wykład 10

KINEMATYKA
Pojęcia podstawowe
Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez uwzględniania przyczyn wywołujących ten
ruch. Jej celem jest opis tego ruchu.
Ruchem nazywamy zmianę położenia ciała w odniesieniu do innych ciał zwanych ciałami odniesienia. Mówiąc o ruchu
ciała musimy zawsze pamiętać o ciele odniesienia (układzie odniesienia z nim związanym). Przykładowo: samochód –
Ziemia, Ziemia – Słońce, Słońce (układ słoneczny) – gwiazdy stałe.
Dla różnych ciał odniesienia inny jest ruch. Mówiąc o spoczynku ciała mamy na myśli spoczynek względem określonego
ciała odniesienia.
Z punktu widzenia kinematyki za układ odniesienia możemy przyjąć każde ciało lub układ ciał. W zagadnieniach
technicznych układem odniesienia jest przeważnie Ziemia, traktowana jako układ nieruchomy.
Prof. Edmund Wittbrodt
KINEMATYKA
punktu (materialnego)
z
bryły sztywnej
A(xA, yA, zA)
y
x
Ruch płaski
obrotowy
y
y
O
x
≡
Ruch przestrzenny
postępowy
dowolny
y
przegub
A'
A
O
B'
x
B
y
z
x
A'
A
dowolny
B
B'
x
postępowy
Podział kinematyki ze względów dydaktycznych
z
A
kulisty
z
z
B
A
A'
y
x
y
B
O
x
y
x
B'
A'
B'
Prof. Edmund Wittbrodt
Kinematyka punktu
Przez punkt będziemy rozumieli ciało, którego ruch możemy w zupełności opisać ruchem jednego, dowolnie wybranego
punktu tego ciała.
a)
punkt (ruchy
punktów są równe)
b)
nie możemy traktować
jako punktu materialnego
(ruchy punktów są różne)
B
A
B
A
Przykłady
ciał modelowanych
za pomocą: a) punktu, b) bryły
Położenie punktu w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa (E3) opisujemy za pomocą:
1) wektora wodzącego,
2) współrzędnych prostokątnych,
3) współrzędnych naturalnych,
4) współrzędnych biegunowych,
5) innych współrzędnych (np. walcowych).
Prof. Edmund Wittbrodt
Torem punktu nazywamy linię, będącą miejscem geometrycznym chwilowych położeń poruszającego się w przestrzeni
punktu.
Położeniem początkowym punktu nazywamy to miejsce na torze, w którym rozważany punkt znajduje się w chwili t = t0,
gdzie t0 jest chwilą początkową.
Prędkością punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego położenia w jednostce czasu.
Przyspieszeniem punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego prędkości w jednostce czasu.
W kinematyce bada się zależności pomiędzy współrzędnymi punktu, zmieniającymi się w czasie, a jego prędkością
i przyspieszeniem.
Prof. Edmund Wittbrodt
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis ruchu za pomocą wektora wodzącego
Wektorem wodzącym jest wektor o początku w punkcie odniesienia O, a końcu w miejscu, gdzie w danej chwili znajduje
się rozważany punkt. Rozważmy teraz punkt A, którego położenie opisuje wektor wodzący o składowych:
rx = rx (t ) , ry = ry (t ) , rz = rz (t ) ,
(3.1)
gdzie t jest czasem.
r
Opis ruchu punktu za pomocą wektora wodzącego
A
O
Równania (3.1) nazywamy równaniami ruchu (RR). Są one jednocześnie parametrycznymi równaniami toru (PRT).
Wystarczy z równań ruchu wyrugować parametr, którym jest czas t, aby otrzymać równanie toru.
Położenie. Jeżeli początek wektora wodzącego r , opisującego położenie punktu A, przyjmiemy w początku układu
odniesienia, wówczas jego współrzędne są równe:
z
Położenie punktu we współrzędnych wektorowych
A
rx = rx (t ) ,
ry = ry (t ) ,
r
(3.2)
y
O
rz = rz (t ) ,
rx
a wektor wodzący możemy zapisać
r = rx (t ) i + ry (t ) j + rz (t )k
rz
.
x
(3.3)
ry
Prof. Edmund Wittbrodt
z
Prędkość. Rozważmy teraz dwa położenia punktu A, jedno w chwili t
i drugie w chwili t + ∆t .
A(t)
∆r
r (t )
A ( t ) = A ( rx ( t ) ,ry ( t ) ,rz ( t ) )
A(t+∆t)
A(t+∆t) = A(rx(t+∆t), ry(t+∆t), rz(t+∆t))
v sr
r(t+∆t)
y
O
Prędkość punktu
we współrzędnych wektorowych
x
Prędkość średnią punktu A wyznaczamy z zależności
vśr =
∆r
∆t
.
(3.4)
Wektor vśr ma kierunek i zwrot zgodny z wektorem ∆r , a jego wartość zależy od przyjętego przedziału czasu ∆t .
Aby wyznaczyć prędkość chwilową (ścisłą), dla danej chwili czasu t, należy obliczyć granicę z (3.4), przy ∆t → 0
v = lim
∆t → 0
∆ r dr &
=
=r
∆t dt
Wektor prędkości
.
(3.5)
jest zawsze styczny do toru, w punkcie, w którym znajduje się rozważany punkt.
v
vzk
Podstawiając (3.3) do (3.5) otrzymujemy związek pomiędzy położeniem a prędkością punktu
v = r& = vx i + v y j + vz k
gdzie składowe wektora
vx = r&x ,
v
,
(3.5)
A
są równe:
v
(3.7)
O
v
tor
y
są prędkościami punktu w kierunku osi x, y, z.
x
Wartość wektora
vy j
vx i
v y = r&y , vz = r&z .
Składowe wektora
v
z
liczymy ze wzoru
v = vx 2 + v y 2 + vz 2
.
Wektor prędkości punktu
(3.8)
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Podobnie jak prędkość średnią, możemy obliczyć średnie przyspieszenie punktu A, które jest zmianą
wektora prędkości w jednostce czasu. Obliczamy je z zależności
aśr =
∆v v (t + ∆t ) − v (t )
.
=
∆t
∆t
(3.9)
Zarówno wartość jak i pośrednio kierunek wektora
aśr
zależy od przyjętego przedziału czasu
∆t .
Aby obliczyć przyspieszenie chwilowe (ścisłe) dla czasu t przechodzimy z przyspieszeniem średnim (3.9) do granicy, przy
∆t → 0
a = lim =
∆t → 0
∆v dv & &&
=
=v =r .
∆t dt
(3.10)
Podstawiając (3.3) do (3.10) otrzymujemy
a = v& = ax i + a y j + az k
gdzie składowe wektora
ax = v&x = &&
rx ,
a
,
(3.11)
liczymy ze wzorów
a y = v& y = &&
ry ,
az = v&z = r&&z ,
(3.12)
natomiast wartość wektora przyspieszenia
a = ax 2 + a y 2 + az 2
.
(3.13)
Należy podkreślić, że wektor przyspieszenia na ogół nie jest styczny do toru.
Prof. Edmund Wittbrodt