Lista 3

Miara zewnętrzna, funkcje mierzalne
1. 6p. Niech µ : 2X → [0, ∞] będzie miarą zewnętrzną. Pokazać, że:
S∞
(i) µ (
n=1
An ) ¬
P∞
n=1
µ (An ), dla każdych zbiorów A1 , A2 , . . . ⊂ X,
(ii) jeśli A ⊂ B ⊂ X, to µ (A) ¬ µ (B),
(iii) µ (A) ¬ nk=1 µ (Ak ), dla każdych zbiorów A, A1 , A2 , . . . , An ⊂ X spełniających
S
warunek A ⊂ nk=1 Ak .
P
2. 2p. Niech µ : 2X → [0, ∞] będzie miarą zewnętrzną. Pokazać, że A ⊂ X spełnia
warunek Carathéodory’ego względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
^
µ (Z) ­ µ (Z ∩ A) + µ (Z\A) .
Z⊂X
3. 4p. Niech X będzie dowolną przestrzenią. Niech
µ (A) =
(
0,
A = ∅,
1, ∅ 6= A ⊂ X.
Pokazać, że µ jest miarą zewnętrzną, a następnie wyznaczyć rodzinę zbiorów mierzalnych.
4. 6p. Niech X będzie dowolną przestrzenią. Niech
µ (A) =


 0,


1,
2,
A = ∅,
∅ 6= A 6= X, A ⊂ X,
A = X.
Pokazać, że µ jest miarą zewnętrzną, a następnie wyznaczyć rodzinę zbiorów mierzalnych.
5. 2p. Niech M będzie σ - ciałem podzbiorów zbioru X i niech A ∈ M. Pokazać, że każda
funkcja stała określona na zbiorze A jest M - mierzalna.
6. 4p. Niech M będzie σ - ciałem podzbiorów zbioru X i niech A ∈ M. Pokazać, że
jeśli f : A → R jest funkcją M - mierzalną, B ∈ M i B ⊂ A, to f|B jest funkcją M mierzalną.
7. 4p. Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech B ∈ B (X). Pokazać, że jeśli
f : B → R jest funkcją ciągłą, to funkcja f jest borelowska.
8. 4p. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, M - σ - ciałem podzbiorów zbioru X
zawierającym σ - ciało B (X) i niech B ∈ M. Pokazać, że jeśli f : B → R jest funkcją
ciągłą, to funkcja f jest M - mierzalna.
1
9. 4p. Niech A ∈ R będzie zbiorem niemierzalnym. Czy funkcja f określona wzorem
f (x) =
(
x,
x ∈ A,
−x, x ∈ R\A,
jest mierzalna?
10. 4p. Udowodnić, że jeśli f : A → R jest funkcją M - mierzalną, B ∈ B (X), f (A) ⊂ B
i g : B → R jest funkcją borelowską, to g ◦ f jest funkcją M - mierzalną.
11. 4p. Niech M będzie σ - ciałem podzbiorów zbioru X, A ∈ M, f : A → R oraz P ⊂ 2R .
Udowodnić, że jeżeli f −1 (B) ∈ M dla każdego B ∈ P, to f −1 (B) ∈ M dla każdego
B ∈ σ (P).
12. 4p. Niech D ⊂ M będzie przeliczalną rodziną zbiorów parami rozłącznych i dla
każdego D ∈ D niech fD : D → R będzie funkcją M - mierzalną. Sprawdzić, czy
funkcja
S
f : D → R określona wzorem
x ∈ D, D ∈ D,
f (x) = fD (x) ,
jest M - mierzalna.
13. 4p. Niech f : A → R. Funkcja f jest M - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy
^
{x ∈ A : f (x) > a} ∈ M.
a∈Q
14. 4p. Ustalmy σ - ciało M podzbiorów zbioru X i zbiór A ∈ M. Udowodnić, że
(i) jeśli funkcje f : A → [0, ∞) i g : A → (0, ∞) są M - mierzalne, to funkcja f g jest
M - mierzalna;
(ii) jeśli funkcje f : A → (0, ∞) i g : A → R są M - mierzalne, to funkcja f g jest
M - mierzalna.
15. 6p. Niech I := [0, 1). Dla dowolnego x ∈ I niech Ax := {ξ : ξ ∈ I ∧ (x − ξ) ∈ Q}.
Przez N oznaczmy rodzinę wszystkich parami rozłącznych zbiorów Ax , x ∈ I. Niech Z
będzie zbiorem o następującej własności
^
A∈N
_
Z ∩ A = {a} .
a∈A
Pokazać, że zbiór Z nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a.
2