Zadanie 7

Zadanie 7
W budynku jednokondygnacyjnym o schemacie jak na rysunku zastosowano wiskotyczne tłumiki
drgań. Budynek jest narażony na działanie harmonicznej siły wymuszającej o charakterystyce
sinusoidalnej.
Wyznaczyć:
1.
2.
3.
4.
częstość drgań własnych budynku bez tłumików drgań
amplitudę drgań wymuszonych w ruchu ustalonym bez tłumików drgań
amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym z uwzględnieniem tłumików
współczynnik tłumienia tłumika wiskotycznego, przy którym całkowite tłumienie budynku osiąga
wartość krytyczną.
Przy jakiej częstości siły wymuszającej amplituda drgań ustalonych budynku bez tłumików drgań
jest największa i ile wynosi?.
Sztywna kondygnacja o masie m
EI, c
EI, c
L
F(t)
ct
ct
3
kN := 10 N
6
MN := 10 N
L
Dane
3
M := 10⋅ 10 kg
- masa kondygnacji
L := 10m
- wysokość kondygnacji
2
EI := 15MN⋅ m
c := 2 ⋅ 10
4 kg
s
4 kg
ct := 4 ⋅ 10
s
F0 := 24kN
rad
ω w := 6
s
- sztywność giętna jednego słupa
- współczynnik tłumienia konstrukcyjnego jednego słupa
- ustalony współczynnik tłumienia tłumika drgań
- amplituda siły wymuszającej
- częstość siły wymuszającej
Uwaga: Współczynnik sztywności słupa wyznacza się z wzoru:
k :=
12EI
L
3
k = 1.8 × 10
5N
m
Rozwiązanie
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego ma postać:
M⋅
⎛d ⎞
x + 2c⋅ ⎜ x ⎟ + 2k ⋅ x = F( t)
⎝ dt ⎠
dt
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
tłumików drgań ma postać:
M⋅
⎛d ⎞
x + 2c + ct ⋅ ⎜ x ⎟ + 2k ⋅ x = F( t)
⎝ dt ⎠
dt
d
2
2
d
2
(
2
)
Lub po przekształceniach - równanie 1
2
⎛d ⎞
x + 2b k ⋅ ⎜ x ⎟ + ω ⋅ x = f ( t)
⎝ dt ⎠
dt
równanie 2
2
⎛d ⎞
x + 2b t⋅ ⎜ x ⎟ + ω ⋅ x = f ( t)
⎝ dt ⎠
dt
gdzie:
b k :=
c+
c
b t :=
M
d
2
2
d
2
2
1
c
2 t
2k
ω :=
M
M
b k = 2 Hz
b t = 4 Hz
ω = 6 Hz
Odpowiedź na pytanie 1
Częstość drgań własnych z uwzględnieniem wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego wynosi
ω k :=
2
ω − bk
2
ω k = 5.657 Hz
4 ⋅ 2 = 5.657
Odpowiedź na pytanie 2
q 0 :=
F0
q0
Bk :=
M
ω
2
1
⋅
⎡⎢
⎢1 −
⎣
⎛ ωw ⎞
⎜ ⎟
⎝ ω ⎠
2⎤
Bk = 0.1 m
2
2
⎥ ⎛ bk ω w ⎞
⎥ + ⎜ 2⋅ ⋅ ⎟
⎦ ⎝ ω ω ⎠
Odpowiedź na pytanie 3
q 0 :=
F0
Bt :=
M
q0
ω
2
1
⋅
⎡
⎢
⎢1 −
⎣
⎛ ωw ⎞
⎜ ⎟
⎝ ω ⎠
2⎤
Bt = 0.05 m
2
⎥ ⎛ bt ω w ⎞
⎥ + ⎜ 2⋅ ⋅ ⎟
⎦ ⎝ ω ω ⎠
2
Odpowiedź na pytanie 4
Współczynnik tłumienia krytycznego wyznacza się z zależności:
c+
Więc
b kr =
2
2
ω − b kr = 0
wtedy: b kr := ω
1
c
2 tkr
M
=ω
stąd
ctkr := 2 ⋅ ( ω ⋅ M − c)
ctkr = 8 × 10
4 kg
s
Odpowiedź na pytanie 5
Największa amplituda drgań w ruchu ustalonym bez tłumika drgań wystąpi przy częstości siły
wymuszającej równej ωk i wyniesie:
Bmax :=
q0
ω
2
1
⋅
⎡⎢
⎢1 −
⎣
2⎤
2
⎛ ω k ⎞ ⎥ ⎛ bk ω k ⎞
⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ 2⋅ ⋅ ⎟
⎝ω ⎠ ⎦ ⎝ ω ω ⎠
Bmax = 0.104 m
2