13 lutego 2007 1. Niech ciąg wielomianów q0(x),q1(x),q2(x)

Analiza numeryczna
egzamin III - 13 lutego 2007
1. Niech ciąg wielomianów q0 (x), q1 (x), q2 (x), . . . będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych względem iloczynu skalarnego
< f, g >=
Z
b
f (x)g(x)dx.
a
(a) Podaj ogólną postać związku rekurencyjnego spełnianego przez te wielomiany.
(b) Niech dla wielomianu pn (x) stopnia n zachodzi:
Z
b
pn (x)xk dx = 0,
k = 0, . . . , n − 1.
a
Czy stąd wynika, że istnieje stała c taka, że p(x) = cqn (x)? Dlaczego?
(c) Omów zastosowanie wielomianów ortogonalnych w aproksymacji średniokwadratowej.
2. Funkcję f (x) interpolujemy wielomianem w(x) stopnia n ¬ 1 z węzłami interpolacji
x0 = a, x1 = b. Niech istnieje taka stała M2 , że |f ”(x)| ¬ M2 dla x ∈ [a, b]. Uzasadnij
dlaczego
M2
(b − a)2 .
max |f (x) − w(x)| ¬
8
x∈[a,b]
Podaj jakiś przykład zastosowania wielomianu interpolacyjnego w innych działach analizy numerycznej.
3. Niech f (x) = x3 − x. Do którego z pierwiastków 0, ±1 i jak szybko jest zbieżna metoda
Newtona w zależności od wyboru początkowego przybliżenia x0 ? Czy istnieje takie x0 ,
że nie da się obliczyć x1 ? Czy istnieje takie x0 , że x1 = −x0 ? Co dla takich przybliżeń
początkowych dzieje się? Zbadać geometrycznie, co dzieje się dla innych przybliżeń
początkowych.
4. Niech
x2 2
(x − 4)3 .
27
Czy wielomian stopnia zerowego h(x) = −0.5 jest wielomianem optymalnym stopnia
zerowego, w sensie aproksymacji jednostajnej, na przedziale [−2, 2]? Dlaczego? Naszkicować wykres funkcji f (x).
f (x) =
5. Niech A będzie macierzą ortogonalną. Czemu równa się norma spektralna ||A||2 ? Czy
prawdą jest, że cond2 (A) = 1? Dlaczego?
6. Niech


0 1 2


A =  2 −1 0  .
0 2 1
Jak wyznaczyć rozkład LU macierzy A? Jak sprawdzić, czy ten rozkład istnieje?
7. Wyprowadzić wzór na kwadraturę interpolacyjną z następującymi węzłami kwadratury:
−2, −1, 0 dla całki na przedziale [0, 1] z wagą p(x) = 1. Zastosować tę kwadraturę
do obliczenia przybliżonej wartości całki z funkcji f (x) = sin πx. Obliczoną wartość
porównać z wartością otrzymaną z wzoru trapezów. Jaka jest geometryczne interpretacja
wzoru trapzezów? O co chodzi w algorytmie Romberga?
1