Układ RLC z diodą

Politechnika Łódzka
FTIMS
Kierunek: Informatyka
rok akademicki: 2009/2010
sem. 3.
grupa II
Zadanie:
Układ RLC z diodą
Termin: 5 I 2010
Nazwisko i imię:
Nr. albumu: 150875
Grzegorz Graczyk
Nazwisko i imię:
Nr. albumu: 151021
Tarasiuk Paweł
Data oddania raportu:
5 I 2010
Treść zadania
Zbadać ewolucję w czasie układu RLC z dodaną prostą diodą. Schemat układu przedstawiony
jest na rysunku. Równanie opisujące zachowanie układu jest następujące:
d2 q
q
R dq F
1 dq
U0
=−
−
− ln
+1 +
cos(ω0 t)
2
dt
LC
L dt
L
I0 dt
L
gdzie q to ładunek na kondensatorze, a R, L, C ω0 , F i I0 to pewne stałe. Wykonać wykres
zależności q oraz I = dq
dt od czasu. Zrobić wykres fazowy (I(q)). Zbadać ilość energii wydzielanej
na oporniku i na diodzie. Przeanalizować postać zadania w zależności od wartości parametrów.
W jakich przypadkach rozwiązania będą jakościowo różne?
Opis metody
Kluczowe dla rozwiązania problemu jest wykorzystanie funkcji ode do rozwiązania równania
różniczkowego. Przygotowanie równania do użycia tej procedury było proste - wystarczyło rozbić
je na układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu:

 dq = I
dt
 dI = − q − R I − F ln 1 I + 1 + U0 cos(ω0 t)
dt
LC
L
L
I0
L
Wszystkie znalezione rozwiązania przystają do ogólnego wzoru, bądź są jego przypadkami granicznymi:
q(t) = A1 eκt sin(ω1 t + φ1 ) + A2 sin(ω2 t + φ2 ) + c1
Jednak, ze względu na różnorodne uproszczenia tego wzoru (które występują w większości
przypadków), uzyskane rozwiązania równania różniczkowego można uważać za jakościowo różne.
Istnieje np. przypadek, w którym otrzymano pojedynczą funkcję falową - dla pewnych współczynników jest on oczywiście szczególnym przypadkiem przedstawionego wzoru, jednak da się
go zapisać znacznie prościej.
Ze względu na różne charaktery uproszczeń, wyszczególnione zostało 6 przypadków. Dla
każdego z nich sporządzono wykresy q(t), I(t), I(q) oraz wykres zmian energii w czasie (przedstawiający energię całkowitą układu oraz energię wydzieloną na oporniku oraz na diodzie).
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
2 / 11
Dla każdego przypadku, na podstawie wykresów odgadnięta została postać przybliżonego
wzoru funkcji opisującej zależność q(t), a następnie zostały do tej postaci dobrane współczynniki,
za pomocą funkcji leastsq.
Energia wydzielana na diodzie liczona była w oparciu o prawo zachowania energii. Wiemy,
że energia całkowita wprowadzona
do układu, czyli praca wykonana przez źródło w czasie,
R
wyraża się wzorem EA (t) = I(t) · U (t) dt, gdzie U (t) = U0 cos(ω0 t). Energia wydzielona na
(q(t))2
1
2
kondensatorze
to
natomiast
E
(t)
=
C
2·C , na zwojnicy - EL (t) = 2 L · (I(t)) , oraz na oporniku
R
- ER = R · I(t) dt. Energię wydzieloną na diodzie można zatem obliczyć jako ED (t) = EA (t) −
ER (t) − EL (t) − EC (t).
W celu zastąpienia całek nieoznaczonych, przygotowana została prosta funkcja obliczająca
wektor wartości całek oznaczonych dla kolejnych punktów w czasie, na podstawie wektora wartości funkcji. Wartości całek oznaczonych liczone są poprzez sumowanie pól trapezów. Wektor
uzyskany jako wynik takiej funkcji jest jednocześnie wektorem wartości całki nieoznaczonej w
tych punktach. Jest to rozwiązanie wydajniejsze, niż korzystanie w tym celu z funkcji ode.
Przypadek I
Typowy, rezonansowy układ RLC z diodą mającą umiarkowany wpływ na ewolucję układu.
