Probabil

Probabil
Zestaw 2
Semestr zimowy 2015/2016
Kraków, 14-15 października 2015
Kilka prostych zadań
Zadanie 1. W kieszeni trzymamy trzy monety. Jedna ma orła po obu stronach, druga
ma reszkę po obu stronach, a trzecia jest zwykłą monetą z orłem i reszką. Wyciągamy
losowo jedną z monet z kieszeni i kładziemy na stół. Widzimy orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z drugiej strony też jest orzeł?
Zadanie 2 (Idź na Całość). W teleturnieju Idź na Całość można było wygrać samochód.
Uczestnik stał przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z bramek krył się samochód, za pozostałymi zaś przysłowiowy zonk. Gracz wskazywał jedną z bramek po czym
prezenter odsłaniał jedną z pozostałych bramek, za którą nie było samochodu. Wówczas
pojawiał się wybór. Uczestnik mógł jeszcze zmienić wybraną bramkę na drugą jeszcze
zakrytą lub pozostać przy swoim pierwotnym wyborze. Dyskusji zawsze było dużo. Jedni twierdzili, że możliwość zmiany to tylko mamienie i prawdopodobieństwo wygranej
pozostaje takie samo. Inni twierdzili, że opłaca się zmienić. Jak to jest?
Zadanie 3. Czy prawdopodobieństwo, że rzucając 100 razy symetryczną monetą, wyrzucimy więcej orłów niż reszek wynosi 21 ? A rzucając 101 razy?
Zadanie 4. W wyborach startuje 100 kandydatów. Do urny wrzucono 100 głosów na
pierwszego i 100 głosów na drugiego kandydata. Losowo wybieramy z urny próbkę 99
głosów. Oblicz prawdopodobieństwo, że większość w próbce stanowią głosy oddane na
pierwszego kandydata.
Zadanie 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 25 przypadkowych przechodniów nie
ma osób obchodzących urodziny tego samego dnia. Zakładamy, że rok ma 365 dni i każdy
dzień jest równie prawdopodobny jest równie prawdopodobny jako dzień urodzin.
Zadanie 6. Król Artur urządza turniej rycerski, w którym rycerze walczą w systemie
turniejowym (jakże by inaczej?). Uczestnicy każdego pojedynku mają równe szanse na
zwycięstwo. Drabinka turnieju jest układana losowo. Wśród 2n uczestników jest dwu braci.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że spotkają się w pojedynku?
Zadanie 7. Niech Ω = {1, 2, . . . , p}, F niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów Ω, i
niech P(A) = |A|/p dla każdego A ∈ F. Przyjmijmy, że p jest liczbą pierwszą. Pokaż, że
jeżeli A i B są niezależne, to przynajmniej jeden ze zbiorów A i B jest albo ∅, albo Ω.
Zadanie 8. Sa̧ dwie drogi z A do B i dwie drogi z B do C. Prawdopodobieństwo zasypania
śniegiem dowolnej z tych dróg wynosi p i sa̧ to zdarzenia niezależne. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest wolny przejadz a A do B pod warunkiem, że nie ma przejazdu z A do C.
Znajdź również prawdopodobieństwo, jeżeli założymy dodatkowo, że istnieje droga bezpośrednia z A do C, zasypana z prawdopodobieństwem p niezależnie od pozostałych.
Zadanie 9. Czworo świadków A, B, C i D, w trakcie procesu mówi prawdȩ z prawdopodobieństwem 1/3 niezależnie od siebie nawzajem. W zeznaniach A stwierdził, że B zaprzeczył jakoby C zadeklarował, że D skłamał. Jakie jest prawdopodobieństwo (warunkowe), że D powiedział prawdȩ?
Strona 1/2
Probabil
Zestaw 2
Semestr zimowy 2015/2016
Kraków, 14-15 października 2015
k
Zadanie 10. Owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem λk! e−λ , λ > 0. Potomek
wylȩga siȩ z jaja z prawdopodobieństwem p, niezależnie od innych. Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków bȩdzie równa l.
Zadanie 11. Z talii 8 - czterech króli i czterech asów - wybieramy losowo dwie karty.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 króle, przy założeniu że:
a) wybrano co najmniej jednego króla,
b) wśród wybranych kart jest czarny król,
c) wśród wybranych kart jest król pik.
Zadanie 12. Talia składa siȩ z czterech kart - asów. Rozdajemy dwie z nich koszulka̧ do
góry przed naszym prawdomównym przyjacielem. On ogla̧da je i mówi nam, że jedna z
nich jest asem kier. Jaka jest szansa, że druga karta jest asem karo? Może 1/3?
Przypuśćmy, że protokół przyjaciela był nastȩpuja̧cy:
a) jeżeli nie było czerwonych asów mówi "brak czerwonych asów",
b) jeżeli był as kier mówi "jest as kier",
c) jeżeli był as caro, ale nie było asa kier mówi "jest as karo".
Pokaż, że prawdopodobieństwo w tym przypadku jest 1/3.
Wymyśl protokół dla któregoprawdopodobieństwo w tym przypadku bȩdzie 0.
Zadanie 13. Jest n osób: A1 , A2 , . . . , An . Osoba A1 dostaje kartkȩ ze znakiem +. Z
prawdopodobieństwem p, 0 < p < 1, zmienia znak na przeciwny i podaje kartkȩ osobie
A2 , która z prawdopodobieństwem p zmienia znak na przeciwny i podaje kartkȩ osobie
A3 , itd. Na zakończenie, po oddaniu kartki przez osobȩ An , zaobserwowano znak +. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że osoba A1 nie zmieniła znaku?
Strona 2/2