I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2
Poziom podstawowy – 3 godz. x 30 tyg.= 90
nr programu DKOS-5002-79/07
I. Funkcja kwadratowa
Moduł - dział temat
L.p.
Zakres treści
Wykres funkcji
f(x)=ax2
1
2
• Pojęcie funkcji • Rysowanie wykresów funkcji
• Związek współczynnika a
z położeniem ramion paraboli
• Wierzchołek, oś symetrii paraboli, zbiór wartości
funkcji
• Przedziały monotoniczności funkcji
• Znak funkcji
Przesunięcie
wykresu funkcji
f(x)=ax2
wzdłuż osi
3
Postać kanoniczna
i postać ogólna
funkcji
kwadratowej
Równania
kwadratowe (1)
4
5
Równania
kwadratowe (2)
7
8
Postać iloczynowa
funkcji
kwadratowej
9
10
Nierówności
kwadratowe
11
12
Funkcja
kwadratowa zastosowania
13
14
15
• Interpretacja wielkości p i q we wzorze f(x)=a(x-p)2+q
• Przesuwanie wykresu funkcji f(x)=ax2 wzdłuż osi
• Rysowanie wykresu funkcji f(x)=a(x-p)2+q
• Odczytywanie
z wykresu własności funkcji
• Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego
• Wyróżnik trójmianu kwadratowego
• Współrzędne wierzchołka paraboli
• Postać ogólna funkcji kwadratowej
• Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
• Rozkład funkcji kwadratowej na czynniki liniowe
stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączanie
wspólnego czynnika przed nawias
• Liczba rozwiązań równania kwadratowego
w zależności od wyróżnika
• Wzory na obliczanie pierwiastków równania
kwadratowego
• Rozwiązanie równania kwadratowego
z zastosowaniem wzorów na pierwiastki
• Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
• Metody rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki
liniowe
• Zamiana postaci iloczynowej na ogólną
i kanoniczną
• Odczytywanie wartości pierwiastków na podstawie
postaci iloczynowej
• Odczytywanie znaku funkcji z wykresu
• Szkicowanie parabol w oparciu
o współczynnik a, wyróżnik i pierwiastki
( o ile istnieją )
• Odczytywanie przedziałów, w których trójmian
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne, niedodatnie,
nieujemne
• Rysowanie wykresów funkcji w oparciu o współrzędne
wierzchołka, punkt przecięcia z osią OY, miejsca zerowe
( o ile istnieją)
• Odczytywanie własności funkcji
z wykresu
6
• Znajdowanie największej i najmniejszej wartości
funkcji w przedziale domkniętym
• Zadania prowadzące do równań kwadratowych
• Zadania prowadzące do nierówności kwadratowych
Powtórzenie
wiadomości
o funkcji
kwadratowej.
Praca klasowa
i jej omówienie
16
17
18
19
II. Planimetria
Moduł - dział temat
L.p
.
Zakres treści
• Miara stopniowa kąta
• Kąty wewnętrzne i zewnętrzne w trójkącie
• Podział trójkątów ze względu na boki i kąty
• Suma kątów wewnętrznych
w trójkącie
• Obliczanie kątów wewnętrznych
i zewnętrznych
w trójkącie
• Definicja figur przystających
• Definicja trójkątów przystających
• Cechy przystawania trójkątów
• Uzasadnianie przystawania trójkątów w oparciu
o cechy przystawania trójkątów
• Nierówność trójkąta
Miara kątów
w trójkącie
1
Trójkąty
przystające
2
Trójkąty podobne
3
• Definicja figur podobnych
• Definicja trójkątów podobnych
• Cechy podobieństwa trójkątów
• Skala podobieństwa trójkątów
• Uzasadnianie podobieństwa trójkątów w oparciu
o cechy podobieństwa trójkątów
Wielokąty
podobne
Twierdzenie
Talesa
4
5
6
Trójkąty
prostokątne
7
• Stosunek obwodów figur podobnych
• Stosunek pól figur podobnych
• Krótka informacja
o Talesie z Miletu
• Twierdzenie Talesa
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
• Podział odcinka na równe części
• Konstrukcja odcinka o zadanej długości na podstawie
twierdzenia Talesa
• Krótka informacja
o Pitagorasie z Samos
• Twierdzenie Pitagorasa
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
• Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia
odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa do rozwiązywania
zadań, w tym konstrukcyjnych
(np. wzór na długość przekątnej kwadratu,
wzór na długość wysokości trójkąta równobocznego)
Funkcje
trygonometrycz
ne kąta ostrego
8
9
Trygonometria zastosowania
10
11
Rozwiązywanie
trójkątów
prostokątnych
12
Związki między
funkcjami trygo
nometrycznymi
Praca klasowa z
funkcji
trygonometrycz
Pole trójkąta
13
14
Pole czworokąta
18
19
Długość okręgu i
pole koła
20
Powtórzenie
wiadomości
z
planimetrii
Praca klasowa
i jej omówienie
21
22
• Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
• Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30o, 45o,
60o
• Znajdowanie wartości funkcji trygonometrycznych w
trójkącie prostokątnym o danych długościach boków
• Odczytywanie
z tablic matematycz- nych przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych kąta ostrego
• Znajdowanie przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych kąta ostrego przy zastosowaniu
kalkulatora
• Rozwiązywanie zadań praktycznych z zastosowaniem
funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
• Pojęcie Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
• Mniejsze jednostki miary stopniowej kąta: minuta i
sekunda
• Pojęcie środkowej trójkąta
• Cztery podstawowe tożsamości trygonometryczne
• Tożsamości trygonometryczne dla kątów typu 90o- α
15
16
17
• Pole trójkąta o danej wysokości i podstawie
• Pole trójkąta równobocznego
• Pole trójkąta z wykorzystaniem miary kąta ostrego
• Pola wielokątów foremnych
• Pole kwadratu
• Pole trapezu
• Pole równoległoboku
• Pole rombu
• Określenie okręgu (koła)
• Cięciwa, średnica, promień okręgu(koła), wycinek koła
• Pole koła, pole wycinka koła
• Długość okręu, długość łuku okręgu
• Wzajemne położenie okręgu
i prostej
23
24
III. Wielomiany
Moduł - dział -temat
Stopień i współczynniki
wielomianu.
