Dziedziny Euklidesowe

Dziedziny Euklidesowe
1.1. Definicja. Dziedzina, Euklidesowa, nazywamy pare, (R, v), gdzie R jest dziedzina, caÃlkowitości a v : R \ {0} −
→ N ∪ {0} funkcja, zwana, waluacja,, która speÃlnia
naste,puja,ce warunki:
1. dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) ≥ v(a),
2. dla dowolnych a ∈ R oraz b ∈ R \ {0} istnieja elementy q, r ∈ R, takie że
a = bq + r
oraz
r=0
lub
v(r) < v(b).
Zanim omówimy przykÃlady dziedzin euklidesowych odnotujmy pewne proste wÃlasności waluacji.
1.2. Stwierdzenie. Niech v : R \ {0} −
→ N ∪ {0} be,dzie waluacja,. Wówczas,
a) dla każdego a ∈ R \ {0}, v(a) ≥ v(1).
b) dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) = v(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym.
c) dla dowolnego a ∈ R \ {0}, v(a) = v(1) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem
odwracalnym.
Dowód. punkt a) jest oczywistym wnioskiem z definicji, zaś punkt c) wynika z
punktu b). Zauważmy, że jeżeli a jest elementem odwracalnym i c elementem
odwrotnym, to v(b) = v(cab) ≥ v(ab), zaś nierówność v(ab) ≥ v(b) wynika z
definicji. Przypuśćmy, że v(ab) = v(b) . Wówczas istnieje c ∈ R dla którego
b = abc + r i v(r) < v(ab) lub r = 0. Jeżeli r 6= 0, to r = b(ac − 1) i z wÃlasności
waluacji v(r) ≥ v(b). Ponieważ v(ab) = v(b), to dostajemy sprzeczność czyli r = 0
i 0 = b(ac − 1). Sta,d ac = 1 i a jest elementem odwracalnym.
¤
PrzykÃladami dziedzin euklidesowych sa, pierścień liczb caÃlkowitych Z, gdzie waluacja, jest wartość bezwzgle,dna oraz pierścień wielomianów K[X] nad ciaÃlem K,
gdzie waluacja jest stopień wielomianu.
Niech d ∈ Z be,dzie liczba caÃlkowita,, d 6= 1, która nie jest podzielna przez kwadrat
liczby naturalnej różnej od 1 - taka, liczbe, nazywamy bezkwadratowa,. Oznaczmy
√
√
przez Z[ d] podpierścień ciaÃla √
liczb zespolonych generowany przez d - jego elementami sa, liczby postaci a + b d, a, b ∈ Z. Niech
√
v : Z[ d] −
→N
√
v(a + b d) = |a2 − b2 d|.
√
√
Wprowadzmy oznaczenia: α = a + b d, ᾱ = a − b d. Wówczas
v(α) = |αᾱ|.
L
à atwy rachunek przekonuje nas o tym, że
v(αβ) = v(α)v(β)
oraz, że α jest elementem odwracalnym wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = 1 i wówczas
ᾱ jest elementem odwrotnym.
2
√
1.3. Stwierdzenie. Funkcja v(a + b d) = |a2 − b2 d| jest waluacja, euklidesowa, na
√
Z[ d] dla d ∈ {−2, −1, 2, 3}
√
√
Dowód. Jest oczywiste, że v(a+b d) ≥ 1, gdyż v(a+b d) = 0 oznaczaÃloby, że d =
( ab )2 , wbrew zaÃlożeniu, że d jest liczba bezkwadratowa,. Sta,d i z multyplilkatywności
funkcji v wynika, że warunek pierwszy jest speÃlniony dla dowolnego
√ d.
