Uogólnienia procesu Poissona

Wykład 5
Uogólnienia procesu
Poissona
5.1
Proces niejednorodny
Definicja 5.1.1 Proces zliczajacy
˛ N = {Nt ; t ≥ 0} nazywamy niejednorodnym
procesem Poissona z funkcja intensywno´sci λ (t) , t ≥ 0, je´sli
i) N0 = 0,
ii) N ma niezależne przyrosty
iii) P (Nt+h − Nt ≥ 2) = ot (h)
iv) P (Nt+h − Nt = 1) = λ (t) h + o1 (h) .
Oznaczmy mt =
t
0
λ (y) dy. Można wówczas pokazać, że
P (Nt+s − Nt = n) = e−(mt+s −mt )
5.1.1
(mt+s − mt )n
, n ≥ 0.
n!
Złożony proces Poissona
Niech {Yi }s≥1 bedzie
˛
ciagiem
˛
niezależnych zmiennych losowych o jednakowych
rozkładach ( ciagiem
˛
i.i.d.) . Ciag
˛ {Yi }s≥1 nazywać bedziemy
˛
ciagiem
˛
szkód.
Niech dalej {Nt ; t ≥ 0} bedzie
˛
niezależnym od {Yi } procesem Poissona z intensywnościa˛ λ. Złożonym procesem Poissona nazywamy proces:
Xt =
Nt
Yi .
i=1
Przykładami takich złożonych procesów Poissona sa˛ np. proces zgłoszeń szkód
do towarzystwa ubezpieczeń (proces zdarzeń wypadków Poissonowski, i -ta szkoda
Yi ), proces wpływów do kasy supermarketu (klienci wychodza˛ zgodnie z procesem Poissona i każdy z nich zostawia Yi zł. ).Mamy nastepuj
˛ ace
˛ stwierdzenie:
Stwierdzenie 5.1.2 i) EXt = λtEY1
ii) var (Xt ) = λtEY12 .
31
WYKŁAD 5. UOGÓLNIENIA PROCESU POISSONA
32
Dowód. Mamy z własności warunkowej wartości oczekiwanej:
EXt = E (E (Xt |Nt )) .
n
n
Nt
A wiec
˛ E (Xt |Nt = n) = E
i=1 Yi |Nt = n = E (
i=1 Yi |Nt = n) = E (
i=1 Yi )
= nEY1 . A wiec
˛ ogólnie
E (Xt |Nt ) = Nt EY1 ,
stad
˛ natychmiast dostajemy pierwsza˛ teze˛ .
Aby dostać druga˛ wykorzystamy nastepuj
˛ ac
˛ a˛ własność warunkowej wartości
oczekiwanej:
var (X) = E (var (X|A)) + var (E (X|A))
zachodzacej
˛ dla dowolnej zmiennej losowej X takiej, że EX 2 < ∞ i dowolnego
σ− ciała A.
Mamy zatem
var (Xt ) = E (var (Xt |Nt )) + var (E (Xt |Nt )) .
Nt
var (E (Xt |Nt = n)) = var
Y
|N
=
n
= var ( ni=1 Yi |Nt = n) = var ( ni=1 Yi )
i
t
i=1
= n var (Y1 ) . Zatem var (Xt |Nt ) = Nt var (Y1 ) . Reasumujac
˛ dostaniemy:
var (Xt ) = E (Nt var (Y1 )) + var (Nt EY1 )
= λt var (Y1 ) + λt (EY1 )2 = λtEY12 .
5.2
System M/M/c
Przypuśćmy, że sygnały przybywaja˛ do centrali o pojemności c zgodnie ze strumieniem Poissonowskim z intensywnościa˛ λ. Każdy sygnał jest albo obsługiwany przez pierwsze wolne łacze
˛
(ustanowione jest połaczenie)
˛
przez pewien
okres czasu o którym założymy,że ma rozkład wykładniczy z parametrem µ,
albo odrzucany jeśli nie ma aktualnie wolnego łacza.
