wykład III: Metody obliczeń iezawdości systemów

III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Wprowadzenie
Wybór metody obliczania wskaźników niezawodności – instrumentu oceny ilościowej niezawodności,
jest zależny w sposób istotny od struktury budowanych modeli niezawodnościowych. W przypadku modeli
systemów (obiektów złożonych) może okazać się, że istniejące metody teoretyczne nie zapewniają
efektywnego rozwiązania. Zachodzi wówczas potrzeba wprowadzania zmian i uzupełnień w istniejących
metodach i dostosowania ich do wymagań zaproponowanego modelu niezawodnościowego, albo też sam
model niezawodnościowy musi ulec uproszczeniu pod kątem możliwości obliczeniowych metody.
Podział metod obliczeniowych
Metody obliczeń
Analityczne
Symulacyjne
Zdarzeń
losowych
Metody zdarzeń losowych
Dekompozycji
Mieszane
Minimalnych
ścieżek i
przekrojów
Ortogonalizacji
funkcji
Tablicowa
Procesów
losowych
prostej
złożonej
zupełnej
Rys. 3.1. Ogólna klasyfikacja metod obliczeniowych
Rys. 3.2. Klasyfikacja metod zdarzeń losowych
Metody procesów losowych
Procesów semi-Markowa
(półmarkowskich)
Łańcuchów Markowa
Procesów Markowa
Metody analityczne
Metoda przeglądu wszystkich stanów, zwana
też metodą przeglądu zupełnego lub dekompozycji
zupełnej, może być stosowana dla systemu
złożonego z n dwustanowych elementów, z których
każdy
jest
scharakteryzowany
przez
prawdopodobieństwo
stanu
dyspozycyjności
(zdatności). Liczba stanów systemu, różniących się
udziałem poszczególnych elementów w realizacji
funkcji systemu, jest równa:
n
l S = card {S } = b ∑ C nm = b ⋅ 2 n
Rys. 3.3. Klasyfikacja metod procesów losowych
(3.1)
m =0
gdzie: b - liczba rozpatrywanych przedziałow czasowych, w których przyjęto za stały jakiś istotny dla
analizowanego systemu czynnik (np. rozpływ mocy); m – liczba uszkodzonych elementów;
Cnm -
liczba kombinacji “m z n”.
Zbiór S, dla ustalonego rozpływu mocy, składa się z dwóch rozłącznych podzbiorów
S = F ∪G
gdzie: F – zbiór stanów dyspozycyjnosci (sprawności, zdatności), G – zbiór stanów niedospozycyjności
(niezdatności).
Prawdopodobieństwo stanów dyspozycyjności i niedyspozycyjności systemu mogą być wyznaczone,
przy założeniu niezależności elementów zbioru S, jako odpowiednie sumy prawdopodobieństw:


