Zadania otwarte - kategoria klas I i II
Transkrypt
Zadania otwarte - kategoria klas I i II
14.12.2013 Zadania otwarte Kategoria klas I i II Czas trwania: 80 minut Należy wybrać i rozwiązać pięć spośród poniższych sześciu zadań. Można oddać rozwiązania wszystkich sześciu zadań, ale wtedy do oceny będzie liczyło się tylko 5 najlepszych wyników. Każde zadanie oceniane , zaś zadania geometryczne są jest w skali 0-10. Zadania ”z wyższej półki” są oznaczone symbolem oznaczone trójkątem 4 . Rozwiązanie każdego zadania powinno być spisane na osobnej kartce i czytelnie podpisane imieniem i nazwiskiem oraz przydzielonym numerem. Zadanie 1. Łasice Marta i Emilka wybrały się na targ owoców. Kosz pomarańczy kosztował 20 trąbek, kosz gruszek 30 trąbek, a kosz owoców kiwi 40 trąbek. Łasice zdecydowały się na wspólne kupno 8 koszy owoców za 230 trąbek. Chcą też kupić jak najwięcej kiwi. Ile koszy kiwi kupią? Zadanie 2. Borsuk Tomek handluje cukierkami – pewnego dnia miał ich 2013 sztuk. Przez kolejne 6 dni sprzedaż przebiegała następująco: n-tego dnia (n = 1, 2, ..., 6) sprzedawał lub kupował dokładnie n cukierków, tzn: pierwszego dnia kupił lub sprzedał jeden cukierek, drugiego dnia kupił lub sprzedał dwa cukierki, trzeciego trzy, itd. Okazało się, że pod koniec szóstego dnia miał ich o 5 więcej niż na początku pierwszego dnia. Na ile sposobów mogła przebiegać ta procedura? Zadanie 3. 4 Piszcząca zabawka dla małych borsuków ma kształt przedstawiony na rysunku. Największy okrąg ma promień 5 cm, średni 4 cm, a dwa małe 2 cm. Która część ma większe pole – jasnoszara czy ciemnoszara? Ile wynosi różnica tych pól? Zadanie 4. 4 Borsuk Wojtek, wykorzystując nieuwagę borsuka Bartka, narysował mu w zeszycie prostokąt ABCD. Oznaczył przez M , N środki boków BC, CD, następnie zaś naszkicował odcinki BN i DM , których punkt przecięcia podpisał jako P . Udowodnij, że kąty ^M AN i ^BP M mają równe miary, zanim Bartek się zorientuje, że ma nabazgrolone w zeszycie! Zadanie 5. Symbolem [x] oznaczymy część całkowitą liczby x, czyli największą liczbę całkowitą, która nie jest większa niż x. Symbolem {x} oznaczymy część ułamkową liczby x, czyli liczbę równą x − [x]. Na przykład: [13.54] = 13, [−5.4] = −6, [7] = 7, {4} = 0, {5.25} = 0.25. Przypuśćmy, że liczby x [x] x, y są większe niż 1 oraz spełniają równość = . Udowodnij, że wtedy {x} · [y] = {y} · [x]. y [y] n oznacza liczbę sposobów posadzenia n borsuków k B1 , B2 , ..., Bn przy k stolikach w taki sposób, że przy każdym stoliku siedzi przynajmniej jeden borsuk. Kolejność w jakiej siedzą borsuki przy stoliku jest nieistotna, a stoliki są nierozróżnialne. Naprzykład, ustawienia z rysunku traktujemy 4 3 4 jako jedno ustawienie. Ponadto = 1, = 3, = 7. Udowodnij, że dla 1 2 2 dowolnych liczb naturalnych n > k > 1 zachodzi równość n n−1 n−1 =k· + . k k k−1 Zadanie 6. Niech Wskazówka. Wybierz jednego borsuka. Może on siedzieć sam lub z innymi borsukami. B1 B3 B2 B2 B3 B1