SYGNA£Y I SYSTEMY lato 2003

SYGNAŁY I SYSTEMY lato 2004
LISTA 3 - Transformata Fouriera
1
Sygnał x(t) ma transformatę Fouriera postaci X (ω ) =
1
, b = const. Wyznacz transformaty Fouriera
jω + b
następujących sygnałów: y ( t ) = x ( 5t − 4 ) , y ( t ) = t 2 x ( t ) , y ( t ) = x ( t ) e j 2t , y ( t ) = x ( t ) cos 4t , y ( t ) =
y (t ) = x (t ) ∗ x (t ) .
2
d 2 x (t )
dt 2
,
Przedstawić poniższe sygnały w postaci sumy (różnicy) impulsów prostokątnych i trójkątnych. Wyznaczyć ich
transformaty Fouriera
2
x(t)
x(t)
x(t)
2
1
1
1
2
t
-1
1
2
t
-1
1
2
-1
3
4
Wyznaczyć transformaty Fouriera następujących sygnałów:
• x ( t ) = exp ( −t ) cos ( 4t )1( t )
•
x ( t ) = te − t 1( t )
•
x ( t ) = ( cos 4t )1( t )
•
x ( t ) = e , −∞ < t < ∞
•
x ( t ) = A∏ τ ( t ) cos ( 2π f c t )
•
t
πt 
x ( t ) = Π   cos   .
6
 2
−t
Wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następujących sygnałów:
• impulsu prostokątnego x ( t ) = A ⋅ Π ( t T )
•
impulsu trójkątnego x ( t ) = A ⋅ Λ ( t T )
•
sygnału wykładniczego jednostronnego x ( t ) = A exp ( −α t )1( t )
5
Dany jest sygnał x1 ( t ) = x ( t + τ 2 ) − x ( t − τ 2 ) , gdzie x ( t ) = 1( t + τ 2 ) − 1( t − τ 2 ) . Naszkicować sygnały x(t)
oraz x1(t). Wyznaczyć transformatę Fouriera sygnału x1(t) oraz naszkicować widmo amplitudowe i fazowe tego
sygnału.
6
Wiadomo, że transformatą Fouriera sygnału x ( t ) = Π ( t τ ) jest X(f) = τ Sa(πfτ). Naszkicować przebieg x1(t)
= x(t + τ) + x(t - τ). Wyznaczyć transformatę Fouriera sygnału x1(t).
7
Wyznaczyć sygnały x(t) i y(t), jeśli dane są ich transformaty Fouriera:
 2, ω < π
X (ω ) = 
,
0, w.p.p.
8
Y ( ω ) = X ( ω − ω 0 ) + X (ω + ω 0 )
Wyznaczyć i naszkicować widmo Fouriera następujących sygnałów:
x1 ( t ) = Sa (π t ) cos ( 2π t )
•
•
x2 ( t ) = Sa ( 2π t ) cos ( 4π t )
•
x3(t)=[Sa(πt)+Sa(2πt)]cos(6πt)].
Korzystając z twierdzenia Parsevala obliczyć energię każdego z sygnałów.
t
9
Dany jest sygnał y ( t ) =  x ( t ) + x ( 2t )  cos ( 2π f 0 t ) , gdzie x ( t ) = Sa ( t ) . Wyznaczyć i narysować widmo
amplitudowe tego sygnału. Jaka musi być minimalna częstotliwość f0, aby składowe widma sygnału y(t) na
częstotliwościach dodatnich i ujemnych nie zachodziły na siebie?
10 Wyznaczyć transformatę Fouriera sygnału
 πt
cos τ
x (t ) = 
0

t ≤
t >
τ
 πt
sin τ
x (t ) = 
0

2
τ
2
sin 2 t
11 Korzystając z twierdzenia Parsevala obliczyć całki: ∫
dt ,
−∞ t 2
∞
∫
t ≤
t >
1
∞
−∞
(1 + x )
2 2
τ
2
τ
2
dx
12 Znaleźć sygnały x(t), których widma X(ω) są pokazane na rysunkach a, b, c. Przy wyznaczaniu sygnałów
wykorzystać właściwości przekształcenia Fouriera.
X(ω)
X(ω)
2a
4a
2a
A
-ω 0
ω0
-ω 0
ω
Rys. a
ω0
ω
Rys. b
arg(X(ω))
|X(ω)|
Nachylenie = -τ
A
-ω 0
4a
A
ω0
ω
ω
Rys. c
13 Sygnał x(t) ma transformatę Fouriera daną wzorem:
X (ω ) =
1   2ω 1 
 2ω 1  
Sa 
−  − Sa 
+ 

j  π
2
2 
 π
•
wyznaczyć sygnał x(t)
•
wyznaczyć transformatę Fouriera Xp(ω) sygnału okresowego xp(t) zdefiniowanego w postaci
xp (t ) =
∞
∑ x ( t − 16k )
k =−∞
14 Widmo Fouriera X(f) sygnału x(t) pokazane jest na rysunku. Wyznaczyć energię sygnału x(t). Znaleźć
częstotliwość fg, dla której 7/8 energii sygnału znajduje się w paśmie (-fg, fg).
X(f)
1
-1
1
f