3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
1 Składniki szeregu czasowego
W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego:
a)
składowa systematyczna;
b)
składowa przypadkowa.
Składowa przypadkowa (losowa) to błąd losowy oraz wahania
przypadkowe.
Składowa systematyczna jest efektem działania stałego zestawu
czynników na obserwowaną zmienną. Może ona wystąpić w postaci:
•
tendencji rozwojowej (trendu);
•
stałego (średniego) poziomu;
•
składowej okresowej (periodycznej), która z kolei może przyjąć
postać:
§
wahań cyklicznych;
§
wahań sezonowych.
Szeregi czasowe mogą zawierać jeden lub więcej, a nawet wszystkie, wyżej wymienione
składniki, tendencje i wahania.
Stały (średni) poziom obserwowanej
występuje
w
szeregach
czasowych, w których wartości oscylują wokół stałego poziomu.
Tendencja rozwojowa (trend) jest własnością szeregu czasowego
ujawniającą się poprzez systematyczne, jednokierunkowe zmiany (wzrost
lub spadek) poziomu badanego zjawiska zachodzące w długim okresie
czasu.
Wahania okresowe (sezonowe) są to rytmiczne wahania wartości
szeregu o określonym cyklu. Mogą na przykład odzwierciedlać wpływ
zmian pór roku.
www.wkuwanko.pl
1
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
Wahania cykliczne (koniunkturalne) to zmiany powodowane przez
systemowe, falowe wahania rozwoju gospodarki obserwowane w
dłuższych od roku okresach. Analiza tego rodzaju wahań wymaga
długoletnich obserwacji.
2. Postacie analityczne funkcji trendu
Klasyczny model tendencji rozwojowej w prognozowaniu przyjmuje postać:
gdzie:
- zmienna prognozowana,
- parametry modelu,
- zmienna oznaczająca czas (zmienna czasowa),
- składnik losowy modelu.
Oprócz postaci liniowej można wykorzystać szereg innych funkcji w zależności od
charakterystyki rozwoju badanego zjawiska. Możemy wyróżnić następujące postacie :
a)
funkcja wykładnicza
lub
b)
;
wielomian drugiego stopnia (parabolę)
;
c)
funkcja potęgowa
.
d)
funkcja logarytmiczna
;
e)
funkcja liniowo-odwrotnościowa
f)
funkcja logistyczna
www.wkuwanko.pl
2
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
;
3.
Budowa modelu oraz wybór postaci analitycznej funkcji trendu.
a)
Liczba zmiennych nie może być zbyt duża. Znaczna liczba
zmiennych
utrudnia
lub
uniemożliwia
poznanie
prawidłowości
w
badanych zjawiskach.
b)
c)
Zmienne muszą wykazywać dostateczną zmienność.
Zmienne objaśniające powinny być istotnie skorelowane ze
zmienną objaśnianą i słabo skorelowane między sobą.
d)
e)
Zmienne objaśniające muszą spełniać warunek koincydencji.
Model trendu powinien być dobrze dopasowany do danych
empirycznych. Opisują to następujące miary:
Współczynnik determinacji
:
,
gdzie:
wartość zmiennej y w okresie t,
liczba obserwacji,
wartość zmiennej y w okresie t,
teoretyczna
średnia wartość zmiennej y.
Skorygowany (dopasowany) współczynnik determinacji
,
Odchylenie standardowe reszt modelu (błąd standardowy)
www.wkuwanko.pl
:
3
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
.
Współczynnik zmienności losowej
:
.
f)
Brak autokorelacji składnika losowego, normalność rozkładu
składnika losowego, stałość wariancji składnika losowego.
g)
Wybór stopnia wielomianu trendu
Wymaga to porównania wariancji resztowej z dwóch różnych wielomianowych modeli trendu
za pomocą testu F przy hipotezach:
Statystyka testowa:
Przykład 1
Wielkości sprzedaży pewnego wyrobu w szt. w poszczególnych półroczach lat 1998-2003
były następujące:
105, 115, 118, 129, 128, 130, 139, 141, 146, 156, 160, 164.
Oszacowana funkcja trendu za pomocą Metody Najmniejszych Kwadratów (MNK) jest
następująca:
.
- współczynnik determinacji,
- odchylenie standardowe
reszt.
DW=2,069
,
www.wkuwanko.pl
4
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
Polecenie: Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe sprzedaży tego
produktu na kolejne trzy półrocza (okres 13, 14 i 15). Prognoza będzie
dopuszczalna, gdy spodziewany (ex ante) błąd prognozy będzie nie
większy niż 3%. Wiarygodność prognozy przedziałowej ma wynosić 95%.
Prognozę punktową, tzn. przyszłą wartość prognozowanej zmiennej,
uzyskuje się poprzez ekstrapolację funkcji trendu, czyli przez
podstawienie do oszacowanej funkcji trenu w miejsce zmiennej czasowej
numeru okresu, na który wyznacza się prognozę, czyli:
.
www.wkuwanko.pl
5
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
Wielkości średniego błędu prognozy ex ante dla funkcji trendu wyznaczamy ze wzoru:
,
.
Wielkość względnego błędu prognozy ex ante wyznaczamy ze wzoru:
www.wkuwanko.pl
6
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
,
Wartość prognozy przedziałowej otrzymujemy ze wzoru:
,
gdzie:
- wartość statystyki t-Studenta.
W budowie prognozy założyliśmy niezmienność charakteru zmian prognozowanej zmiennej.
Jednak na rynku pojawia się konkurent, który naruszył dotychczasowy charakter
rzeczywistych wielkości sprzedaży produktu, która w prognozowanych okresach wynosiła
odpowiednio: 142, 145, 151.
Błędy predykcji ex post:
Względny błąd prognozy (
):
,
gdzie:
- wartość rzeczywista zmiennej prognozowanej y w okresie prognozy.
Średni względny błąd prognoz (Ψ)
www.wkuwanko.pl
7
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
’
Średni kwadratowy błąd prognoz (
):
’
www.wkuwanko.pl
8