Miara i całka, semestr zimowy seria 4 Zadanie 1. Niech X będzie

seria 4
Miara i całka, semestr zimowy
Zadanie 1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, niech x ∈ X. Dla dowolnego zbioru A ∈ P(X)
definiujemy:
(
1, jeśli x ∈ A
µ(A) =
0, jeśli x ∈ X \ A.
Pokazać, że tak zdefiniowana funkcja µ : P(X) → [0, +∞] jest miarą.
Zadanie 2. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym, niech T będzie σ-algebrą podzbiorów
X przeliczalnych lub o uzupełnieniu przeliczalnym. Dla A ∈ T kładziemy:
(
1, jeśli X \ A jest przeliczalny
µ(A) =
0, jeśli A jest przeliczalny.
pokazać, że tak zdefiniowana funkcja µ : T → [0, +∞] jest miarą.
W zadaniach 3-6 zakładamy, że (X, Σ, µ) jest przestrzenią mierzalną.
Zadanie 3. Pokazać, że
(a) jeżeli (An )n∈N jest rodziną wstępującą zbiorów mierzalnych z Σ, to
µ( lim An ) = lim µ(An );
n→+∞
n→+∞
(b) jeżeli (An )n∈N jest rodziną zstępującą zbiorów mierzalnych z Σ oraz dla pewnego m ∈ N
mamy µ(Am ) < ∞, to
µ( lim An ) = lim µ(An );
n→+∞
n→+∞
Zadanie 4. Mówimy, że zbiór W ⊂ X jest µ-zaniedbywalny, jeśli
inf{µ(A) | A ∈ Σ, A ⊃ W } = 0.
Pokazać, że W jest zbiorem µ-zaniedbywalnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A ∈ Σ
miary 0 taki, że W ⊂ A.
Zadanie 5. Mówimy, że zbiory A, B ∈ Σ różnią się o zbiór miary zero jeśli
µ(A \ B) = µ(B \ A) = 0
i piszemy wtedy A ≈µ B. Pokazać, że:
(a) ≈µ jest relacją równoważności;
(b) jeśli A ≈µ B, to µ(A) = µ(B);
(c) jeśli Ai ≈µ Bi dla i ∈ N, to
(i) A1 \ A2 ≈µ B1 \ B2 ;
(ii)
S
Ai ≈µ
i∈N
(iii)
T
i∈N
S
Bi ;
i∈N
Ai ≈µ
T
Bi .
i∈N
Zadanie 6. Niech (Ai )i∈N będzie rodziną zbiorów Σ-mierzalnych takich, że µ(Ai ∩ Aj ) = 0 dla
i 6= j. Pokazać, że
[
X
µ( Ai ) =
µ(Ai ).
i∈N
i∈N
Zadanie 7. Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną ze skończoną miarą µ. A, B, Ai
zbiorami mierzalnymi (i ∈ N). Wykazać nastepujące własności:
1. B ⊂ A ⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B).
2. B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A).
3. µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B).
S
P
4. µ( Ai ) ≤
µ(Ai ).
i∈N
i∈N
2