Algorytmika Problemów Trudnych
Transkrypt
Algorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 5 Tomasz Krawczyk [email protected] Kraków, semestr letni 2015/16 plan wykładu I Redukcje Parametryzowane. I W-hierarchia. Problem Kliki Problem Kliki: Wejście: Graf G oraz parametr k. Wyjście: Tak wtedy i tylko wtedy, gdy w G znajduje się klika rozmiaru k. Pomimo wielu wysiłków nie udowodniono dotychczas przynależności Problemu Kliki do klasy FPT. Hipoteza: Problem Kliki nie jest w klasie FPT, tzn. nie istnieje algorytm dla Problemu Kliki działający w czasie f (k)nO(1) . Powyższa hipoteza jest mocniejsza od hipotezy P 6= NP. Zakładając prawdziwość powyższej hipotezy możemy udowodnić, że wiele innych naturalnych problemów parametryzowanych nie jest w klasie FPT. Redukcje Parametryzowane Definicja Dane są dwa problemy parametryzowane L1 , L2 ⊆ Σ∗ × N. Algorytm T nazywamy redukcją parametryzowaną problemu L1 do problemu L2 jeżeli dla instancji wejściowej (x, k) problemu L1 algorytm T zwraca instancję (x 0 , k 0 ) problemu L2 zachowując jednocześnie nastepujące warunki: I (x, k) jest TAK instancją L1 wtedy i tylko wtedy, gdy (x 0 , k 0 ) jest TAK instancją problemu L2 , I k 0 6 g (k) dla pewnej funkcji obliczalnej g , I czas działania algorytmu T na instancji wejściowej (x, k) jest ograniczony przez f (k)|x|O(1) , gdzie f pewną funkcją obliczalną. Redukcje parametryzowane Lemat Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L1 do problemu L2 oraz język L2 jest w klasie FPT, to język L1 jest również w klasie FPT. Dowód: I Załóżmy, że B jest algorytmem testującym przynależność instancji (x 0 , k 0 ) do L2 w czasie h(k 0 )|x 0 |O(1) (L2 jest FPT). I Algorytm A testujący przynależność (x, k) do języka L1 : I I przekształć algorytmem redukcji T instancję (x, k) problemu L1 do równoważnej instancji (x 0 , k 0 ) problemu L2 , zaakceptuj (x, k) wtedy i tylko wtedy, gdy algorytm B akceptuje (x 0 , k 0 ). Redukcje Parametryzowane Lemat Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L1 do problemu L2 oraz język L2 jest w klasie FPT, to język L1 jest również w klasie FPT. Dowód (c.d.): I Poprawność algorytmu A wynika z faktu, iż redukcja T przekształca TAK/NIE instancje L1 w TAK/NIE instancje problemu L2. I Czas działania algorytmu A na instancji wejściowej (x, k) jest ograniczony przez sumę I I czasu działania algorytmu T, czyli f (k)|x|O(1) , oraz czasu działania algorytmu B, czyli h(k 0 )|x 0 |O(1) . I Zakładając, że k 0 6 g (k) oraz |x 0 | 6 f (k)|x|O(1) , łączny czas działania algorytmu A jest ograniczony przez F (k)|x|O(1) , I Problem L1 jest zatem w klasie FPT. Redukcje parametryzowane Lemat (Przechodniość Redukcji Parametryzowanych) Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana z języka L1 do języka L2 oraz z języka L2 do języka L3 , to istnieje również redukcja parametryzowana z języka L1 do języka L3 . Dowód: Podobny jak w lemacie poprzednim. Różnobarwna Klika Problem Różnobarwnej Kliki: Wejście: : Graf G oraz podział zbioru wierzchołków V (G ) na k-zbiorów: V1 , . . . , Vk , parametr: k. Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchołkowa klika {v1 , . . . , vk } taka, że vi ∈ Vi . Interpretacja: I Vi – wierzchołki koloru i. I {v1 , . . . , vk } – różnobarwna klika. Przykłady Redukcji Parametryzowanych Lemat Istnieje parametryzowana redukcja z Problemu Kliki do Problemu Różnobarwnej Kliki. Dowód: I niech (G , k) będzie instancją wejściową Problemu Kliki, I konstruujemy graf G 0 z grafu G nastepująco: I I tworzymy k kopii grafu G : G 1 , . . . , G k , dla każdej krawędzi {u, v } w G oraz dla każdego i 6= j, dodaj krawędź pomiędzy wierzchołkiem u z i-tej kopii oraz wierzchołkiem v z j-tej kopii. I zauważmy, że graf (G , k) ma klikę liczności k wtedy i tylko wtedy, gdy (G 0 , V (G 1 ), . . . , V (G k ), k) jest TAK instancją Problemu Różnobarwnej Kliki. I Redukcja spełnia wszystkie wymagania redukcji parametryzowanej. (Różnobarwny) Zbiór Niezależny Problem Zbioru Niezależnego: Wejście: : Graf G oraz parametr k. Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór niezależny liczności k w G . Problem Różnobarwnego Zbioru Niezależnego: Wejście: : Graf G oraz podział zbioru wierzchołków V (G ) na k-zbiorów: V1 , . . . , Vk , parametr: k. Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchołkowy zbiór niezależny {v1 , . . . , vk } taki, że vi ∈ Vi . (Różnobarwny) Zbiór Niezależny Lemat I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Niezależnego. I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnej Kliki do Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego. Redukcja: Przekształć (różnobarwny) graf wejściowy w graf G , gdzie G jest dopełnieniem grafu G . Redukcje Parametryzowane Nietrudno również jest zauważyć, że prawdziwy jest nastepujący lemat. Lemat I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnej Kliki do Problemu Kliki. I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego do Problemu Zbioru Niezależnego. Wniosek: Problemy: Kliki, Różnobarwnej Kliki, Zbioru Niezależnego, Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wzajemnie się do siebie redukują (w sposób parametryzowany). Uwaga: Powyższe redukcje są również redukcjami wielomianowymi. Pokrycie Wierzchołkowe Problem Pokrycia Wierzchołkowego: Wejście: : Graf G oraz parametr k. Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v1 , . . . , vk } przecinający wszystkie krawędzie, zwany pokryciem wierzchołkowym V . Graf G ma pokrycie wierzchołkowe rozmiaru k wtedy i tylko wtedy, gdy G ma zbiór niezależny licznosci n − k. Oznacza to, że: I istnieje redukcja wielomianowa z Problemu Zbioru Niezależnego do Problemu Pokrycia Wierzchołkowego. I Redukcja ta nie jest redukcją parametryzowaną: redukcja przekształca instancję (G , k) Problemu Zbioru Niezależnego w równoważną instancję (G , k 0 = n − k) Problemu Pokrycia Wierzchołkowego, a zatem nie zachowuje warunku k 0 6 g (k) dla żadnej funkcji obliczalnej g . Zauważmy jednak, że I istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Pokrycia Wierzchołkowego do Problemu Zbioru Niezależnego: rozstrzygamy instancję wejściową (G , k) Problemu Pokrycia Wierzchołkowego w czasie f (k)nO(1) (wiemy, że probloem jest w klasie FPT) i zwracamy równoważną trywuialną instancję Problemu Zbioru Niezależnego. Zbiór dominujący Problem Zbioru Dominujacego: Wejście: : Graf G oraz parametr k. Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v1 , . . . , vk } dominujący V , to jest taki, że N[{v1 , . . . , vk }] = V . Lemat Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego. Zbiór Dominujący Lemat Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego do Problemu Zbioru Dominującego. Dowód: I Niech (G , V1 , . . . , Vk , k) będzie instancją wejściową Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego. I Graf G 0 tworzymy z grafu G następująco: I dla każdego i, zbiór Vi w grafie G 0 staje się kliką, I dokładamy dwa niezależne (niepołączone krawędzią) wierzchołki xi oraz yi , wierzchołki te łączymy krawędziami z wierzchołkami ze zbioru Vi , I dla każdej krawędzi {u, v } grafu G , gdzie u ∈ Vi , v ∈ Vj , oraz i 6= j, dodajemy wierzchołek e{u,v } : wierzchołek ten połączony jest krawędzią tylko z wierzchołkami ze zbioru Vi \ {u} oraz ze zbioru Vj \ {v }. I Uzasadnimy, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wtw gdy (G 0 , k) jest TAK instancją Problemu Zbioru Dominujacego. Zbiór Dominujący