2. Szeregi Fouriera. Transformacja Fouriera

INSTYTUT MATEMATYKI
POLITECHNIKA KRAKOWSKA
Dr Margareta Wiciak, Dr Monika Herzog
e-mail: [email protected], [email protected]
2. Szeregi Fouriera. Transformacja Fouriera
zad.1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje:
a) f (x) = x dla x ∈ [−π, π];
b) f (x) = x2 dla x ∈ [−π, π];
c) f (x) = |x| dla x ∈ [−π, π];
0 dla x ∈ [−π, 0]
d) f (x) =
;
x dla x ∈ (0, π]
e) f (x) = sin 12 x dla x ∈ [−π, π];
f ) f (x) = cos 31 x dla x ∈ [−π, π];
0
dla x ∈ [−π, 0)
;
g) f (x) =
sin x dla x ∈ [0, π]
h) f (x) = x cos x dla x ∈ [−π, π].
Wyznaczyć wartość szeregu dla x = −π i x = π.
zad.2. Rozwinąć w szereg Fouriera według sinusów funkcje:
a) f (x) = 1 dla x ∈ [0, π];
b) f (x) = x(π − x) dla x ∈ [0, π];
zad.3. Rozwinąć w szereg Fouriera według cosinusów funkcje:
a) f (x) = −x + π dla x ∈ [0, π];
b) f (x) = x(π − x)

 x
π
+1
c) f (x) =
 4 2
1
dla x ∈ [0, π];
zad.4. Rozwinąć w


 x
π−x
a) f (x) =


x − 2π
szereg Fouriera funkcje:
dla x ∈ [0, π2 )
dla x = π2
dla x ∈ ( π2 , π].
dla x ∈ (0, π2 )

dla x ∈ [0, 1]
 x
1
dla x ∈ (1, 3]
b) f (x) =

4 − x dla x ∈ (3, 4];
dla x ∈ ( π2 , 3π
2 ]
dla x ∈ ( 3π
2 , 2π);
c) f (x) = | sin x| dla x ∈ R.
zad.5. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji:
a) f (t) = H(t) − H(t − 2);
b) f (t) = H(t + 2) − H(t);
c) f (t) = H(t + 2) − 2H(t) + H(t − 2),

 1
0
gdzie H jest funkcją Heaviside’a, H(t) =
 1
2
dla t > 0
dla t < 0 .
dla t = 0