Zestaw 1
Transkrypt
Zestaw 1
Statystyka I - seria 1 1. Wykonujemy n doświadczeń losowych, z których każde kończy sie˛ sukcesem z prawdopodobieństwem θ. Wiadomo, że θ ∈ [θ1 , θ2 ], gdzie θ1 , θ2 sa˛ ustalone. Sformułować model statystyczny tego eksperymentu. P próba˛ losowa˛ z rozkładu Poissona Poi( λ) i niech T = ni=1 Xi . 2. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie ˛ Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej X1 pod warunkiem T = t. 3. Niech Y bedzie zmienna˛ losowa˛ o rozkładzie wykładniczym Exp(1). Niech X oznacza zmienna˛ ˛ losowa, ˛ której rozkład warunkowy przy ustalonej wartości y zmiennej Y jest rozkładem Poissona Poi(y). Znaleźć rozkład zmiennej X oraz rozkład warunkowy PY |X zmiennej losowej Y pod warunkiem X. 4. Niech X bedzie zmienna losowa˛ o rozkładzie z ciagł ˛ ˛ a˛ i ściśle rosnac ˛ a˛ dystrybuanta˛ F. Pokazać, że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1). próba˛ losowa˛ z rozkładu o gestości f. Wyznaczyć rozkład statystyki 5. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie ˛ ˛ pozycyjnej Xk:n . 6. Niech X ∼ G(a, p), Y ∼ G(b, p), przy czym zmienne X, Y sa˛ niezależne. Udowodnić, że X + Y ∼ G(a + b, p). próba˛ losowa˛ z rozkładu wykładniczego Exp(λ). Wyznaczyć rozkład 7. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie ˛ Y = 2λΣni=1 Xi . 8. Niech X ∼ N (0, 1) . Wyznaczyć rozkład zmiennej X 2 . 9. Niech X1 , X2 , ..., X ˛ a˛ niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N (0, 1) . Wyznaczyć n b ed P rozkład zmiennej ni=1 Xi2 . 10. Niech X ∼ N (0, 1) , Y ∼ χ2 (n) , przy czym X, Y sa˛ niezależne. Pokazać, że zmienna losowa Z = √X ma rozkład t (n) . Y /n 11. Niech X ∼ χ2 (n) , Y ∼ χ2 (m) , przy czym X, Y sa˛ niezależne. Pokazać, że zmienna losowa Z = YX/n /m ma rozkład Fn,m . 12. Niech X = (X1 , X2 , ..., Xn )T ∼ N (μ, C) i niech Y = A(X − μ), gdzie A jest pewna˛ macierza˛ nieosobliwa. ˛ Wykazać, że a) Y ∼ N (0, B) . Wyznaczyć macierz B. b) jeżeli macierz A jest ortonormalna, oraz μ = 0, to Pn 2 i=1 Xi = Pn 2 i=1 Yi , c) je X1 , X2 , ..., Xn sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie ¡ ¢ ¢ ¡ żeli2ponadto N 0, σ , to również Y1 , Y2 , ..., Yn sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, σ 2 . 1 13. Niech W = (wij )i,j=1,...,n , gdzie 1 √ , j = 1, 2, ..., n, n 1 , i = 2, 3, ..., n; j < i, = p i (i − 1) r i−1 , i = 2, 3, ..., n = − i = 0, j > i, w1j = wij wii wij ¢ ¡ Niech X1 , X2 , ..., Xn bed ˛ a˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N μ, σ 2 i niech Y = WX, gdzie X = (X1 , X2 , ..., Xn )T . Pokazać, że a) W jest macierza˛ ortonormalna, ˛ √ b) Y1 = nX̄, P P c) ni=2 Yi2 = ni=1 (Xi − X̄)2 , P d) Zmienne losowe X̄ oraz ni=1 (Xi − X̄)2 sa˛ niezależne, P e) Wyznaczyć rozkład X̄ oraz ni=1 (Xi − X̄)2 /σ 2 . 14. Pokazać, że w modelu normalnym zmienna losowa ma rozkład t (n − 1) . 2 √ n(X̄−μ) , S gdzie S 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X̄)2