Wielomiany Bernsteina: interpretacja probabilistyczna, graficzne

Wielomiany Bernsteina – wielomiany
wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja
Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa
o przybliżeniu funkcji ciągłych. Wielomiany
bazowe Bernsteina służą do przedstawiania
szeroko stosowanych w grafice komputerowej:
krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących
się z nich innych rodzajów krzywych i
powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki
komputerowej często pomija się przymiotnik
bazowe i używa po prostu określenia wielomiany
Bernsteina).
Wielomiany te używane są do określenia
trójkątnych płatów Beziera. Dane są wzorem:
Krzywa Beziera– parametryczna krzywa
powszechnie stosowana w programach do
projektowania inżynierskiego CAD,
projektowania grafiki komputerowej, do
reprezentowania kształtów znaków w
czcionkach komputerowych i systemach
przetwarzania grafiki oraz w grafice
wektorowej.
Krzywe Beziera są krzywymi parametrycznymi, tzn. każda współrzędna punktu
krzywej jest pewną funkcją liczby rzeczywistej będącej wspomnianym
parametrem; aby określić krzywą na płaszczyźnie, potrzebne są dwie funkcje, aby
określić krzywą w przestrzeni – trzy, itd. Ze względu na rodzaj tych funkcji mówi
się o krzywych wielomianowych oraz krzywych wymiernych. Powszechnie stosuje
się również krzywe złożone z kawałków gładko połączonych krzywych
wielomianowych bądź wymiernych, tzw. krzywych B-sklejanych. Niezależnie od
rodzaju krzywej, na jej przebieg wpływa łamana kontrolna, określona za pomocą
punktów kontrolnych, których liczba jest zwykle niewielka. Ta cecha bardzo
ułatwia pracę interakcyjną, bowiem człowiek w naturalny sposób może ustalać
położenie punktów i łatwo korygować błędy.
Płaty Beziera – powierzchnie parametryczne stosowane w
modelowaniu geometrycznym.
Dowolny punkt na powierzchni oblicza się wzorem:
- wielomiany bazowe Bernsteina