R s (t ) = P  U S α  = ∑ P( S α )
Sα ∈F  Sα ∈F


Q s ( t ) = P  U Sα  = ∑ P ( Sα )
 Sα ∈G  Sα ∈G
(3.2)
(3.3)
gdzie: Sα - element zbioru S (stan systemu), P(Sα) – prawdopodobieństwo wystapienia stanu α systemu.
W praktyce stosowanie metody przglądów wszystkich stanów jest ograniczone do systemów o małej
liczbie elementów. Ograniczenie liczby stanów systemu (możliwe w układach elektroenergetycznych o
wysokim poziomie niezawodności elementów) można uzyskać przez wyłączenie z analizy stanów z liczbą
niesprawnych elementów wyższą niż 3. Wówczas:
m=2
l SA = card {S A } = ∑ C nm
(3.4)
m =0
gdzie: SA – zbiór analizowanych stanów systemu.
1
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Inną metodą (bardziej ogólną) na ograniczenie liczby analizowanych stanów systemu jest
wprowadzenie granicznej wartości prawdopodobieństwa stanu systemu, poniżej której stany są pomijane
(cut-off probability):
l SA = card {S A } = card {Sα : P( Sα ) ≥ Pcut -off }
(3.4a)
gdzie: Pcut-off – prawdopodobieństwo graniczne (prawdopodobieństwo odcięcia).
Dalsze zmniejszenie liczby analizowanych stanów można uzyskać przez wprowadzenie elementów
zastępczych, odwzorowujących grupy elementów.
Metody: minimalnych dróg i przekrojów, logiczna, schematów blokowych, tablicowa, drzewa
uszkodzeń; są określone wspólnym mianem metod analizy strukturalnej i opierają się na różnych sposobach
opisu struktury niezawodnościowej systemu. Korzysta się tu z aparatu matematycznego: teorii grafów
(metody minimalnych dróg i przekrojów), algebry Boole’a (metoda logiczna, metoda drzewa uszkodzeń) i
różnych form przedstawienia i zapisu struktury niezawodnościowej obiektu: schematy blokowe, grafy,
funkcjonały logiczne, drzewo uszkodzeń, tablica.
Stan systemu jest losową realizacją wektora stanu systemu
X (t ) = [ x1 (t ), x 2 (t ),...x j (t ),...x n (t )]
(3.5)
gdzie: n – liczba elementów systemu, xj(t) – dwustanowy proces stochastyczny przyporządkowany
elementowi uj, X(t) – losowy wektor stanu systemu.
1, gdy element jest sprawny
x j (t ) = 
0, gdy element jest niesprawny
(3.6)
Niezawodność systemu jest opisana funkcjonałem określonym na losowych realizacjach wektora
stanu systemu X(t)
R (t ) = Φ[ X (t )]
(3.7)
gdzie Φ - funkcjonał.
Dla systemu o strukturze monotonicznej strukturalna funkcja systemu może być przedstawiona
poprzez minimalne ścieżki sprawności (drogi) lub minimalne ścieżki niesprawności (przekroje):
Φ[ X (t )] = Φ{∨ _[ ∧ x j (t )]} = Φ{∧ _[ ∨ x j (t )]}
(3.8)
i =1, n u j ∈U1i
k =1, r u j ∈U ok
gdzie: U1i – zbiór elementów systemu stanowiących i-tą minimalną ścieżkę sprawności, U0k – zbiór
elementów systemu stanowiących k-tą ścieżkę niesprawności (przekrój, cięcie), m – liczba
minimalnych ścieżek sprawności, r – liczba minimalnych ścieżek niesprawności, ∨ - suma logiczna,
∧ - iloczyn logiczny.
Minimalna ścieżka sprawności (minimalna droga) jest to minimalny zbiór elementów systemu, których
sprawność prowadzi do sprawności systemu. Przejście do stanu niesprawności dowolnego elementu z tego
zbioru
powoduje
przejście
systemu
do
stanu
niesprawności.
Tak
więc,
z punktu widzenia niezawodności elementy w minimalnej drodze są połączone szeregowo
a rzeczywista struktura niezawodnościowa systemu może być odwzorowana ekwiwalentną strukturą
równoległo-szeregową, w której minimalne drogi są połączone równolegle.
Minimalna ścieżka niesprawności (minimalny przekrój, cięcie) jest to minimalny zbiór elementów
systemu, których niesprawność pociąga za sobą niesprawność systemu. Jeżeli którykolwiek z nich przejdzie
do stanu sprawności oznacza to przejście systemu do stanu sprawności. Tak więc, z punktu widzenia
niezawodności elementy w minimalnym przekroju są połączone równolegle a rzeczywista struktura
niezawodnościowa systemu może być odwzorowana ekwiwalentną strukturą szeregowo-równoległą, w której
minimalne ścieżki niesprawności (przekroje) są połączone szeregowo.
W kategoriach teorii grafów minimalną drogą będzie taki zbiór gałęzi grafu Aj, że podgraf Aj jest spójny
’
(dla zadanej pary wierzchołków) a dowolny jego podgraf Aj ⊂ Aj jest niespójny; natomiast minimalny przekrój
to taki zbiór gałęzi (Bs) spójnego (dla zadanej pary wierzchołków) grafu G, że graf G\Bs jest niespójny, zaś
graf (G\Bs)∪(Bs) jest spójny dla dowolnej gałęzi i(Bs) należącej do zbioru Bs.
Każdej minimalnej ścieżce można przyporządkować dwuwartościową funkcję:
S i [ X (t )] =
∏x
u j ∈U 1i
N k [ X (t )] = 1 −
j
(t )
(3.9)
∏ [1 − x j (t )]
u j ∈U ok
gdzie: Si – funkcja określona na stanach niezawodnościowych i-tej ścieżki sprawności przyjmująca wartość
„1” gdy wszystkie elementy wchodzące w skład ścieżki są sprawne i „0”
w przeciwnym przypadku; Nk – funkcja określona na stanach niezawodnościowych k-tej ścieżki
niesprawności przyjmująca wartość „0” gdy wszystkie elementy wchodzące w skład ścieżki są
niesprawne i „1” w przeciwnym razie.
Strukturalną funkcję systemu można zatem zapisać w postaci
2
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
m
r
i =1
k =1
Φ[ X (t )] = 1 − ∏ {1 − S i [ X (t )]} = ∏ N k [ X (t )]
(3.10)
zaś niezawodność systemu będzie określona przez wskaźniki:
- prawdopodobieństwo dyspozycyjności funkcjonowania (zdatności) w przedziale (0, t):
Rs (t ) = P{Φ[ X (t )] = 1} = E[Φ( X (t ))]
-
średni czas dyspozycyjności funkcjonowania (zdatności):
T=
-
(3.11)
Rs (t )
∂Rs (t )
Ri (t )λi (t )
∑
i =1 ∂Ri ( t )
(3.12)
n
średni czas niedyspozycyjności funkcjonowania (niezdatności):
To =
1 − Rs (t )
∂Rs (t )
Ri (t )λi (t )
∑
i =1 ∂Ri ( t )
(3.13)
n
gdzie: Ri(t) – prawdopodobieństwo stanu dyspozycyjności funkcjonowania (zdatności) elementu „i” w
przedziale (0, t); E – wartość oczekiwana.
Zależność na Rs(t) można zapisać za pomocą funkcji określonych na stanach niezawodnościowych
ścieżek niesprawności lub sprawności:
 MP
r

