Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 5

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
5. Funkcje zmiennych losowych - zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zad. 5.1 Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką
xi
pi
-2
0
2
1
4
1
2
1
4
Wyznacz rozkłady zmiennych
(a) Y = X 2 ,
(b) Y = sin(2πX).
Zad. 5.2 Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem 31 . Wyznacz rozkłady zmiennych
(a) Y = cos(πX),
(b) Y = cos( π2 X),
(c) Y = cos2 ( π2 X).
Zad. 5.3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym G(p). Znaleźć rozkład
zmiennej losowej Y = max(2 + (−1)X , 2).
Zad. 5.4 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Jaki rozkład ma zmienna
losowa Y = 3X?
Zad. 5.5 Zmienna losowa X ma rozkład potęgowy o gęstości f (x) = αxα−1 1I(0,1] (x), α > 0.
Znaleźć rozkład zmiennej losowej



−1,
Y = 0,


1,
X < 12 ,
X = 12 ,
X > 12 .
Zad. 5.6 Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej polem kwadratu, którego
długość boku jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, a).
Zad. 5.7 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X n , gdzie n ∈ N.
Zad. 5.8 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(− π2 , π2 ). Pokazać, że zmienna losowa Y = tg(X) ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1).
Zad. 5.9 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(0, π). Jaki rozkład ma
zmienna losowa Y = cos X?
Zad. 5.10 Zmienna losowa X ma rozkład beta o gęstości
f (x) =

12x(1 − x)2 ,
0,
0 < x < 1,
w p.p.
Wyznacz gęstość zmiennej losowej Y , jeśli: (a) Y = arcsin X,
(b) Y = eX .
Zad. 5.11 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E(1). Znaleźć rozkład zmiennej losowej
(a) Y = min(X, 1),
(b) Y = max(X, 1).
Zad. 5.12 Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a fX jej gęstością. Wyznaczyć
dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych:
1. aX + b, jeśli a 6= 0,
2. |X|,
√
3. X, jeśli P (X ­ 0) = 1,