wykład 11

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)
Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych jest podobny do opisu za pomocą wektora wodzącego, którego początek leży
w początku układu odniesienia.
Położenie. Położenie punktu A określają następujące równania ruchu:
x = x (t ) ,
y = y (t ) ,
(3.21)
z = z (t ) .
z
A(x, y,z)
Opis ruchu punktu
we współrzędnych prostokątnych
z(t)
y
x
x(t
)
y(t
)
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość. Prędkość całkowitą punktu A obliczamy
vzk
v
z
A
vy j
vx i
y
Prędkość punktu
we współrzędnych prostokątnych
x
v = vx 2 + v y 2 + vz 2 ,
(3.22)
gdzie:
vx = x& ,
v y = y& ,
(3.22a)
vz = z& .
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Przyspieszenie całkowite punktu A obliczamy
a = ax 2 + a y 2 + az 2 ,
(3.23)
gdzie:
a x = v&x = &&
x,
a y = v& y = &&
y,
(3.23a)
az = v&z = &&
z.
Przyspieszenie punktu
we współrzędnych prostokątnych
az k
z
a
ay j
A
ax i
y
x
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis ruchu we współrzędnych naturalnych
Podczas ruchu punktu po dowolnym torze możemy poprowadzić do toru płaszczyznę ściśle styczną, płaszczyznę normalną i
płaszczyznę prostującą w miejscu, w którym znajduje się aktualnie rozważany punkt. Krawędzie przecięcia się płaszczyzn
są osiami: styczną, normalną główną i binormalną.
b
płaszczyzna
prostująca
A(t)
O
tor
t
s(t)
n
Opis ruchu punktu we współrzędnych naturalnych;
t – oś styczna, n – oś normalna główna, b – oś binormalna,
O – położenie początkowe punktu, s(t) – równanie drogi przebytej po torze
płaszczyzna
ściśle styczna
płaszczyzna
normalna
Można wykazać, że ruch punktu odbywa się chwilowo w płaszczyźnie ściele stycznej i w dalszych rozważaniach brać pod
uwagę tylko tor z naniesionym osiami: styczną i normalną.
A(t)
O
v(t)
∆s
s(t)
t
A(t+∆t)
n
Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie. Położenie punktu we współrzędnych naturalnych jest określone, gdy dany jest:
1) tor poruszającego się punktu (równanie toru),
2) położenie początkowe i chwila początkowa,
3) równanie ruchu po torze
s = s (t ) .
(3.14)
Prędkość. Ponieważ ruch punktu odbywa się w płaszczyźnie ściśle stycznej, wektor prędkości pokrywa się zawsze z
kierunkiem osi stycznej.
Wartość wektora prędkości średniej liczymy ze wzoru
vśr =
∆s
,
∆t
(3.15)
natomiast prędkości chwilowej (ścisłej), dla dowolnej chwili czasu t, ze wzoru
∆s
= s& ,
∆t → 0 ∆ t
v = lim
(3.16)
Wektor prędkości możemy zatem zapisać
v = vet ,
gdzie
et
(3.17)
– wersor osi stycznej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Możemy również wykazać, że przyspieszenie punktu jest wektorem leżącym zawsze w płaszczyźnie ściśle
stycznej. Aby je wyznaczyć zróżniczkujmy prędkość (3.17) względem czasu
d
& t + ve&t ,
a = v& = (vet ) = ve
dt
gdyż wersor
et
(3.18)
zmienia swój kierunek w czasie.
Prof. Edmund Wittbrodt
n’
n
tor
Określenie pochodnej wersora
et
względem czasu.
∆e
e&t = lim t
∆ t → 0 ∆t
gdzie
O
n
n’
Zgodnie z definicją pochodnej mamy
∆ϕ
,
(3.18a)
t’
en′
en
A(t+∆t)
A(t)
et
e′t
v(t + ∆t)
t
v(t)
et′
∆et
∆ et = et ′ − et .
∆ϕ
t
∆ϕ
2
Gdy ∆t → 0 , kierunek wektora
t’
∆ϕ
∆ et
dąży do kierunku wersora
Zmiany wersora osi normalnej et
et
Wektor ∆et
en ,
natomiast jego wartość
∆et = ∆et = 2et sin
∆ϕ
2
= 2sin
∆ϕ
2
.
Z kolei pochodna
∆ϕ
∆ϕ
∆ϕ
2sin
sin
sin
∆et
∆ϕ ∆ s
2
2
2 lim ∆ϕ lim ∆ s = 1kv = 1 1 v = v
e&t = lim
= lim
= lim
= = lim
∆t → 0 ∆ t
∆t → 0
∆t → 0 ∆ϕ
∆ϕ →0 ∆ϕ ∆ s →0 ∆ s ∆t → 0 ∆t
∆t
∆ s ∆t
ρ
ρ
2
gdzie:
,
2
k – krzywizna toru, ρ – promień krzywizny toru.
Zatem ostatecznie
e&t = ω en ,
gdzie
ω=
v
ρ
= lim
∆t → 0
∆ϕ
= ϕ& .
∆t
(3.18b)
Przez analogię można wykazać, że
e&n = −ω et .
Znak minus oznacza, że kierunek zmiany w czasie wersora
(3.18c)
en
jest przeciwny do osi stycznej t.
Prof. Edmund Wittbrodt
Po podstawieniu zależności (3.18b) do (3.18) otrzymujemy
a = at et + an en ,
(3.19)
gdzie:
at = v& = &&
s,
(3.19a)
– przyspieszenie styczne
an =
v2
ρ ,
(3.19b)
– przyspieszenie normalne.
Wartość wektora przyspieszenia całkowitego obliczamy ze wzoru
a = at 2 + an 2
.
(3.19c)
Zarówno wektor prędkości jak i wektor przyspieszenia we współrzędnych naturalnych przedstawiono na rys.
A
at et
tor
Prędkość i przyspieszenie punktu
we współrzędnych naturalnych
v
t
an en
n
a
Prof. Edmund Wittbrodt
Promień krzywizny toru płaskiego, gdy dany on jest za pomocą równania y = y(x), obliczamy ze wzoru
3
ρ=
dy 2 2
) ]
dx
d2y
dx 2
[1 + (
,
(3.20a)
natomiast w przypadku toru przestrzennego, gdy tor dany jest w postaci parametrycznych równań toru (PRT) , tj.: x(t), y(t),
z(t), korzystamy ze wzoru
3
ρ=
[ x& 2 + y& 2 + z& 2 ] 2
&&& − zy
&&&)2 + ( xy
&&& − yx
&&&)2
&&&)2 + ( zx
&&& − xz
( yz
.
(3.20b)
Jeżeli tor jest zadany w postaci uwikłanej F(x, y) = 0, to jego promień krzywizny obliczamy ze wzoru
3
ρ=
 ∂F  2  ∂F 2  2

 +
 
 ∂x   ∂y  
2
2 2
 ∂ 2 F  ∂F ∂F ∂ 2 F  ∂F 
 ∂F  ∂ F
− 2 
+ 2 




2
 ∂x  ∂y
 ∂x∂y  ∂x ∂y ∂x  ∂y 
2
.
(3.20c)
W szczególnym przypadku, gdy ruch odbywa się po torze prostoliniowym, wówczas promień krzywizny toru ρ = ∞, a
zatem przyspieszenie normalne an = 0.
v
t
A(t)
Prędkość i przyspieszenie punktu w ruchu po torze prostoliniowym
a
O
n
W ruchu prostoliniowym (ruch po torze prostoliniowym) zarówno wektor prędkości jak i przyspieszenia są styczne do toru.
Prof. Edmund Wittbrodt