Przykład 2.2.
Transkrypt
Przykład 2.2.
Przykład 2.2 Belka wieloprzęsłowa II. Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej, której sztywność zmienia się odcinkowo, wyznaczyć zmianę kąta ugięcia (kąta obrotu przekroju poprzecznego) w przegubie C i ugięcie w punkcie F. Rys. 1. Schemat statyczny belki I. Wyznaczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C. Zmianę kąta ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru 5 li l M M 1 ds 1 5 i M M1 ∆θ C = ∑ ∫ zi zi i = ∑ ∫ zi zi dx Ei J zi E i =1 0 J zi i =1 0 (1) gdzie: ∆θ C = θ Cp − θ Cl - zmiana kąta ugięcia w przegubie C, M zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego, M 1zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od momentów jednostkowych, odpowiadających poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C, li - długość i-tego przedziału belki o stałym module E. 1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia zewnętrznego. Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór ∑M ∑M ∑P ∑M ix FG F = 0 → RG ⋅ 2l − q ⋅ 2l ⋅ l = 0 → RG = ql 7 11 = 0 → R D ⋅ 2l + RG ⋅ 5l − q ⋅ 3l ⋅ l = 0 → R D = ql 2 4 = 0 → HA = 0 CG C 13 7 l + RG ⋅ 8l = 0 → RB = ql 2 8 5 ∑ Piy = 0 → V A − RB + P − RD + 3q ⋅ l − RG = 0 → V A = 8 ql A = 0 → − M + RB ⋅ 2l − P ⋅ 3l + RD ⋅ 5l − 3q ⋅ l ⋅ Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego. 1 Rys. 3. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego. 2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentów jednostkowych, odpowiadających poszukiwanej zmianie kąta ugięcia, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C. Rys. 4. Schemat statyczny Wyznaczamy reakcje podpór ∑M ∑M ∑P ∑M 1 ix 1 FG F = 0 → RG1 ⋅ l = 0 → RG1 = 0 1CG C = 0 → − RD1 ⋅ 2l + RG1 ⋅ 5l + 1 = 0 → RD1 = 1 2l = 0 → H 1A = 0 1 A = 0 → R B1 ⋅ 2l − 1 + 1 − RD1 ⋅ 5l + RG1 ⋅ l = 0 → RB1 = ∑ Piy1 = 0 1 → V A1 − R1B + R1D − RG = 0 → V A1 = 5 4l 3 4l Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od obciążenia jednostkowego. Rys. 5. Wykres momentów gnących od momentów jednostkowych, odpowiadających poszukiwanej zmianie kąta, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C. 2 3. Obliczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C. Całkę w przedziale 1 obliczymy mnożąc pole figury wykresu M 1g w przedziale 1 przez rzędne w wykresach M g odpowiadające środkowi ciężkości figury wykresu M 1g w tym przedziale. Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz rysunek 6). 1 3 3 1 1 5 5 A1 = ⋅ ⋅ 2l = l η1 = ql 2 η 2 = ⋅ ql 2 = ql 2 2 2 2 4 3 4 12 Rys. 6. Wykresy momentów gnących w przedziale 1 Podobnie w przedziale 2 i 3. Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i pamiętając o różnych sztywnościach belki w poszczególnych przedziałach otrzymujemy ∆θ C = 1 1 1 3 1 11 ql 3 1 2 1 5 2 1 1 2 2 1 1 1 3 2 ⋅ ⋅ 2l ⋅ ql − ⋅ ql + ⋅ ql ⋅ l ⋅ 1 + ⋅ + ⋅ ⋅ ql ⋅ 2l ⋅ ⋅ 1 = E 2J 2 2 3 4 3 24 EJ 4 2 4 3 2 J 2 2 Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zmiana kąta ugięcia w przegubie C jest zgodna z założoną (Rys. 4). II. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu F. Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru 5 li vF = ∑ ∫ i =1 0 gdzie: l M zi M 1zi dsi 1 5 i M zi M 1zi dx = ∑∫ Ei J zi E i =1 0 J zi (3) vF - pionowe przemieszczenie punktu F, M zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego, M 1zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonej w punkcie F, 3 li - długość i-tego przedziału belki o stałym module E. 1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonego w punkcie F. Rys. 7. Schemat statyczny Wyznaczamy reakcje podpór ∑M ∑M ∑P ∑M 1 ix ∑P 1 iy 1 FG F = 0 → RG1 ⋅ l = 0 → RG1 = 0 1CG C = 0 → RD1 ⋅ 2l + RG1 ⋅ 5l − 1 ⋅ 3l = 0 → RD1 = 3 2 = 0 → H 1A = 0 1 A = 0 → − 1 ⋅ 6l − RB1 ⋅ 2l + RD1 ⋅ 5l + RG1 ⋅ 8l = 0 → RB1 = = 0 → − V A1 + RB1 + 1 − RD1 − RG1 = 0 → V A1 = 3 4 1 4 Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od obciążenia jednostkowego. Rys. 8. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie F. 2. Obliczenie przemieszczenia pionowego vF punktu F. Wartości całek w przedziale 4 (z uwagi na nieskończoną sztywność) i 5 (zerowe wykresy momentów) są równe zeru. Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy vF = 1 1 1 l 2 1 2 1 1 2 3 2 49ql 4 1 2 1 5 2 1 l ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ql = 2 l ql ql l ql l 2 l J 2 E 2 J 2 2 4 3 4 3 4 3 2 2 2 48 EJ Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 7). 4