Statystyka Matematyczna Lista zadań nr 4 – Charakterystyki

Statystyka Matematyczna
Lista zadań nr 4 – Charakterystyki rozkładów wektorów i zmiennych losowych c.d.
Warunkowe wartości oczekiwane
Zadanie 1
Z tego, że zmienne losowe X1 , X2 , …, Xn są niezależne wynika, że macierz kowariancji
wektora X = (X1 , X2 , …, Xn )T jest diagonalna. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
Wsk. Rozważ np. rozkład wektora (X , X 2) dla dowolnej zmiennej losowej X o rozkładzie
symetrycznym względem zera i skończonym momencie rzędu czwartego.
Zadanie 2
Gęstość wektora Z=(X,Y) jest stała na kole o środku w początku układu i promieniu 1. Poza
tym przyjmuje wartość zero. Znaleźć wartość oczekiwaną oraz macierz kowariancji wektora
Z. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Zadanie 3
Niech Y1= 2X-1 oraz Y2= 4X+2. Pokaż, że rozkład wektora Y = (Y1 , Y2 )T jest osobliwy.
Wsk. Twierdzenie Frischa.
Zadanie 4
Wykaż, że równość w nierówności Cauchy’ego-Schwarza
Cov2(X, Y) ≤ Var(X) Var(X)
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie stałe a i b, że P(Y = aX + b) = 1
Zadanie 5
Niech X będzie n wymiarowym wektorem losowym i niech ΣX oznacza jego macierz
kowariancji (zakładamy, że istnieje). Niech Y=XTAX, dla pewnej macierzy A Pokazać, że
ΕY = EXTAEX + trAΣX
Zadanie 6
Wykaż, że jeśli wektory X i Y są tego samego wymiaru i są stochastycznie niezależne, to
macierz kowariancji wektora X + Y jest równa sumie macierzy kowariancji obu wektorów tj.
(zakładamy, że wskazane macierze kowariancji istnieją).
ΣX+Y = ΣX + ΣY
Zadanie 7
Niech P będzie miarą Lebesgue’a na rodzinie F podzbiorów borelowskich zbioru Ω = [0,1] i
niech Y = 51[ 0,1](ω) - 31[ 0,1/3](ω). Niech zmienna losowa X: Ω →R będzie określona wzorem
X(ω) = ω. Znaleźć E(X|Y)
Zadanie 8
Rozważmy przestrzeń i zmienną losową z poprzedniego zadania. Znaleźć P(A|Y), gdzie A jest
dowolnym podzbiorem borelowskim zbioru Ω. Obliczyć Var[P(A|Y)], gdy A=[1/6,5/6]
Zadanie 9
a) Pokazać, że wartość oczekiwana E [Y-g(X)]2 osiąga minimum dla funkcji określonej
wzorem g(x)=E(Y|X=x) . Uwaga. Funkcję g nazywamy w tym przypadku regresją
zmiennej losowej Y względem X. Jest to tzw. regresja I rodzaju.
b) Znaleźć wartości stałych a i b, dla których wyrażenie E [Y - (aX+ b)]2 przyjmuje
najmniejsza wartość. Uwaga. Prostą o równaniu y= ax+ b nazywamy prostą regresji
zmiennej losowej Y względem X . Jest to tzw. regresja II rodzaju.