R
(
t
)
=
1
−
P
 s
 U N k = 0 =
 k =1



 r

r

r +1


= 1 − ∑ P( N k = 0) − ∑ P( N k = 0, N j = 0) + ... + ( −1) P( N 1 = 0, N 2 = 0,..., N r = 0)
k =1
k , j =1



k< j

 MD
m

R
(
t
)
=
P
 s
U S i = 1 =
 i =1


m
 m
= ∑ P( S i = 1) − ∑ P( S i = 1, S j = 1) + ... + ( −1) m +1 P( S1 = 1, S 2 = 1,..., S m = 1)
i , j =1
 i =1
i< j

(3.14)
gdzie ∪ jest symbolem sumy mnogościowej zdarzeń losowych.
Gdy elementy systemu są niezależne, wówczas:
P( N k = 0) = ∏ Q j (t ) = ∏ F j (t )
j:u j ∈U 0 k
P( S i = 1) =
j :u j ∈U 0 k
(3.15)
∏ R j (t )
j :u j ∈U1i
Nawet jednak wtedy zależności na Rs(t) są dość skomplikowane, zwłaszcza przy dużej liczbie
minimalnych dróg i minimalnych przekrojów. Dalsze uproszczenie zależności uzyskuje się zakładając
dodatkowo niezależność minimalnych ścieżek niezdatności (zdatności). Wówczas otrzymuje się zależności
przybliżone:
A
C
r 

RsMP (t ) ≈ ∏ 1 −
k =1 

E
B
A
B
D
A
B
D
C
E
E
C
D
Rys. 3.4. System o mostkowej strukturze niezawodnościowej i minimalne przekroje
systemu
3

