Ćwiczenia z analizy numerycznej
Transkrypt
Ćwiczenia z analizy numerycznej
Ćwiczenia z analizy numerycznej dla II roku informatyki magisterskiej lista 9 - 18 grudnia 2003 Temat: Aproksymacja średniokwadratowa oraz zadania powtórkowe Zadania powtórkowe 1. Niech a = rd(a) > 0, b = rd(b) > 0. Z jakim błędem względnym w zmiennopozycyjnej arytmetyce f l są obliczone wyrażenia c = a − b, d = (a − b)(a + b), e = a2 − b2 ? Co będzie jeśli a i b są bliskie? 2. Niech ã = a(1 + α) i niech b̃ = b(1 + β). Wyrazić błędy względne f l(ã − b̃) , a−b f l(ã2 − b̃2 ) a2 − b2 za pomocą α, β i błędów powstałych w trakcie wykonywania obliczeń w arytmetyce f l i ocenić ich wielkość. Co będzie jeśli a i b są bliskie? Podobną analizę przeprowadzić dla pozostałego wyrażenia z poprzedniego zadania. 3. Ile cyfr binarnych ma mantysa liczby typu single w standardzie IEEE? Jak reprezentowane są w tym typie dodatnie liczby zdenormalizowane (subnormalne) i gdzie one leżą na osi Ox? 4. Napisać schemat algorytmu rozwiązywania za pomocą eliminacji Gaussa układu równań liniowych o macierzy układu trójprzekątniowej. 5. Promień spektralny ρ(A) macierzy kwadratowej A jest zdefiniowany jako największy moduł jej wartości własnych λj . Czy prawdą jest, że ρ(A) ¬ ||A||∞ i ρ(A) ¬ ||A||2 ? 6. Co wystarczy założyć o normie macierzy A, żeby istniała macierz odwrotna (I + A)−1 ? Udowodnić, że wówczas 1 1 ¬ ||(I + A)−1 || ¬ . 1 + ||A|| 1 − ||A|| Niech istnieje macierz odwrotna (I + A)−1 . Czy macierz A może mieć zerową wartość własną? 7. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania macierzy o elementach a11 = 1, a12 = 2, a21 = 3, a22 = 7 we względu na normy macierzy indukowane przez normy wektora l1 , l2 i l∞ . 8. Udowodnić, że ciąg xk+2 = xk 1 + x2k jest zbieżny dla dowolnego x0 . Co jest granicą tego ciągu? Jak szybka jest ta zbieźność? 9. Czy istnieje wielomian w(x) stopnia ¬ 3 przyjmujący wartości w(a) = f (a), w′′ (a) = f ′′ (a), w(b) = f (b), w′′ (b) = f ′′ (b), gdzie wartości funkcji f i jej drugiej pochodnej są dane na końcach przedziału [a, b]. Jeśli taki wielomian istnieje, to czy jest jednoznaczny? 1 10. Niech wielomian w(x) stopnia ¬ 2 interpoluje dunkcję sinus na końcach przedziału [0, π/6] i w środku tego przedziału. Oszacować resztę. To samo wykonać dla przedzialu [π/6, π/2]. 11. Funkcję f (x) = sin (πx/2) interpolujemy na przedziale [0, 1] wielomianem interpolacyjnym Hermite’a w(x) stopnia ¬ 3 z dwoma (podwójnymi) węzłami interpolacji x0 = 0 i x1 = 1 (zadane są wartości funkcji i pierwszej pochodnej w tych węzłach). Oszacować max f (x) − w(x) x∈[a,b] na podprzedziałach [a, b]: [0, 1/4], [1/4, 3/4], padku reszta wyraża się następującym wzorem [3/4, 1]. Przypomienie. W tym przy- f (4) (ξx ) (x − x0 )2 (x − x1 )2 . 4! Aproksymacja średniokwadratowa 1. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne p0 , p1 , p2 na zbiorze punktów S = {−1, 0, 1}, czyli ortogonalne względem iloczynu skalarnego < f, g >= f (−1)g(−1) + f (0)g(0) + f (1)g(1). 