Pokażemy, że dla wymienionych wartości d w pierścieniu Z[ d] można dzielić
z reszta,. Dowód dostarcza także algorytm wykonywania takiego dzielenia. Niech
√
√
√
αβ̄
α, β ∈ Z[ d], β 6= 0. Wówczas α
β = β β̄ = x + y d ∈ Q[ d]. Niech r, s ∈ Z be,da,
√
liczbami caÃlkowitymi takimi, że |x − r| ≤ 21 i |y − s| ≤ 12 . Niech γ = r + s d, zaś
√
√
δ = ((x − r) + (y − s)√ d)β. Zauważmy, że α = βγ + δ przy czym α, β, γ ∈ Z[ d].
Zatem także δ ∈ Z[ d]. Wystarczy teraz pokazać, ze v(δ) < v(β) lub δ = 0.
Przypuśćmy, że δ 6= 0. Mamy v(δ) = v(β)|(x−r)2 −(y −s)2 d| ≤ v(β)( 41 + 41 |d|). Dla
d =∈ {−2, −1, 2}, 14 + 41 |d| < 1 i v(δ) < v(β). Jeżeli d = 3, to |(x−r)2 −(y −s)2 3| ≤
1
1
może wysta,pić tylko wtedy, gdy x − r = y − s = 12 , jednak
4 + 4 3 = 1. Równość
√
wówczas v( 12 + 12 3) = 12 < 1, co dowodzi, że dla d = 3 waluacja także jest
euklidesowa.
¤
ZADANIA
Z 1.4. Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad ciaÃlem K.
Niech dla f 6= 0, o(f ) = min{n: an 6= 0}. Udowodnić, że:
(a) o(f g) = o(f ) + o(g)
(b) f | g wtedy i tylko wtedy gdy o(f ) ≤ o(g)
(c) f jest odwracalny wtedy i tylko wtedy gdy o(f ) = 0
(d) jeżeli f 6= 0, to f jest stowarzyszony z X o(f ) .
(e) Czy o(·) jest waluacja, Euklidesowa, na K[[X]]?
Z 1.5. Niech p be,dzie liczba, pierwsza, i zdefiniujmy
k
k
Z∧
p = {(a1 , a2 , .....) : ak ∈ (Z/p Z), ak+1 ≡ ak (mod p ),
k ≥ 1}
a) Pokazać, że Z∧
p z operacjami dodawania i mnożenia po wspóÃlrze,dnych jest
pierścieniem z 1, zawieraja,cym Z jako podpierścień. (jest to uzupeÃlnienie Z
w metryce p-adycznej).
b) Pokazać, że Z∧
p jest pierścieniem Euklidesowym.
3
2. Dziedziny z jednoznacznościa, rozkÃladu
W pierścieniu liczb caÃlkowitych Z podstawowym twierdzeniem jest zasadnicze
twierdzenie arytmetyki mówia,ce, że każda, liczbe, caÃlkowita, można przedstawić w
postaci iloczynu liczb caÃlkowitych pierwszych i że przedstawienie to jest jednoznaczne z dokÃladnościa, do kolejności czynników i ich znaku. Ważnym i naturalnym
problemem jest pytanie dla jakich pierścieni możemy udowodnić podobne twierdzenie. Zaczniemy od wprowadzenia sÃlownika potrzebnych poje,ć. W rozdziale tym
zakÃladamy, że rozpatrywane pierścienie sa, dziedzinami caÃlkowitości.
Niech R bedzie dziedzina, caÃlkowitości.Mówimy, że:
a) Element a ∈ R \ {0} dzieli element b (co oznaczamy symbolem a—b) wtedy i
tylko wtedy gdy istnieje element c, taki że b = ca.
b) Elementy a, b ∈ R \ {0} sa, stowarzyszone (co oznaczamy symbolem a ∼ b tylko
wtedy gdy istnieje odwracalny element u ∈ R dla którego a = bu.
c) Element a ∈ R \ {0} nieodwracalny jest nierozkÃladalny wtedy i tylko wtedy, gdy
z równości a = bc wynika, że b lub c jest elementem odwracalnym.
d) Element a ∈ R \{0} nieodwracalny jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy z tego,
że a|bc wynika, że a|b lub a|c.