∏ [1 − R (t )]
j

j:u j ∈U 0 k
m 
RsMD (t ) ≈ 1 − ∏ 1 −
i =1 


∏ R (t ) 
j:u j ∈U1i
j

(3.16)
Przykład 3.1:
Dobrą ilustracją
możliwości wykorzystania metod
minimalnych ścieżek (zdatności lub
niezdatności)
jest
system
o
strukturze mostkowej (rys. 3.4),
złożony z 5 elementów (A, B, C, D,
E). System ten ma 2 minimalne
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
przekroje dwuelementowe i 2 trójelementowe (rys. 3.4) oraz 4 minimalne drogi: {A, C}, {B, D}, {A, E, D}, {B,
E, C}.
Zastosowanie metody minimalnych dróg oraz metody minimalnych przekrojów, przy założeniu
niezależności elementów systemu oraz reprezentowaniu ich funkcji niezawodności przez wartości stałe i
jednakowe dla wszystkich elementów (RA(t) = RB(t) = RC(t) = RD(t) = RE(t) = R), prowadzi do zależności:
Rs = RsMP = RsMD = 2 R 2 + 2 R 3 − 5R 4 + 2 R 5
RMD = 1 − (1 − R 2 ) 2 (1 − R 3 ) 2
[
(3.17)
][
2
RMP = 1 − (1 − R ) 2 1 − (1 − R ) 3
]
2
1
0,9
0,8
Rs
Rs
0,7
0,6
Rmd
0,5
Rmp
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
gdzie: RMD – przybliżenie polegające na założeniu
niezależności
minimalnych
ścieżek
zdatności
(sprawności), RMP – przybliżenie polegające na
założeniu
niezależności
minimalnych
ścieżek
niezdatności (niesprawności).
Na rys. 3.5 przedstawiono zależność funkcji
niezawodności systemu o strukturze mostkowej,
obliczonej w sposób dokładny i przybliżony, od funkcji
niezawodności elementu. Wynika z niego, że
dokładna wartość funkcji niezawodności systemu
zawiera się pomiędzy przybliżeniami:
RMP (t ) ≤ Rs (t ) ≤ RMD (t )
R
Badanie
niezawodności
układów
elektroenergetycznych za pomocą metod analizy
strukturalnej można sprowadzić do następujących
etapów:
I.
Dokonanie analizy struktury badanego układu i odwzorowanie jego schematu niezawodnościowego.
II. Określenie strukturalnej funkcji systemu,
III. Przejście od funkcji strukturalnej do odpowiednich funkcji probabilistycznych – obliczenie żądanych
wskaźników niezawodności.
Przykład 3.2: Zilustrujemy tok postępowania na przykładzie układu sieciowego przedstawionego na
rys. 3.6.
Rys. 3.5. Niezawodność systemu o mostkowej strukturze
niezawodnościowej w zależności od niezawodności elementów
składowych (R) oszacowana dokładnie i w sposób przybliżony
b)
B
3
G
c)
4
4
C
H
3
Z
A
2
E
D
6
6
I
2
5
5
Rys. 3.6. Przykład rzeczywistego układu: a) schemat główny, b) schemat zastępczy, c) graf układu
4
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Załóżmy, że interesować nas będzie zasilanie węzła obciążenia 6,
zatem system jako całość będzie w stanie funkcjonowania gdy
odbiorniki przyłączone do węzła 6 będą zasilane.
Określenie minimalnych dróg (minimalnych ścieżek) można
zrealizować
różnymi sposobami, znanymi z teorii grafów.
W rozpatrywanym przypadku, przy założeniu, że wierzchołki grafu są
całkowicie niezawodne, mamy 6 minimalnych dróg.
Z kolei, jeden ze sposobów określenia minimalnych ścieżek
niesprawności (przekrojów) polega na wykorzystaniu macierzy
minimalnych ścieżek sprawności U1 o wymiarach m × n, gdzie:
m – liczba minimalnych dróg, n – liczba elementów
systemu (węzłów i gałęzi); w której na miejsce elementu
uij wpisuje się jedynkę gdy element uj należy do i-tej
drogi (U1i) i zero w przeciwnym razie. W rozpatrywanym
przykładzie macierz ta ma następującą postać:
Wyznaczanie minimalnych przekrojów prowadzi
się wg liczby wchodzących w nie elementów systemu
(przekroje jednoelementowe, dwuelementowe, itd.)
rozpatrując różne kombinacje (od 1 do n) wektorów –
kolumn macierzy U. Jeśli dla pewnego elementu uk
składowe wektora kolumny Ui,k = 1 dla wszystkich
1
1

1
U1 = 
0
0

0
{u1i }i =1,6
A, C, G, H
A, D, I

A, E
=
(3.19)
 B, C, D, I
 B, C, E

 B, G, H
0 1 0 0 1 1 0 u11
0 0 1 0 0 0 1 u12
0 0 0 1 0 0 0 u13
(3.20)