Lemat Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego. Dowód. Pozostaje wykazać, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wtw gdy (G 0 , k) jest TAK instancją Problemu Zbioru Dominujacego. I Załóżmy, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego, tzn. istnieje zbiór niezależny {v1 , . . . , vk } taki, że vi ∈ Vi , I Łatwo sprawdzić, że {v1 , . . . , vk } dominuje V (G 0 ): I vi dominuje Vi ∪ {xi , yi }, I {v1 , . . . , v } dominuje wierzchołki typu w k {u,v } : jeżeli wu,v nie jest zdominowany, to z konstrukcji G 0 wynika, że {u, v } ⊂ {v1 , . . . , vk }, co być nie może, gdyż {u, v } jest krawędzią w G . I Załóżmy teraz, że istnieje zbiór dominujący D w G 0 taki, że |D| 6 k, I Aby zdominować wszystkie Vi ∪ {xi , yi }, D musi mieć dokładnie jeden element w każdym Vi . I Ponieważ D dominuje wszystkie wierzchołki typu wu,v grafu G 0 , z konstrukcji G 0 wynika, że D jest zbiorem niezależnym w G . Zbiór Dominujący Lemat Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego. Jak dotychczas nie znaleziono parametryzowanej redukcji z Problemu Zbioru Dominującego do Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego. Przypuszcza się, że problemy te mają inny poziom trudności. Dla kontrastu, wszystkie problemy NP-zupełne wzajemnie się do siebie redukują (w sposób wielomianowy). Inne Problemy Parametryzowane Problem Pokrycia Zbiorami: Wejście: Zbiór uniwersalny U, zbiory U1 , . . . , Un ⊆ U, oraz parametr k. Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze {U1 , . . . , Uk } istnieje k zbiorów S {Ui1 , . . . , Uik } takich, że kj=1 Uij = U (mówimy wówczas, że zbiory Ui1 , . . . , Uik pokrywają U). Problem Zbioru Przecinającego: Wejście: Zbiór uniwersalny U, zbiory U1 , . . . , Un ⊆ U, oraz parametr k. Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór H taki, że |H| 6 k oraz H ∩ Ui 6= ∅ dla każdego i. Lemat Problemy: Zbioru Dominującego, Pokrycia Zbiorami, Zbioru Przecinającego wzajemnie się do siebie redukują (w sposób parametryzowany). Dominacja w Turniejach Problem Zbioru Dominującego w Turnieju: Wejście: Turniej T oraz parametr k. Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór {v1 , . . . , vk } ⊂ V (T ) w turnieju T dominujący wszystkie wierzchołki z V (T ), tzn. taki, że dla każdego u ∈ V (T ) istnieje vi ∈ {v1 , . . . , vk } taki, że u → vi bądź u = vi (vi dominuje u). Lemat Każdy n wierzchołkowy turniej ma zbiór dominujacy rozmiaru O(log n). Dowód. Zauważ, że w każdym turnieju istnieje wierzchołek, który dominuje co najmniej połowę wierzchołków grafu. Uwaga: I Problem Zbioru Dominującego w Turnieju można rozwiązać w czasie O(nlog n ). I Przypuszcza się, że problemy zupełne w klasie NP nie maja algorytmów o złożoności nlog n . I Problem Zbioru Dominującego w Turnieju nie jest raczej NP-trudny. I Można pokazać jednak, że istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Zbioru Dominującego (a zatem z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Dominującego w Turniejach I W ciągu redukcji z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Dominujacego w Turniejach przynajmniej jedna redukcja nie jest wielomianowa (inaczej pokazalibyśmy, że Problem Zbioru Dominującego w Turniejach jest NP-trudny). Dominacja w Turniejach Lemat Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Zbioru Dominujacego do Problemu Zbioru Dominującego w Turniejach Dowód: Sieci boolowskie Definicja Siecią boolowską nazywamy acykliczny graf skierowany, którego wierzchołki (zwane bramkani) są etykietowane zgodnie z zasadą I każda bramka o stopniu wejściowym 0 jest bramką wejściową , I każda bramka o stopniu wejściowym 1 jest bramką NOT , I każda bramka o stopniu wejściowym ≥ 2 jest bramką AND albo bramką OR.