Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne
7. Rozkłady stacjonarne
Ćw. 7.1 Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej więcej co minutę
podejmuje decyzję o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy jest pod szafą, to pozostaje
tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdopodobieństwem 0,2. Ponieważ ma krótką pamięć, kolejne decyzje można uznać za niezależne.
jaka jest po paru godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?
Ćw. 7.2 (F., Zad. 9 str. 348) (Dwa ekrany odbijające) Łańcuch o stanach 1, 2, . . . , a ma macierz,
której pierwszym i ostatnim wierszem są odpowiednio (q, p, 0, . . . , 0) oraz (0, . . . , 0, q, p). We
wszystkich pozostałych wierszach pk,k+1 = p, pk,k−1 = q. Znajdź rozkład stacjonarny.
Ćw. 7.3 (J. S., str. 287) (Model Ehrenfestów) k cząstek rozmieszczono losowo w dwóch naczyniach I i II. W chwili n losowo wybraną cząstkę przenosi się z naczynia, w którym była, do
drugiego. Jeśli w pewnej chwili w naczyniu I jest m > 0 cząsteczek (układ jest w stanie m),
to w chwili następnej układ znajdzie się w stanie m − 1 lub m + 1, zależnie od tego czy
cząsteczka przeszła z naczynia I do II, czy odwrotnie. Znajdź rozkład stacjonarny. Z jaką
częstością naczynie I jest puste?
Ćw. 7.4 (Bor. Przykład 5. str. 169) Przypuśćmy, że dwaj szachiści A i B zachowują się w turnieju w następujący sposób: szachista A niezależnie od wyników poprzednich partii, każdą
partię wygrywa z prawdopodobieństwem p, przegrywa z prawdopodobieństwem q i remisuje
z prawdopodobieństwem r = 1 − p − q. Szachista B jest mniej zrównoważony: wygrywa
partię z prawdopodobieństwem p + ε, p, p + ε odpowiednio, jeżeli poprzednią partię wygrał,
zremisował lub przegrał. Analogicznie zachowuje się prawdopodobieństwo przegranej: jest
ono w tych trzech przypadkach odpowiednio równe q−ε, q, q+ε. Który z graczy A i B zbierze
więcej punktów w długotrwałym turnieju? Znajdź średnią częstość przegranej gracza B.