1 1 1 0 0 0 1 u14
1 1 0 1 0 0 0 u15

1 0 0 0 1 1 0 u16
A B C D E G H I
i = 1, m (czyli jeśli należy on do wszystkich dróg) to element ten jest przekrojem jednoelementowym (w
rozpatrywanym przykładzie nie występują przekroje jednoelementowe). Dla wyznaczenia przekrojów
dwuelementowych rozpatruje się po dwie kolumny macierzy U (względem dwóch dowolnych elementów uk,
ul) i jeśli suma logiczna
∧U
i∈1,m
i,k
∨ U i,l = 1
(3.21)
to elementy uk, ul tworzą przekrój dwuelementowy (np. elementy A i B).
A, B
Analogicznie wyznacza się przekroje złożone z większej liczby
A, C, G
elementów. Dla zapewnienia minimalności przekrojów nie rozpatruje się

w kolejnych etapach kombinacji tych elementów, które stanowiły już
A, C, H
przekroje w poprzednich etapach (np. przy określaniu przekrojów

dwuelementowych nie rozpatruje się elementów tworzących przekroje
D, E, G
jednoelementowe, przy trójelementowych - dwuelementowych i
(3.22)
jednoelementowych, itd.). Tak postępując otrzymamy: jeden przekrój {u 0i }i =1,9 =  D, E, H
dwuelementowy – {A, B}; 6 przekrojów trójelementowych {A, C, G}; {A,
E, G, I
C, H}; {D, E, G}; {D, E, H}; {E, G, I}; {E, H, I}; oraz 2 przekroje

czteroelementowe {B, C, D, E}; {B, C, E, I}.
E, H, I
Wśród metod analitycznych opartych na analizie procesów
B, C, D, E
losowych (zwanych też metodami przestrzeni stanów) do najczęściej

