jednym miejscu przeszacowania prędkości powodują, że od
pewnego momentu znajduje się ona powyżej wzorcowej sinusoidy.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
5/5