dv m W dt =

Zasada energii i pracy punktu materialnego
Równanie (4.1), opisujące ruch punku materialnego A, możemy przekształcić następująco
W
punkt w położeniu s1
v1
2
ds
1
styczna do toru
punkt w położeniu s2
v2
s2
s1
Zasada energii i pracy punktu materialnego
skąd
m
dv
=W
dt
m
ds
⋅ dv = W ⋅ ds
dt
⋅ds
,
lub
mv ⋅ dv = W ⋅ ds .
Prof. Edmund Wittbrodt
Po scałkowaniu powyższego równania otrzymujemy
v2
s2
v1
s1
∫ mv ⋅ dv = ∫ W ⋅ ds ,
a ostatecznie
E2 − E1 = L1,2 ,
(4.21)
s2
1 2
E
=
mv – energia kinetyczna punktu materialnego, L1,2 = ∫ W ⋅ ds – praca sił działających na punkt na drodze
gdzie:
2
s1
od s1 do s2.
Twierdzenie
Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego równy jest pracy sił działających na ten punkt na drodze, jaką
punkt ten przebył.
Prof. Edmund Wittbrodt
Różniczkując wyrażenie (4.21) względem czasu otrzymujemy wyrażenie
dE d
= L1, 2 ,
dt dt
co możemy zapisać
E& = N
gdzie:
,
E&
N =W ⋅
– pochodna energii kinetycznej względem czasu,
ds
=W ⋅v
dt
– moc siły
Powyższe równanie nosi nazwę różniczkowej postaci zasady energii.
Prof. Edmund Wittbrodt
W najczęściej występujących w praktyce przypadkach mamy do czynienia ze szczególnymi typami sił, których prace
obliczamy następująco:
Praca siły stałej
s2
s2
s2
s1
s1
s1
L1,2 = ∫ W ⋅ ds = ∫ Wds cos α = W cos α ∫ ds = W cos α ( s2 − s1 ) = Ws cos α .
W
1
(4.22a)
W = const
α = const
s − droga
α
2
ds
s
s1
s2
Praca siły stałej
Praca siły ciężkości
s2
s2
h2
s1
s1
h1
L1,2 = Q ⋅ ds = Qds cos α = Qdh = Qh2 − Qh1 = V2 − V1 = Qh ,
∫
gdzie
∫
∫
(4.22b)
V = Qh – potencjał pola grawitacyjnego.
h1
1
α
h2
h
ds
dh
Q
2
Praca siły ciężkości
Prof. Edmund Wittbrodt
Praca siły w sprężynie
s2
L1,2 =
s2
s2
1
∫ S ⋅ dx = ∫ − Sdx = − ∫ kxdx = − 2 kx
s1
s1
s1
2
(
)
s2
1
= − k s22 − s12 .
s1
2
(4.22c)
Gdy położenie początkowe końca sprężyny s1 jest równe długości sprężyny nieodkształconej, to wzór (4.22c) przyjmuje
postać
1
L1,2 = − k λ 2 ,
2
(4.22d)
gdzie λ − odkształcenie sprężyny.
S = kx − siła w sprężynie,
k − współczynnik sztywności
sprężyny liniowej (k = const)
x
2
λ
s2
dx
S
1
x
y
s1
Praca siły w sprężynie
Prof. Edmund Wittbrodt
Potencjał. Potencjalne pole sił
Potencjał – funkcja zależna tylko od współrzędnych położenia punktu, w którym potencjał ten jest obliczany
V = V ( x, y , z )
Siła potencjalna – siła, której rzuty na osie obliczamy:
Px =
∂V
,
∂x
Py =
∂V
∂y ,
Pz =
∂V
∂z
Zatem
P=
∂V
∂V
∂V
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
Prof. Edmund Wittbrodt
2
Przykłady potencjalnych pól sił:
h
r
r
P = − mgk
Siła ciężkości - potencjał
- praca
Siła w sprężynie - potencjał
Dla potencjalnego pola sił mamy
skąd
V = − mgz ,
skąd
P = 0i + 0 j − mgk
1
z
L1, 2 = V1 − V2 = mgz1 − mgz 2 = − mgh
1
V = − kx 2 ,
2
y
P = − kxi
skąd
x
r
r
S = −kxi
E 2 − E1 = L1, 2 = V1 − V2 ,
E1 + V1 = E 2 + V2 = E mech ,
gdzie
x
E mech = E + V – energia mechaniczna
Emech = const
Zasada zachowania energii mechanicznej:
Suma energii kinetycznej i potencjalnej sił zewnętrznych ciała w ruchu postępowym jest wielkością stałą.
Prof. Edmund Wittbrodt