2.1. Stwierdzenie. Element pierwszy jest nierozkÃladalny.
Dowód. Niech a ∈ R \ {0} bedzie elementem pierwszym i przypuśćmy, że a = bc.
Wówczas a|b lub a|c. Jeżeli a|b, to b = ad i a = adc. Ponieważ R jest dziedzina
caÃlkowitosci i a 6= 0, to cd = 1 i c elementem odwracalnym. Jeżeli a|c to analogicznie
wnioskujemy, ze bjest elementem odwracalnym.
¤
2.2. PrzykÃlady.
1. W pierścieniu liczb caÃlkowitych Z zbiór elementów pierwszych jest równy zbiorowi elementów nierozkÃladalnych i skÃlada sie, z liczb pierwszych.
2. Liczba 2, która jest elementem
√ pierwszym w pierścieni Z, nie jest elementem
pierwszym w pierścieniu Z[
p d], dla
√ dowolnej liczby
√ bezkwadratowej
√ d. Mamy
bowiem 2|d(d − 1) = (d + )(d − d), ale 2 6| (d + d) i 2 6| (d
−
d).
√
3. Liczba 2 jest elementem nierozkÃladalnym w pierścieniu Z[ d], dla d ≤ −3.
Przypuśćmy przeciwnie, że 2 = αβ, gdzie α, β nieodwracalne. Wówczas
v(2) = 4 = v(α)v(β). Z nieodwracalności v(α) 6= 1 i v(β) 6= 1, a wie,c
√
v(α) = v(β) = 2. Jeżeli α = x + y d, to |x2 − y 2 d| = 2, ale dla d ≤ −3,
to nie jest mozliwe. Bowiem |x2 − y 2 d| ≥ x2 + 3y 2 > 2 dla y 6= 0, ale y 6= 0, bo
w przeciwnym razie 2 byÃlaby kwadratem liczby naturalnej.
2.3. Stwierdzenie. W dziedzinie Euklidesowej każdy element nierozkÃladalny jest
pierwszy.
Zanim udowodnimy to twierdzenie wzorem pierścienia liczb caÃlkowitych wprowadzimy definicje,.
2.4. Definicja. Niech R be,dzie dziedzina, caÃlkowitości i niech ∅ 6= A ⊂ R.
Powiemy, że element d ∈ R jest najwie,kszym wspólnym dzielnikiem (oznaczamy
go symbolem NWD(A)) jeżeli
a) dla każdego x ∈ A, d|x,
b) jeżeli e|x dla każdego x ∈ A, to e|d.
Jeżeli NWD(A) = 1, to mówimy że zbiór A jest wzgle,dnie pierwszy.
4
Zauważmy, ze z definicji wynika natychmiast, że jeżeli N W D(A) istnieje, to jest
wyznaczony jednoznacznie z dokÃladnościa, do stowarzyszenia.
W dziedzinach euklidesowych dysponujemy algorytmem, zwanym algorytmem
Euklidesa, który pozwala na znalezienie N W D dowolnych dwóch elementów i tym
samym dowodzi, ze istnieje N W D dowolnej skończonej liczby elementów.
Możemy teraz przysta,pić do dowodu stwierdzenia 2.3
Dowód. Niech a be,dzie elementem nierozkÃladalnym i niech a | bc. Zastosujmy
algorytm Euklidesa do dzielenia b i a znajduja,c ich najwie,kszy wspólny dzielnik d.
Mamy a = de b = df dla pewnych e, f . Z nierozkÃladalności a, element e lub d jest
odwracalny. Jeżeli element e jest odwracalny, to d = ae−1 i b = ae−1 f i a | b. Jeżeli
d jest odwracalny, to d = ax + by dla pewnych x, y i mnoża,c obie strony równości
przez cd−1 otrzymujemy c = acd−1 x + bcd−1 y = acd−1 x + azd−1 y i a | c.