Przyjęte parametry:
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Wartość
5V
100 Ω
8000 H
0, 0005 F
0, 5 Hz
9V
0, 1 A
W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest pojedynczą funkcją falową ze wzmocnieniem
wykładniczym do pewnego poziomu, czyli (w odniesieniu do ogólnego wzoru) zachodzi przypadek
c1 = 0, κ < 0, A2 = −A1 , ω2 = ω1 oraz φ2 = φ1 . Po uproszczeniu, otrzymamy wtedy:
q(t) = A2 (1 − eκt ) sin(ω1 t + φ1 )
Dla czasu od 0 do tmax = 300 s uzyskane zostały następujące wykresy:
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
3 / 11
Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać:
q(t) = 0, 052336 · (1 − exp(−0, 011965 · t)) · sin(0, 499960 · t + 0, 010328)
Wykresy pokazują, że powyższy wzór jest bardzo dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia
przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię).
Przypadek II
Rezonansowy układ LC, z oporem opornika oraz parametrem F diody przyjętymi jako 0, w
celu uzyskania braku tłumienia.
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Wartość
5V
0Ω
8000 H
0, 0005 F
0, 5 Hz
0V
0, 1 A
W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest pojedynczą funkcją falową ze wzmocnieniem
liniowym (nieograniczonym). W odniesieniu do wzoru ogólnego otrzymujemy tutaj: c1 = 0,
A2 = −A1 , ω2 = ω1 oraz φ2 = φ1 . Jest to jednak przypadek graniczny, gdzie κ → 0− oraz
κt
H
A1 → κa . Zauważmy, że limκ→0− ( κa · (eκt − 1)) = a · limκ→0− e κ−1 = a · limκ→0− (t · eκt ) = a · t.
Zatem wzór opisujący ten przypadek, postaci:
q(t) = a · t · sin(ω1 t + φ1 )
Stanowi graniczny przypadek przedstawionego wzoru ogólnego.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
4 / 11
Dla czasu od 0 do tmax = 200 s uzyskane zostały następujące wykresy:
Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać:
q(t) = 0, 000625 · t · sin(0, 500000 · t + 0.000000)
Wykresy pokazują, że powyższy wzór jest bardzo dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia
przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię). Ciekawostką jest, że wykres fazowy dla tego
szczególnego przypadku stanowi idealną spiralę Archimedesa.
Przypadek III
Układ RLC o częstości bliskiej rezonansowej (nieznacznie zachwiany).
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
Wartość
5V
80 Ω
8000 H
0, 0005 F
0, 44 Hz
7, 5 V
0, 1 A
5 / 11
W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) sumą pewnej funkcji falowej, oraz funkcji falowej
tłumionej. Wykorzystany zostanie wzór ogólny praktycznie w pełnej formie - jedyne, co jest w
tym przypadku szczególne, to c1 = 0 oraz φ1 = φ2 . Zatem wzór opisujący ten przypadek ma
postać:
q(t) = A1 eκt sin(ω1 t + φ1 ) + A2 sin(ω2 t + φ1 )
Dla czasu od 0 do tmax = 300 s uzyskane zostały następujące wykresy:
Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać:
q(t) = −0, 010958·exp(−0, 009686·t)·sin(0, 499896·t+1, 420502)+0, 010956·sin(0, 440001·t+1, 420502)
Także w tym przypadku wykresy pokazują, zapisany powyżej wzór jest dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię). Wykres fazowy dla
tego przypadku jest mało czytelny, ale można z niego wywnioskować, że promień krzywizny na
początku jest mały, później rośnie, aż w końcu stabilizuje się w pobliżu pewnej elipsy pośredniej.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
6 / 11
Przypadek IV
Układ ze zwojnicą o małej indukcyjności.
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Wartość
5V
100 Ω
80 H
0, 0005 F
0, 5 Hz
10 V
0, 1 A
W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest najprostsza, gdyż A1 = 0 oraz c1 = 0. Dobrym
przybliżeniem wyniku dla tego przypadku jest po prostu pojedyncza funkcja falowa:
q(t) = A2 sin(ω2 t + φ2 )
Odstępstwo od takiej postaci wzoru występuje jedynie na samym początku pracy układu.
Dla czasu od 0 do tmax = 100 s uzyskane zostały następujące wykresy:
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
7 / 11
Dopasowany (według wskazanej postaci jakościowej) za pomocą funkcji leastsq wzór q(t)
ma postać:
q(t) = 0, 002512 · sin(0, 500038 · t + 1, 517837)
Odstępstwo od powyższego wzoru dotyczy tylko samego początku pracy układu. Także wykres fazowy sporządzony dla tego przypadku dla początkowych chwil czasu jest bardzo chaotyczny, a dla dalszych - stanowi po prostu elipsę.
Przypadek V
Układ ze zwojnicą o bardzo dużej indukcyjności.
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Wartość
5V
300 Ω
72000 H
0, 0005 F
0, 5 Hz
33 V
0, 1 A
Przypadek ten można by potraktować tak samo jak przypadek III, otrzymując podobnie
skomplikowany, ale przy tym bardzo dokładny wzór. W tym przypadku także c1 = 0. Jednakże,
w tym przypadku |κ| jest bardzo duże (κ jest bardzo małą liczbą ujemną), dzięki czemu można przybliżyć, że q(t) jest po prostu złożeniem dwóch funkcji falowych (co jest przypadkiem
granicznym wzoru ogólnego dla κ → −∞). Przyjęta postać rozwiązania to zatem:
q(t) = A1 sin(ω1 t + φ1 ) + A2 sin(ω2 t + φ2 )
Wykres pozwala stwierdzić, że jest to tylko przybliżenie, ale można je uznać za wystarczająco
dokładne. Rozważano ewolucję w czasie od 0 do tmax = 100 s:
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
8 / 11
Dopasowany (według postaci jakościowej, ustalonej na podstawie uzyskanej krzywej wykresu)
za pomocą funkcji leastsq wzór q(t) ma postać:
q(t) = 0, 000251 · sin(0, 167167 · t + 1, 572706) − 0, 000313 · sin(0, 499305 · t + 1, 631412)
Powyższy wzór przybliżony może być bardzo praktycznym odwzorowaniem ewolucji układu
1
ze zwojnicą o bardzo dużej indukcyjności (gdzie ω0 √LC
).
Przypadek VI
Układ, na który kluczowy wpływ ma dioda (małe I0 ).
Parametr
U0
R
L
C
ω0
F
I0
Wartość
5V
100000 Ω
8000 H
0, 0005 F
0, 5 Hz
9V
0, 0001 A
W tym przypadku ustalony został także duży opornik, aby energia wydzielana na oporniku
była porównywalna z energią wydzielaną na diodzie (w innym wypadku nie powstałby czytelny
wykres energii). Ponadto, w tym przypadku można przyjąć ω1 = 0, czyli A1 sin(φ1 ) jest po
prostu stałą. Zachodzi także zależność c1 = A1 sin(φ1 ). Oczekiwane q(t) może być więc postaci:
q(t) = c1 (1 − eκt ) + A2 sin(ω2 t + φ2 )
Wykres potwierdza trafność spostrzeżeń na temat jakościowej postaci wzoru opisującego zależność q(t) dla tego przypadku. Rozważano ewolucję w czasie od 0 do tmax = 300 s:
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
9 / 11
Dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór q(t) (z którego wynika wykres zaznaczony
niebieską linią przerywaną) ma postać:
q(t) = 0, 000079 · (1 − exp(−0, 010123 · t)) + 0, 000052 · sin(0, 499997 · t + 0, 000535)
Potwierdzeniem dokładności powyższego wzoru jest wykres q(t).
Podsumowanie
Dobierając różne zestawy parametrów, uzyskano bardzo różnorodne kształty krzywych będących wykresami różnych wielkości opisujących badany układ w czasie. W każdym przypadku
udało się ustalić jakościową postać wzoru opisującego zależność q(t), co pozwoliło następnie
przygotować dokładną formułę matematyczną opisującą tą zależność, dobierając współczynniki
za pomocą leastsq.
Przygotowany program pozwala w prosty sposób wybrać, który przypadek ma być rozważany i który z wykresów ma być sporządzony. Odpowiednie sformułowanie procedur pozwoliło
zminimalizować powtarzanie dużych fragmentów kodu - za każdym razem wywoływane są te same procedury, a różnica między różnymi przypadkami dotyczy wyłącznie generowania zestawu
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
10 / 11
przyjętych współczynników oraz przygotowywania formuły o odpowiedniej jakościowej postaci
wzoru (która jest dla każdego przypadku inna). Wyznaczona formuła jest wypisywana w czytelny sposób w głównym oknie scilaba, za pomocą funkcji printf.
Z wykresów energii wydzielonej na oporniku oraz na diodzie wynika, że zachowanie tych
dwóch elementów jest bardzo podobne do siebie - dioda wydziela dokładnie tyle energii, ile
wydzieliłby opornik o oporze IF0 . Parametry za każdym razem były dobierane tak, aby krzywe
energii wydzielanych na oporze oraz na diodzie nie pokryły się, oraz aby widoczne było, że mają
jednakowe kształty.
Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk
11 / 11