˛
Powiemy, że system jest w stanie [r], , r = 0, . . . , c, jeśli w r łaczy
˛
jest
zajetych.
˛
Oznaczmy
pr = P (system jest w stanie [r]) .
Załóżmy także, że system działa już od długiego czasu i osiagn
˛ ał
˛ on równowage˛
w tym sensie, że prawdopodobieństwa pr , r = 0, . . . , c nie zależa˛ od t.
Załóżmy, że system jest w stanie r w momencie τ . Wówczas w ciagu
˛ najbliższych ∆τ jednostek może
1. przybyć jedno zgłoszenie z prawdopodobieństwem ∼
= λ∆τ + o (∆τ ) ,
r
2. zwolnić sie˛ jedno łacze
˛
z prawdopodobieństwem ∼
= 1−(1 − µ∆τ − o (∆τ))
= rµ∆τ + o (∆τ ) .
Zatem prawdopodobieństwo opuszczenia stanu [r] w ciagu
˛ najbliższych ∆τ
jest równe
pr (λ + rµ) ∆τ + o (∆τ ) .
Przybycie do stanu [r] jest możliwe
5.2. SYSTEM M/M/C
33
1. ze stanu [r − 1] , gdy przybedzie
˛
zgłoszenie w ciagu
˛ ∆τ . Prawdopodobieństwo
tego jest równe ∼
= pr−1 λ∆τ + o (∆τ ) .
2. ze stanu [r + 1], gdy zwolni sie˛ jedno łacze
˛
w ciagu
˛ ∆τ . Prawdopodobieństwo
tego jest równe ∼
= pr+1 µ (r + 1) ∆τ + o (∆τ ) .
3. ze stanu różnego od [r − 1] , [r] , [r + 1] . Prawdopodobieństwo tego jest
równe o (∆τ ) .
Aby system był w równowadze (tj. aby prawdopodobieństwa przebywania
w stanie [r] nie zmieniały sie˛ w czasie), prawdopodobieństwo ”wyjścia” ze stanu
[r] w ciagu
˛ najbliższych ∆τ jednostek winny być równe prawdopodobieństwu
”dojścia” do stanu [r] , czyli innymi słowy, musi być spełnione równanie:
λpr−1 − (λ + rµ) pr + (r + 1) µpr+1 = 0,
(5.2.1)
dla r = 1, . . . , c−1. Dla r = 0 prawdopodobieństwa wyjścia i dojścia do stanu [r]
sa˛ odpowiednio równe p0 λ∆τ +o (∆τ ) i p1 µ∆τ +o (∆τ ) . A wiec
˛ równanie (5.2.1)
jest prawdziwe, jeśli położyć p−1 = 0. Dla r = c prawdopodobieństwa wyjścia i
dojścia do stanu [c] sa˛ równe odpowiednio: pc cµ∆τ +o (∆τ ) i pc−1 λ∆τ +o (∆τ ) .
A wiec
˛ dla r = c mamy równanie:
λpc−1 − cµpc = 0.
Po wprowadzeniu parametru ρ = λ/µ równania te przejma˛ postać:
ρpr−1 − (ρ + r) pr + (r + 1) pr+1 = 0
ρpc−1 − cpc = 0.
Rozwiazanie
˛
tych równań przy warunku ci=0 pi = 1 daje:
p0
= 1/
c
ρi
i=0
pc
=
ρc
c!
i!
c
ρi
/
.
i!
i=0
(5.2.2)
Otrzymaliśmy wiec
˛ słynna˛ formułe˛ Erlanga (5.2.2) padajac
˛ a˛ prawdopodobieństwo
zablokowania sie˛ (odrzucenia zgłoszeń) centrali. Służy ona do projektowania
central telefonicznych
34
WYKŁAD 5. UOGÓLNIENIA PROCESU POISSONA