Program kursów do studiów III stopnia

"MATEMATYKA NAJPEWNIEJSZYM KAPITAŁEM ABSOLWENTA"
projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Program kursów przygotowawczych do studiów III stopnia
Topologia
kurs 30 godzinny, wykład, dr hab. Grzegorz Andrzejczak
1. Przegląd podstawowych pojęć topologii ogólnej: różne sposoby wprowadzania
2.
3.
4.
5.
topologii, operacje na przestrzeniach: iloczyn kartezjański, suma rozłączna, iloraz,
odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy, przestrzenie zwarte, przestrzenie spójne,
przestrzenie lokalnie zwarte i ich uzwarcenie jednopunktowe, przestrzenie parazwarte –
rozkłady jedności, tw. Tietzego-Urysohna.
Homotopie, grupa podstawowa, nakrycia, grupa podstawowa okręgu, tw. o podnoszeniu
homotopii.
Wielościany, kompleksy symplicjalne, podział barycentryczny, tw. o aproksymacji
symplicjalnej, lemat Spernera.
Grupy homologii symplicjalnych: określenie, liczby Bettiego i współczynniki torsji,
wzór Eulera-Poincare; topologiczna niezmienniczość tych grup, triangulacja rozmaitości
i ich charakterystyka Eulera-Poincare.
Zastosowania: stopień Brouwera, tw. Brouwera o punkcie stałym, nieistnienie retrakcji
kuli na sferę, tw. Jordana o rozcinaniu płaszczyzny, tw. o ,,zaczesaniu” sfery, tw.
Borsuka-Ulama.
Literatura:
J. Hocking, G. Young, Topology, Addison-Wesley Publ. Comp, London 1961,
M.J. Greenberg, Wykłady z topologii algebraicznej, PWN, Warszawa 1980,
J. Dugundji, A. Granas, Fixed point theory, Springer-Verlag, New York 2003,
A. Dold, Lectures on algebraic topology. Springer-Verlag, Berlin 1972.
Geometria różniczkowa
kurs 30 godzinny, wykład, prof. dr hab. Jan Kubarski
1. Geometria krzywych w R3 : trójścian Freneta, krzywizna i torsja. Globalne własności
krzywych płaskich.
2. Powierzchnie w R3 , pierwsza i druga forma podstawowa, krzywizna normalna, Gaussa i
średnia. Tw. Gaussa-Bonneta.
3. Abstrakcyjne pojęcie rozmaitości: atlasy, przestrzenie styczne, odwzorowanie styczne,
wiązka styczna i kostyczna. Wiązki wektorowe. Pola tensorowe. Pochodna kowariantna
i jej tensor krzywizny.
4. Rozmaitości riemannowskie: tensor metryczny, przeniesienie równoległe Levi- Civity,
geodezyjne.
5. Formy różniczkowe: cofnięcie formy, całkowanie form, orientacja rozmaitości, rozmaitości
z brzegiem, tw. Stokesa.
6. Grupy Liego: definicja, algebra Liego grupy Liego, odwzorowanie wykładnicze.
7. Wiązki główne ze strukturalną grupą Liego. Podstawowe struktury geometryczne na
rozmaitościach.
Literatura:
J. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wyd. UJ, 2003,
J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, Warszawa 2002,
Instytut Matematyki
ul. Wólczańska 215
90-924 Łódź
tel. 533-456-799
"MATEMATYKA NAJPEWNIEJSZYM KAPITAŁEM ABSOLWENTA"
projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1987,
M. Skwarczyński, Geometria rozmaitości Riemanna, WNT, Warszawa 1993,
W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, Warszawa 1986.
Równania różniczkowe cząstkowe
kurs 30 godzinny, wykład, prof. dr hab. Bogdan Przeradzki
1. Przestrzenie Sobolewa: słaba pochodna, definicja przestrzeni Wk,p(U), splot, aproksymacja
funkcjami gładkimi, ślad funkcji z przestrzeni W1,p(U) na brzegu zbioru U, twierdzenia o
włożeniu, nierówności Sobolewa i Poincare, tw. Rellicha.
2. Transformacja Fouriera: definicja w przestrzeni L1 , związki z różniczkowaniem, splotem
i translacją, definicja w przestrzeni L2 , tw. Plancherela, transformacja odwrotna.
Zastosowania do rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania dyfuzji, falowego i
Schrödingera.
3. Równania eliptyczne: tw. Laxa-Milgrama, rozwiązanie słabe zagadnienia Dirichleta,
regularność rozwiązania słabego wewnątrz i na brzegu, wartości własne, mocna zasada
maksimum, nierówność Harnacka.
4. Równania paraboliczne: metoda Galerkina rozwiązywania zagadnienia brzegowopoczątkowego, regularność rozwiązania i zasada maksimum. Analogiczne metody dla
równań hiperbolicznych.
5. Wprowadzenie do teorii półgrup: generator półgrupy, tw. Hille-Yosidy.
6. Elementy teorii dystrybucji: definicja i przykłady, różniczkowanie i nośnik, dystrybucje
o nośniku zwartym, splot.
Literatura:
L.C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2005,
P. Biler, G. Karch, T. Nadzieja, D. Wrzosek , Warsztaty z równań różniczkowych
cząstkowych, Toruń 2002,
H. Marcinkowska, Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe, PWN, 1993.
Analiza zespolona i funkcjonalna
kurs 30 godzinny, wykład, dr hab. Tadeusz Poreda
1. Funkcje holomorficzne, warunki Cauchy-Riemanna, tw. Cauchy'ego, wzór całkowy, szeregi
Taylora w dziedzinie zespolonej, tw. o jednoznaczności, tw. Weierstrassa o granicy.
2. Punkty osobliwe: ich klasyfikacja, szeregi Laurenta, tw. o residuach.
3. Geometryczna teria funkcji zespolonych: zasada argumentu, tw. Rouche, odwzorowania
konforemne, tw. Riemanna.
4. Rozkłady funkcji całkowitych i meromorficznych – tw. Mittag-Leflera i Weierstrassa.
5. Podstawowe twierdzenia o operatorach ograniczonych w przestrzeniach Banacha:
tw. o operatorze otwartym i odwrotnym, tw. o domkniętym wykresie, tw. Hahna-Banacha,
tw. Banacha-Steinhausa.
6. Podstawy teorii przestrzeni Hilberta: rozkład ortogonalny, szeregi Fouriera, nierówność
Bessela i równość Parsevala.
7. Operatory zwarte i teoria Fredholma, sprzężenie, widmo, wartości własne, rozkład
spektralny operatora samosprzężonego zwartego.
8. Rozkład spektralny dowolnego operatora samosprzężonego (ograniczonego): rachunek
operatorowy, postać iloczynowa twierdzenia spektralnego, uwagi o operatorach
nieograniczonych.
Instytut Matematyki
ul. Wólczańska 215
90-924 Łódź
tel. 533-456-799
"MATEMATYKA NAJPEWNIEJSZYM KAPITAŁEM ABSOLWENTA"
projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Literatura:
B.W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974,
Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Functional analysis, an introduction, AMS, Providence
2004,
V. Hutson, J.S. Pym, Applications of functional analysis and operator theory, Elsevier 2005,
J. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, New York 1990.
Instytut Matematyki
ul. Wólczańska 215
90-924 Łódź
tel. 533-456-799