stosowanych należą metody łańcuchów i procesów Markowa a ostatnio
B, C, E, I
procesów semi-Markowa. Bazują one na przyjęciu za model
niezawodnościowy badanego obiektu procesu losowego spełniającego własność Markowa. Ich stosowanie
wymaga jednak spełnienia pewnych założeń.
I tak w przypadku metody procesów Markowa rozkłady prawdopodobieństw czasów przebywania w
stanach muszą być wykładnicze. Wyjątek stanowią obliczenia wartości asymptotycznych wskaźników
niezawodności. W niektórych przypadkach istnieje również możliwość takiego przekształcenia przestrzeni
stanów by niewykładnicze rozkłady prawdopodobieństw zastąpić ciągiem rozkładów wykładniczych.
Metoda łańcuchów Markowa może być stosowana przy założeniu, że proces zmiany stanów jest
pierwszego rzędu.
W procesach semi-Markowa rozkłady prawdopodobieństw mogą być dowolne lecz większa
uniwersalność metody wymaga zastosowania bardziej złożonego aparatu matematycznego.
Metody symulacyjne
Metody symulacyjne są czasem nazywane metodami modelowania statystycznego. Ich konstrukcja
opiera się na prawie wielkich liczb ustanawiającym, w określonych warunkach, graniczną równość pomiędzy
średnią arytmetyczną pewnych realizacji zmiennej losowej oraz wartością oczekiwana tej zmiennej, przy
dążącej do nieskończoności liczbie doświadczeń.
Metody modelowania statystycznego umożliwiają uwzględnienie obiektów, niestacjonarności strumieni
niesprawności i odnów, współzależności zdarzeń, empirycznych rozkładów prawdopodobieństw czasów
przebywania obiektu w poszczególnych stanach.
5
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Algorytmy modelowania statystycznego mają jednorodną strukturę, którą można przestawić w postaci
trzech zasadniczych bloków:
- blok I: wprowadzenie danych, obliczenia wstępne, generowanie realizacji procesów losowych uszkodzeń
i odnów elementów układu;
- blok II: odtworzenie procesu funkcjonowania układu za pomocą modelu niezawodnościowego
- blok III: opracowanie wyników modelowania i obliczanie wskaźników niezawodności.
Zadaniem bloku I jest formowanie realizacji
zmiennych
losowych
(czasów trwania
stanów
F(t)
eksploatacyjnych elementów) oraz generowania na ich
podstawie momentu czasowego zmiany stanu układu.
1
Realizacje zmiennych losowych uzyskuje się za
pomocą generatorów liczb losowych (pseudolosowych)
o zadanym rozkładzie. Z reguły oparte są one na
metodzie odwracania dystrybuanty zmiennej losowej.
R
Metodę tę zilustrowano na rys. 3.7.
Czas zmiany stanu elementu jest określony
zależnością:
tz = tp + t*
(3.23)
gdzie tp – czas poprzedniej zmiany stanu.
t
t*
Ponieważ stany elementów określają stan
Rys. 3.7. Ilustracja metody odwracania dystrybuanty:
systemu można symulować proces zmian stanów
R – liczba pseudolosowa o rozkładzie jednostajnym
systemu, co jest realizowane w bloku II.
w przedziale (0, 1); t* - realizacja zmiennej losowej
W bloku II następuje rejestracja zmiany stanu
o rozkładzie opisanym dystrybuantą F(t)
układu i analiza jej następstw. Rozważa się tu rozwój
awarii, konieczność dokonania przełączeń i ich czas, możliwości nałożenia się awarii i-tego elementu na
element j (Kij). Jeśli R < Kij następuje rozwój awarii na element j, w przeciwnym razie nie.
Wynikiem bloku II jest zatem zbiór informacji np. o czasie przerwy w zasilaniu, ilości niedostarczonej
energii, zaniżeniach mocy w stosunku do mocy zapotrzebowanej, czasie odnowy systemu, itp.
Realizowany w blokach I i II eksperyment symulacyjny musi być powtórzony wielokrotnie tak, by
można było zastosować prawo wielkich liczb i w bloku III dokonać obróbki statystycznej wyników
modelowania i obliczyć żądane wskaźniki niezawodności. Liczba N prób (powtórzeń eksperymentu
symulacyjnego) jest więc istotnym parametrem metod modelowania statystycznego.
Dla ilustracji metodę symulacyjną zastosowano do określenia wartości oczekiwanej kosztów strat u
odbiorcy spowodowanych przerwami w zasilaniu.
Należy w tym celu odtworzyć (za pomocą komputera) proces awarii elementów układu zasilania i
ocenić ich następstwa w postaci strat u odbiorców.
Można to zrobić znajdując czasy awarii wszystkich elementów w ciągu roku, następnie określić
odpowiednie straty u odbiorców; powtarzając podobną operację N-krotnie oblicza się wartość oczekiwaną z
zależności:
K str =
1
N
N
∑K
i =1
(3.24)
stri
gdzie Kstri – zmienna losowa rocznych kosztów strat.
