Zestaw

Fizyka, II rok FS, FiTKE, IS
Równania różniczkowe i całkowe, Zestaw 1b
1. Prosz˛
e wyznaczyć całk˛
e ogólna˛ nast˛
epujacych
˛
równań różniczkowych
(a) ,
(b) ! ,
(c) #"$%&"'%()( ,
(d) #"$%&"'% *+-, ,
.0/21'3
(e)
5764 8 ,
(f) 9):;=<'+> ,
(g) %>?.@
%>A*CD B ,
(h) 99FE@=FE ,
(i) "$G IHJ>:"$+K?G @&L ,
(j) H M: >?K G N
HPO M: > Q% K G ,
(k) <'>):(RSN
L ,
(l) 99T =+>U
(m) V2W V
(n) V2W V
(o) ,
> W =%( ,
&^_`Za?bdc ,
4
576P8 W XZY 8\[ ] > W ,
H K ;e4 fg
"$ ,
>
(p) Hh:!K?GA@Hh#"$!KG @&L ;
(q) %G @SGA
X WV2W (r) U V i
4X ,i
X W,
(s)
>P H 4 *kj7l K V H4 ,K ,
X
2V W * W?V ;
,i
X W,
V2W * WV =L ;
, XiW ,
j7l
&L ;
4 X 2V W ,
2. Prosz˛
e wyznaczyć całk˛
e ogólna˛ nast˛
epujacych
˛
równań
˛ Lagrange’a lub Clairauta
(a) m.9)
O M: > ;
(b) @
9 S ;
1
(c) "$nHJ))" Kgo% > ;
(d) @9 S >
(e) @eHM:pKS > ;
H q:" K )9r=g&L ;
(f) >M
(g) @s"$t
4 ;
W u
(h) @
O . > ;
(i) @
9 >MS ( ;
3. Prosz˛
e wyznaczyć czynnik całkujacy
˛ danego równania różniczkowego, a nast˛
epnie wyznaczyć
całk˛
e ogólna˛ równania zupełnego.
(a) H = K G H #
K G @
L
W
(b) H fm<'%>Z ! K GAQS%G ;
L
(c) Hh%>?)(RS!KG IHJ+(>.+K-G @=L
(d) gr:v&w\g 9m.M!x7+
L
W
Odpowiedzi:
(1a) kw\yx0 4 -g#z 4 * Y , gdy {
XZY
(1b) kwJ+xR H z 4 K /P1A > ;
(1c) >g  j , D , 4 , B ;
B
X
}=
| L oraz H #zM~ K , gdy {
X ,
(1d) kw\+xM€Hh%>FzrK? *+-, ;
(1e) ywJ+xReHh# zrK 576P4 8 ;
(1f) kw\+xM=+>M ;
(1g) kw\yxR= *CD B  HgzrK ;
(1h) kw\+xM 4 4j ;
(1i) ‚w\!x0ƒ +† >4 >R#z„ ;
* 5768 W ;
(1j) …wJ!x0 U
4 XZW ,
(1k) ( wJ+xR
R#zv *y ;
U @zrK >
(1l) kw\yxRo%‡yH'Ef
;
(1m) kwJ+xR ˆ4 9‡F#z ~ 4 , ; 8\[ ]
;
(1o) kwJ+xR&‰fqŠMzv *
+
M
>
S
9
‹
:
>
g
s
z
4
(1p) >
;
(1q) >4 +>MS1AŒP/P1A >4 )>gsz ;
W
(1r) O M: > : > 1'Œ2d/21' sz ;
W
* H 4 *yjl K sz
(1s) 4 ,
;
U Mz >
X
(2a) sz„
lub rozwiazanie
˛
osobliwe y>MS)>g ;
;
&
„
z
@
z
(2b)
;
A*  … ,
@

Ž
(2c)
lub ;=L lub @TA ;
(2d) Rozwiazanie
˛
dane parametrycznie (gdzie ‘ jest parametrem)
’
…w ‘ R
x > ‘ #z ‘ *“,!B ”
(
kw ‘ x0r
4 ‘ >:z ‘ ,B
(
2
&L ;
(2e) Rozwiazanie
˛
dane parametrycznie
’
…w ‘ 0
x szvA*9•„:" ‘ #"
”
kw ‘ x0&
zv *!• H M ‘ K ‘ >R"
>
>M: ;
(2f) @sz„ H z&Š K lub rozwiazanie
˛
osobliwe N‡ 4 +
–
(2g) Rozwiazanie
˛
dane parametrycznie
‚w ‘ R
x 4 fE m— ‘ —  ”
•
• ,
kw ‘ x0s
" ‘ , Q 4
•
(2h) Rozwiazanie
˛
dane parametrycznie
’
…w ‘ R
x oEfm— ‘ —$1'Œ2f ‘ #z
”
@ ‘ O ‘ >
–
(2i) Rozwiazanie
˛
dane parametrycznie
…w ‘ 0
x ™˜, •,*9 • ˜ 4 *9• ,
yw ‘ x0=
Ž ‘ >F ‘ (

Ž 4 *9•  , ”
oraz dwa rozwiazania
˛
osobliwe: @&L , ;=
.
\
w
!x
R
&
„
z
š
(3a) š
˛
ogólne: >4 > S9 >4 > z ;
 , rozwiazanie
\
w
!x
0
(3b) š
š
˛
ogólne: “/P1'Qy(C&z ;
5768 , , rozwiazanie


W
(3c) š š w\›Qw\ ” !x‰xM œ Ž A  , rozwiazanie
˛
ogólne: >4 > > SEm— ‚—'Efm— k— &z ;
W
W
\
w
y
R
x
&
v
z
%
(3d) np. š
, rozwiazanie
˛
ogólne: $0Q.nrS'F@sz ;
š
Pytania, komentarze, uwagi prosz˛e przesyłać na adres:
žPŸi ¡ ¢\£‚¤\¥¦-§d¨ª©« ¢¬¨ª­®¨ ®¦$¯'¨ª­$¡
3