¤
√
2.5. Wniosek. Dziedzina Z[ d] nie jest dziedzina, euklidesowa, dla d ≤ −3.
SformuÃlujmy teraz gÃlówna, definicje, tego rozdziaÃlu.
2.6. Definicja. Dziedzina caÃlkowitości R nazywa sie dziedzina, z jednoznacznościa,
rozkÃladu (DJR) wtedy i tylko wtedy, gdy
a) każdy element a ∈ R \ {0} może być przedstawiony w postaci iloczynu
a = up1 . . . pk ,
gdzie u jest elementem odwracalnym, zaś p1 , . . . , pk sa, elementami nierozkÃladalnymi.
b) rozkÃlad ten jest jednoznaczny z dokÃladnościa, do stowarzyszenia, to znaczy ze
jeżeli a = up1 . . . pk = vq1 . . . ql sa, rozkÃladami, u, v sa, elementami odwracalnymi,
zaś p1 , dots, pk , q1 , . . . , ql nierozkÃladalnymi, to k = l i po ewentualnym przenumerowaniu pi jest stowarzyszone z qi , 1 ≤ i ≤ k.
Grupuja,c nierozkÃladalne elementy stowarzyszone możemy dowolny niezerowy element zapisać jednoznacznie ( z dokÃladnościa, do kolejności i stowarzyszenia) w
postaci:
a = upk11 . . . pks s ,
gdzie pi nie jest stowarzyszone z pj , dla i 6= j.
Zauważmy, ze w DJR jest tak, jak w pierścieniu liczb caÃlkowitych, to znaczy
.
2.7. Stwierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu, to każdy
element nierozkÃladalny jest pierwszy.
Dowód. Niech a be,dzie elementem nierozkÃladalnym i niech a|bc. Zatem ad =
bc, dla pewnego elementu d. Elementy b, c, d przedstawiamy w postaci iloczynu
czynników nierozkÃladalnych. Z jednoznaczności rozkÃladu wynika, że po prawej
stronie musi znaleźć sie, czynnik stowarzyszony z a.
¤
Jest jasne, że informacja iż dany pierścień jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu bardzo pomaga badać jego wÃlasności. Odnotujmy, że zachodzi twierdzenie:
2.8. Twierdzenie. Dziedzina Euklidesowa jest dziedzina, z jednoznacznościa,
rozkÃladu.
Dowód. Niech R be,dzie dziedzina, euklidesowa, z waluacja, v. Pokażemy przez
indukcje, wzgle,dem wartości waluacji, że każdy element można przedstawić w postaci
iloczynu elementów nierozkÃladalnych.
5
Jeżeli v(x) = 1, to x jest elementem odwracalnym. ZaÃlóżmy, że twierdzenie jest
prawdziwe dla elementów o waluacji ≤ k. Niech v(x) = k + 1. Jeżeli x jest elementem nierozkÃladalnym, to x = x jest rozkÃladem. Jeżeli x nie jest nierozkÃladalny,
to x = yz, przy czym z i y nie sa, odwracalne. Z wÃlasności waluacji wynika, że
v(z) < v(x) i v(y) < v(x). Z zaÃlożenia indukcyjnego, y i z moga, być przedstawione
w postaci iloczynu elementów nierozkÃladalnych, a wie,c x także.
Należy teraz pokazać jednoznaczność rozkÃladu. Wynika ona z faktu, że w dziedzinie euklidesowej, każdy element nierozkÃladalny jest pierwszy. Niech bowiem
x = up1 . . . pk = vq1 . . . ql . NierozkÃladalny, a wie,c pierwszy, element p1 |q1 . . . ql ,
wie,c p1 |qi dla pewnego 1 ≤ i ≤ l. Z nierozkÃladalności elementu qi wynika, że p1 i qi
sa, stowarzyszone. Możemy wie,c obie strony podzielić przez p1 i otrzymujemy dwa
rozkÃlady o mniejszej liczbie czynników. Teza wynika przez indukcje, ze wzgle,du na
liczbe, czynników w rozkÃladzie.