2. Wyznaczyć najlepszą aproksymację w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f o wartościach f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1 na zbiorze punktów {−1, 0, 1} za pomocą wielomianów stopnia ¬ 1 dwoma metodami (układ normalny, wielomiany ortogonalne). 3. Wyznaczyć najlepszą aproksymację g ∗ (x) = α∗ x2 + β ∗ w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f takiej, że f (−1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2, na zbiorze punktów {−1, 0, 1} za pomocą funkcji postaci g(x) = αx2 + β, tzn. rozwiązać następujący problem: 2 min f (−1) − g(−1) α,β 2 + f (0) − g(0) 2 + f (1) − g(1) Sformułować to zadanie w postaci macierzowej, tzn. wyznaczyć macierz A i wektor b takie, że powyższe zadanie jest równoważne zadaniu min ||Au − b||2 = ||Au∗ − b||2 . u gdzie u = [α, β]T i u∗ = [α∗ , β ∗ ]T . Uwaga. Rozwiązanie ostatniego problemu nazywamy rozwiązaniem w sensie najmniejszych kwadratów nadokreślonego układu równań liniowych Au = b. 4. Wzorując się na końcowej części poprzedniego zadania, rozwiązać w sensie najmniejszych kwadratów nadokreślony układ równań liniowych 2x + 3y = 1, x − 4y = −9, 2x − y = −1. 5. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne (Legendre’a) względem iloczynu skalarnego Z 1 < f, g >= f (x)g(x)dx. −1 2 6. Wyznaczyć najlepszą aproksymacje średniokwadratową funkcji ex na przedziale [0, 1] za pomocą wielomianów stopnia ¬ 2 względem normy związanej z iloczynem skalarnym < f, g >= Z 1 f (x)g(x)dx. 0 Do obliczenia odpowiednich całek zastosować całkowanie przez części. Sprawdzić, że całka nieoznaczona z funkcji x2 ex jest równa (x2 − 2x + 2)ex , a z funkcji xex jest równa xex − ex . 7. (Powell) Niech f (x) = x2 i niech w∗ (x) = c∗0 +c∗1 x będzie wielomianem minimalizującym całkę Z 1 0 [f (x) − w(x)]2 dx, w − wielomian stop ¬ 1. Sprawdzić, że współczynniki c∗0 i c∗1 spełniają odpowiedni układ normalny i ||f ||2 = ||w∗ ||2 + ||f − w∗ ||2 . 8. (Powell, zadanie nadobowiązkowe) Funkcję f (x) = 2x − 1 na przedziale [0, 1] aproksymujemy za pomocą funkcji g(x) = n X ck cos (kπx), k=0 x ∈ [0, 1]. Wyznaczyć najlepszą aproksymację średniokwadratową h∗ dla n = 1 (iloczyn skalarny: całka na przedziale [0, 1] bez wagi). Zaproponować sposób wyboru n tak, by spełniony był warunek Z 1 0 [f (x) − h∗ (x)]2 dx < δ na przykład dla δ = 10−4 ? Wskazówka. Rozważyć następujące zależności: ||f ||2 = ||h∗ ||2 + ||f − h∗ ||2 , ||h∗ ||2 ||f ||2 − δ 2 . √ √ R Uwaga. x cos x dx = cos x + x sin x. Wiadomo, że układ {T0 / 2, T1 , . . . , Tn−1 , Tn / 2} jest ortonormalny względem iloczynu skalarnego < f, g >= n 2X ”f (xi )g(xi ), n i=0 xi = cos iπ . n Uwaga. Symbol ” oznacza, że połowimy pierwszy i ostatni składnik. Czemu równa się < Tn , Tn >? Pokazać, że wielomian, który najlepiej aproksymuje, w sensie dyskretnej aproksymacji śedniokwadrtowej¡ funkcję f na zbiorze punktów {x0 , . . . , xn } jest równy P a0 /2 + n−1 X ak Tk , gdzie ak = n X ”f (xi )Tk (xi ). i=0 k=1 Niech n = 2. Wyznaczyć ten wielomian dla funkcji f (x) = x2 . Krystyna Ziętak 3