Dokładność będzie w tym przypadku zależeć od liczby awarii każdego z elementów, jaka miała
miejsce w rozpatrywanym okresie czasu (N lat). Im więcej awarii tym większa dokładność. Natomiast liczba
awarii jest określona przez średni parametr strumienia niesprawności awaryjnych ω, w związku z czym N
powinno być takie by iloczyn ωN dla elementów o najmniejszej wartości ω był nie mniejszy od 10÷20. Wynika
stąd, że dokładność określenia wartości oczekiwanej kosztów strat w wyniku awarii elementów o różnych
wartościach ω będzie niejednakowa. Dlatego też, gdy czasy między awariami elementów mają rozkłady
wykładnicze, można zastosować inny sposób, zgodnie z którym:
s
ωi
i =1
Ni
K str = ∑
Ni
∑K
m =1
(3.25)
strim
gdzie: i – numer elementu; s – liczba elementów; m – kolejny numer awarii i-tego elementu;
Ni – łączna liczba awarii i-tego elementu.
Takie podejście zmniejsza czas obliczeń oraz pozwala wykryć słabe miejsca układu zasilania.
Przykład 3.4: Powyższe podejście można
zastosować do określenia kosztów strat u
odbiorców spowodowanych przerwami w zasilaniu
dla układu przedstawionego na rys. 3.8.
Rys. 3.8. Schemat układu zasilania
6
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Należy określić wartość oczekiwaną kosztów strat w wyniku niesprawności awaryjnych linii
przesyłowej. Element ten jest scharakteryzowany przez średni parametr strumienia niesprawności
awaryjnych ω = 0,45 1/rok oraz rozkłady: czasu trwania awarii (rys. 3.9), awarii w czasie doby (rys. 3.10).
Odbiorcy są reprezentowani przez dobowy wykres obciążenia (jednakowy dla wszystkich dni w roku) oraz
charakterystyki jednostkowych kosztów strat dla dwóch grup odbiorców A i B: kstrA’ = 40 zł/kWh, kstrB’ = f(Tp)
1
F( τ )
F(Ta)
1
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
τ
4
8 12 16
τ
4
[h]
Rys. 3.9. Rozkład czasu trwania awarii
12 16
8
20
24 [h]
Rys. 3.10. Rozkład awarii w czasie doby
(rys. 3.12) (gdzie Tp – rzeczywisty czas przerwy w zasilaniu odbiorcy); kstrA’’ = 50 zł/kWh, kstrB’’ = 20 zł/kWh.
Załóżono, że liczba losowa R jest równa 0,75. Z rozkładu czasu trwania awarii znaleziono odpowiedni
czas trwania awarii Ta = 12 h.
Analogicznie dla kolejnej liczby R, równej 0,45 znaleziono z rozkładu awarii moment rozpoczęcia się
przerwy w zasilaniu, równy 10 h.
Nanosząc moment rozpoczęcia przerwy i czas jej trwania na wykres dobowy otrzymuje się moce grup
odbiorców w chwili awarii: ∆PA = 7 MW, ∆PB = 10 MW; oraz ilość energii niedostarczonej w czasie przerwy w
zasilaniu (założono, że jest on o 1 h dłuższy od czasu trwania awarii): ∆AA = 63 MWh, ∆AB = 130 MWh.
zł/kWh
[MW]
∆PA
16
TP
12
4
400
300
200
∆PB
8
∆AB
100
t
4
8
kstrB
500
∆AA
P
20
12 16
20
24 [h]
Tp
5
Rys. 3.11. Dobowy wykres obciążenia
10
15
20
[h]
Rys. 3.12. Charakterystyka kosztów strat
Łączne koszty strat u odbiorców wywołane tą przerwą w zasilaniu wynoszą:
Kstr = ∆PAkstrA’ + ∆PBkstrB’ (Tp = 13 h) + ∆AAkstrA’’ +∆ABkstrB’’ =
= 7 ⋅ 40 + 10 ⋅ 310 + 63 ⋅ 50 + 130 ⋅ 20 = 9130 tys. zł.
Dalsze wyniki dla R równych odpowiednio 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9 zestawiono w tablicy 3.1 (rozpatrywano
różne kombinacje początków i czasów awarii)
Tablica 3.1. Koszty strat u odbiorców wywołane przerwą w zasilaniu
Czas trwania
przerwy w
zasilaniu Tp [h]
2,0
4,2
7,0
11,3
16,0
Koszty strat przy czasie rozpoczęcia awarii τ [h], (tys. zł.)
5,0
7,7
11,0
15,2
17,0
1600
3300
5550
8280
14800
1880
3590
5130
8560
15080
1530
2890
5410
8110
14730
1880
3590
5410
7340
15080
1880
3590
4780
6710
15080
7
III. Metody obliczeń niezawodności systemów (J. Paska)
Wartość oczekiwana kosztów strat u odbiorców spowodowanych przerwami w zasilaniu (roczna) wyniesie
K str =
ω
N
∑K
N
m =1
stri
=
0,45
⋅ 165370 ≅ 3000 tys. zł.
25
Ograniczenia w stosowaniu metody przestrzeni stanów i metod symulacyjnych mogą być częściowo
wyeliminowane dzięki zastosowaniu metod mieszanych. Jedna z nich, bardziej przydatna w zastosowaniach
praktycznych, jest połączeniem aparatu matematycznego procesów półmarkowskich oraz modelowania
statystycznego. Cechą szczególną metody jest zastąpienie losowego czasu przebywania obiektu w każdym
stanie jego wartością średnią oraz losowe określenie przejścia do kolejnego stanu obiektu. Aparat procesów
półmarkowskich wykorzystuje się zatem do określenia oczekiwanych czasów przebywania układu w różnych
stanach oraz stacjonarnych prawdopodobieństw między stanami.
8