zadania 1

Komputerowa Analiza Zagadnień Różniczkowych 2009/10 — Zestaw 1
1
1. Rozważmy równanie różniczkowe
dx
d2 x
+γ
+ ω 2 x = A sin(Ωt) ,
2
dt
dt
(1)
gdzie γ > 0.
(a) Znaleźć rozwiazanie
˛
ogólne tego równania. Należy przedyskutować przypadki
i. γ 2 > 4ω 2 ,
ii. γ 2 = 4ω 2 ,
iii. γ 2 < 4ω 2 .
(b) Jaka˛ postać przybiera rozwiazanie
˛
dla t >> 0?
(c) Przedyskutować zachowanie rozwiazania
˛
dla Ω ' ω.
(d) Zapisać róznanie (1) w postaci układu dwu równań pierwszego rz˛edu.
2. Znaleźć rozwiazanie
˛
ogólne równania1
d2 y
dy
d3 y
+5 2 +8
+ 4y = 0
dx
dx
dx
dy oraz jego rozwiazanie
˛
szczególne, spełniajace
˛ y(0) = 0, dx
= 0,
0
(2)
d2 y dx2 = 1.
0
3. Oblicz
exp
1
0
1
1
t
(3)
4. Znajdź rozwiazanie
˛
ogólne nast˛epujacego
˛
układu równań
du
dx
dv
dx
=
1009u + 2009v
(4a)
=
−1010u − 2010v
(4b)
5. Wyprowadź równanie drugiego stopnia na funkcj˛e u(x), odpowiadajace
˛ układowi równań (4),
a nast˛epnie przekształć je do układu równań pierwszego stopnia za pomoca˛ “kanonicznej”
procedury użytej na wykładzie. Porównaj ten układ z układem (4).
6. Dane sa˛ dwa problemy Cauchy’ego

 du
dt
u(0)
= Au
= u0

 dv
dt
v(0)
= Av
(5)
= v0
gdzie u, v, u0 , v0 ∈ RN , A ∈ RN ×N . A jest stała,˛ diagonalizowalna,˛ nieosobliwa˛ macierza,˛
taka˛ sama˛ w obu problemach Cauchy’ego. Oszacować ku(t) − v(t)k dla t 0.
PFG
1 Wersja
zmieniona w stosunku do zadania, które pierwotnie si˛e tutaj pojawiło.