Przykładowe zestawy egzaminacyjny ZESTAW 1 1. Wiedzac, ˙ze

Przykładowe zestawy egzaminacyjny
ZESTAW 1
1. Wiedza̧c, że liczba z1 = 1−i jest jednym z pierwiastków wielomianu w (z) = z 6 −2z 5 +3z 4 −2z 3 −10z 2 +24z −24.
wyznaczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu
2. Wyznaczyć przedziały wklȩsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegiȩcia wykresu funkcji
1
1
f (x) = x3 + x2 + 2 (x − 2) ln |x − 2| .
6
2
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y, z) = xz + y 3 +
16 3 2 32
− y + .
x
2
z

 x=3−t
y = 2t
4. Wyznaczyć punkt symetryczzny do punktu A = (0, 1, −1) wzglȩdem prostej o równaniu:
.

z = −2
5. Wyznaczyć macierz X z równania
2 −3 1
2 1 −3
− 2X T =
1 −2 4
3 2 −3


−2 1
0
 1
0 −2  .
0 −2 1
6. Sformułować kryterium d’Alamberta oraz kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów liczbowych. Podać przykład
szeregu liczbowego zbieżnego oraz przykład szeregu liczbowego rozbieżnego.
ZESTAW 2
1. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów z spełniaja̧cych warunek
Re
z+1
< 0.
z−1
√
∞
n2 + 3 − n
(2n)n
√
. b) Zbadać zbieżność szeregu:
.
n→∞ 2n − 4n2 + 1
n!
n=1
2. a) Obliczyć granice cia̧gu lim
3. Podać definicjȩ ekstremum lokalnego funkcji. Zbadać przedziały monotoniczności funkcji oraz istnienie ek2
stremów lokalnych funkcji f (x) = x3 ex −5x
4. Wyznaczyć asymptoty funkcji y = x arctan 2x.
5. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do prostych
l1 :
x−2
= z + 3, y = 0 oraz l2 :
−2
2x + y − 3 = 0
.
2y + z − 2 = 0
przechodza̧cej przez punkt M = (1, −2, 0) .




1 −1 0
−3 −3 2
6. Wyznaczyć macierz X z równania  2 −1 1  X =  2 −2 10  ..
0 1 2
13
4 12
1