¤
W szkole podstawowej znajdowaÃlo sie, najwie,kszy wspólny dzielnik podzbioru
A zbioru licz caÃlkowitych w ten sposób, że należaÃlo rozÃlożyć wszystkie liczby ze
zbioru A na czynniki pierwsze i najwie,kszy wspólny dzielnik byÃl iloczynem tych,
które wyste,puja, w każdej liczbie ze zbioru A. DokÃladnie to samo rozumowanie
prowadzi do dowodu naste,puja,cego faktu.
2.9. Stwierdzenie. W każdej dziedzinie z jednoznacznościa, rozkÃladu istnieje
NWD(A), dla dowolnego niepustego podzbioru A ⊂ R.
Klasa pierścieni z jednoznacznościa, rozkÃladu jest znacznie szersza niż klasa
pierścieni Euklidesowych. Naste,puja,ce ważne twierdzenie jest tego ilustracja,:
2.10. Twierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu, to
pierścień wielomianów R[X] jest także dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu.
ZADANIA
√
√
Z 2.11. Pokazać, że w Z[ 5] nie istnieje N W D(4, 2 + 2 √5).
Z 2.12. Podać przykÃlad elementu nierozkÃladalnego w Z[ 5], który nie jest pierwszy.
Z 2.13. Znaleźć N W D(3456,
√ 18564).
Z 2.14. W pierścieniu
Z[
−2]
√
√ znaleźć:
(a) N W D(a + b √−2, a − b √−2)
(b) N W D(6 + 4 −2, 8 − 2 −2).
Z 2.15. W pierścieniu Z[i] znaleźć N W D(2 + 11i, 1 + 3i)
Z 2.16. Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad ciaÃlem K. pokazać,
że jedynym elementem nierozkÃladalnym jest X
Z 2.17. W Z5 [X]
3X 3 + 4X 2 + 3 = (X + 2)2 (3X + 2) = (X + 2)(X + 4)(3X + 1).
Dlaczego nie jest to sprzeczne z tym, że Z5 [X] jest dziedzina, z jednoznacznościa,
rozkÃladu?
Pierścień Z[i].
Z 2.18. Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[i].
Z 2.19. Udowodnić, że dla liczby pierwszej p > 2 naste,puja,ce warunki sa, równoważne:
a) p jest elementem rozkÃladalnym pierścienia Z[i]
6
b) p ≡ 1(mod 4)
c) p = m2 + n2 dla pewnych m, n ∈ N
Z 2.20. Pokazać, że w rozkÃladzie na czynniki pierwsze w Z liczby naturalnej be,da,cej
suma, kwadratów l = m2 + n2 każdy czynnik postaci 4k-1 wyste,puje w pote,dze
parzystej. Znaleźć wszystkie liczby caÃlkowite, które można przedstawić w postaci
sumy kwadratów dwóch liczb caÃlkowitych.
Z 2.21. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz
postaci 4k + 3.
√
Pierścień Z[ 2].
√
Z 2.22. Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[ 2]. Z 2.23.
√ Udowodnić, że z
dokÃladnościa, do stowarzyszenia elementami pierwszymi w Z[ 2] sa,:
√
(a) 2
(b) liczby pierwsze√caÃlkowite postaci 8n ± 3
(c) dzielniki a + b 2, b 6= 0 liczb pierwszych caÃlkowitych postaci 8n ± 1.
Z 2.24. Udowodnić, że jeżeli K jest ciaÃlem, to podpierścień K[X 2 , X 5 ] pierścienia
K[X] nie jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu. (jednoznaczność rozkÃladu nie
dziedziczy sie, na podpierścienie).