L.p.
1
2
Zakres treści
•Definicja jednomianu, dwumianu,
wielomianu.
•Pojęcie stopnia jednomianu i stopnia
wielomianu.
•Pojęcie współczynników wielomianu
Dodawanie wielomianów
3
Mnożenie wielomianów
4
Wzory skróconego mnożenia.
5
Rozkład wielomianu
na czynniki
6
7
8
Równania wielomianowe.
9
10
Powtórzenie wiadomości
11
12
13
14
Praca klasowa i jej
omówienie
i wyrazu wolnego.
•Pojęcie wielomianu zerowego.
• Dodawanie wielomianów.
• Odejmowanie wielomianów.
• Stopień sumy
i różnicy wielomianów.
• Iloczyn wielomianu przez dwumian
•Iloczyn wielomianów
• Stopień iloczynu wielomianów
•Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy i
różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy
i różnicy, suma
i różnica sześcianów, wzór a n − 1 .
•Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
i warunki jej istnienia – powtórzenie .
•Wielomian jako iloczyn czynników stopnia
co najwyżej drugiego
•Rozkład wielomianu
na czynniki metodami:
- wyłączanie
wspólnego czynnika
przed nawias
- rozkład trójmianu kwadratowego na
czynniki,
- wzory skróconego mnożenia,
- metoda grupowania wyrazów.
•Pierwiastek wielomianu
•Rozwiązywanie równań wielomianowych z
zastosowaniem metod:
─ wyłączanie
wspólnego czynnika
przed nawias
─ rozkład trójmianu kwadratowego na
czynniki,
─ odpowiednie podstawienie (równania
dwukwadratowe)
─ wzory skróconego mnożenia,
─ metoda grupowania wyrazów.
•Pierwiastek k-krotny.
IV. Funkcje wymierne
Moduł - dział -temat
L.p.
Zakres treści
Proporcjonalność odwrotna
1
• Pojęcie proporcjonalności odwrotnej.
• Przykłady proporcjonalności odwrotnej.
Wykres funkcji f ( x ) =
2
• Wykres funkcji f ( x ) =
a
x
1
x
Przesunięcie wykresu
a
funkcji f ( x ) =
x
wzdłuż osi.
3
4
• Osie symetrii hiperboli.
• Środek symetrii hiperboli.
• Przedziały monotoniczności.
• Asymptoty
• Własności funkcji dla a>0.
• Własności funkcji dla a<0.
• Przypomnienie przesuwania wykresu
wzdłuż osi.
• Przesunięcie wykresu funkcji f ( x ) =
a
x
wzdłuż osi.
• Własności funkcji f ( x ) =
Wyrażenia wymierne
5
6
Mnożenie
i dzielenie wyrażeń
wymiernych.
Dodawanie
i odejmowanie wyrażeń
wymiernych.
7
8
9
10
Równania wymierne.
Wyrażenia wymierne –
zastosowania.
Powtórzenie wiadomości
Praca klasowa
i jej omówienie
11
12
13
14
15
16
17
18
19
a
po
x
przekształceniu.
• Pojęcie wyrażenia wymiernego.
• Dziedzina wyrażenia wymiernego.
• Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.
• Dziedzina iloczynu
i ilorazu wyrażeń wymiernych.
• Dodawanie i odejmowanie wyrażeń
wymiernych.
• Dziedzina sumy
i różnicy wyrażeń wymiernych.
• Równania wymierne.
• Wykorzystanie wiadomości o funkcji
homograficznej, równaniach
do rozwiązywania zadań tekstowych.
V. Funkcje wykładnicze i logarytmy
Moduł - dział temat
L.p.
Potęga
o wykładniku
wymiernym
1
2
Potęga
o wykładniku
rzeczywistym.
Funkcje
wykładnicze.
3
Przekształcenia
wykresu funkcji
wykładniczej.
Logarytm liczby
4
5
6
7
Zakres treści
• Definicja pierwiastka n-tego stopnia z liczby
nieujemnej.
• Definicja potęgi
o wykładniku wymiernym liczby dodatniej.
• Prawa działań na potęgach o wykładnikach
wymiernych.
• Określenie potęgi
o wykładniku. rzeczywistym liczby dodatniej
• Prawa działań na potęgach.
• Definicja funkcji wykładniczej
i jej wykres.
• Własności funkcji wykładniczej.
• Metody szkicowania wykresów funkcji
wykładniczych
w różnych przekształceniach.
• Definicja logarytmu liczby dodatniej.
dodatniej.
Własności
logarytmów.
8
9
Zastosowania
logarytmów.
Powtórzenie
wiadomości
Praca klasowa
i jej omówienie
10
11
12
13
14
• Równości: log a a x = x, a log a b = b , gdzie
a > 0 i a ≠ 1, b > 0 .
• Definicja logarytmu dziesiętnego
• Zastosowania logarytmu dziesiętnego
• Twierdzenia
o logarytmie iloczynu, ilorazu .
• Twierdzenia
o logarytmie potęgi.
• Zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej.