RACHUNEK PRAWDOPODOBIE´NSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista nr 1
1. Niech
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1},
B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4},
C = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 < 1}.
a) Znaleźć zbiory
A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∪ B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C,
A ∩ B ∩ C,A − B, A − C, B − A.
2. Stosuja̧c diagram Venna sprawdzić tożsamości :
A − B = A ∩ B, A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.
3. Z partii towaru zawieraja̧cej sztuki dobre i zle losujemy trzy sztuki. Niech
A, B i C oznaczaja̧ zdarzenia
A - dokladnie 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych,
B - co najwyżej 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych,
C - co najmniej 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych.
Wyjaśnić, co oznaczaja̧ zdarzenia :
A, B, C, A ∪ B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B, B ∩ C.
4. Pudelko zawiera 3 kule, 1 czerwona̧, 1 zielona̧ i jedna̧ biala̧. Rozważmy
eksperyment polegaja̧cy na losowaniu kuli z pudelka, odlożeniu jej do pudelka
i ponownym losowaniu kuli. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zakladaja̧c
że wszystkie zdarzenia elementarne sa̧ jednakowo prawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano kule różnych kolorów. Jak wygla̧da przestrzeń
zdarzeń elementarnych gdy druga kula jest losowana bez uprzedniego zwrotu
do pudelka pierwszej kuli.
5. Komentator sportowy przewiduje wyniki Konferencji Atlantyckiej Ligi
Koszykówki. Stwierdza “Prawdopodobieństwo, że drużyna A wygra jest
dwa razy wiȩksze niż, że wygra drużyna B. Drużyny C i D maja̧ szansȩ
0.1 na zwyciȩstwo a prawdopodobieństwo, że drużyna B wygra jest trzy razy
wiȩksze. Nikt inny nie ma szans.” Czy komentator prawidlowo przypisal
prawdopodobieństwa zwyciȩstwa ośmiu drużynom z Ligi.
6. Pewien wyrób może mieć dwa rodzaje defektów: defekt typu a oraz defekt typu b. Przypuśćmy, że w partii takich wyrobów dostarczonych przez
pewnego producenta 20% ma defekt a, 30% defekt b oraz 10% oba te defekty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrób wylosowany z partii dostarczonej przez tego producenta bȩdzie mial
a) tylko defekt typu a
b) defekt typu a lub defekt typu b
c) tylko jeden z obu defektów
d) nie bȩdzie mial żadnego defektu
7. Z talii kart wycia̧gniȩto cztery karty.Znaleźć prawdopodobieństwo, tego
że bȩda̧ wśród nich dokladnie dwa asy.
8. W skrzynce znajduje siȩ 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wycia̧gamy
losowo piȩć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bȩda̧ wśród nich
najwyżej dwie przepalone?
9. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje siȩ na dziesiȩciu
piȩtrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z pasażerów wysia̧dzie
na innym piȩtrze?
10. Rzucamy kostka̧ do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy liczbȩ parzysta̧, jeśli:
a) wszystkie wyniki sa̧ jednakowo prawdopodobne,
b) szóstka wypada z prawdopodobieństwem 0.5, a pozostale wyniki sa̧
jednakowo prawdopodobne.
Malgorzata Bogdan