Miara i całka, semestr zimowy seria 3 Zadanie 1. Pokazać, że

seria 3
Miara i całka, semestr zimowy
Zadanie 1. Pokazać, że algebra Boole’a A spełniajaca warunek: granica ciągu wstepującego
zbiorów z A jest zbiorem z A jest σ-algebrą.
Zadanie 2. Pokazać, że przecięcie dowolnej rodziny ciał przeliczalnie addytywnych jest ciałem
przeliczalnie addytywnym.
Zadanie 3. Niech E ⊂ X. Pokazać, że jeśli M jest σ-algebrą w zbiorze X, to klasa zbiorów
ME := {A ∈ M | A ⊂ E} jest σ-algebrą.
Zadanie 4. Niech f : X → Y będzie funkcją pomiędzy zbiorami X i Y . Pokazać, ze jeżeli M
jest σ-algebrą w zbiorze X, to zbiór {A ⊂ Y, | f −1 (A) ∈ M} jest σ-algebrą.
Zadanie 5. Niech B będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru X. Najmniejsze ciało przeliczalnie addytywne w X zawierające rodzinę B nazywamy ciałem przeliczalnie addytywnym generowanym przez B i oznaczamy przez M(B). Pokazać, że jeżeli A jest algebrą Boole’a, to
M(A) jest najmniejszą rodziną monotoniczną zawierającą rodzinę A. (Rodzinę zbiorów nazywamy monotoniczną, jeśli granica dowolnego ciągu monotonicznego zbiorów tej rodziny należy
do tej rodziny.)
Zadanie 6. Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną, rodzinę B(X) := M({A ∈ τ })
nazywamy ciałem zbiorów borelowskich.
Pokazać, że ciało B(R) jest generowane przez rodzinę
{(a, +∞] | |a| < +∞} ∪ R.
Zadanie 7. Pokazać, że przeciwobraz zbioru Borela poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem
Borela.
Zadanie 8. Pokazać, że iloczyn kartezjański zbiorów Borela jest zbiorem Borela.
Zadanie 9. Niech A ⊂ X × Y będzie zbiorem borelowskim. Pokazać, że dla dowolnego x ∈ X
przekrój:
Ax := {y ∈ Y, | (x, y) ∈ X × Y }
jest zbiorem borelowskim.
Zadanie 10. Niech M będzie σ-algebrą w zbiorze X, f : A → R, gdzie A ∈ M. Pokazać, że
następujace warunki są równoważne:
1. f −1 ((a, +∞]) ∈ M, dla każdego a ∈ R;
2. f −1 ([a, +∞]) ∈ M, dla każdego a ∈ R;
3. f −1 ([−∞, a)) ∈ M, dla każdego a ∈ R;
4. f −1 ([−∞, a]) ∈ M, dla każdego a ∈ R;
5. f −1 ((a, b)) ∈ M, dla każdych −∞ < a < b < +∞;
6. f −1 ([a, b]) ∈ M, dla każdych −∞ < a < b < +∞.
Funkcję spełniającą powyższe warunki nazywamy funkcją mierzalną wzgledem M.
Zadanie 11. Niech M będzie σ-algebrą na zbiorze X, E podzbiorem zbioru X. Pokazać,
że kombinacja liniowa oraz iloczyn funkcji mierzalnych określonych na zbiorze E jest funkcją
mierzalną.
Zadanie 12. Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią mierzalną. Pokazać, że jeśli f : X → R jest
funkcją mierzalną, to funkcja fA dana wzorem:


−A, jeśli f (x) < −A
fA (x) = f (x), jeśli |f (x)| ≤ A


A,
jeśli f (x) > A
jest mierzalna.
2