klasa II (rozszerzenie) - Grudziądzki Konkurs Matematyczny

1
Grudziądzki Konkurs Matematyczny
2009
Klasy drugie – poziom rozszerzony
2_R.1 Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa
str. 2
2_R.2 Ciągi
str. 3
2_R.3 Wielomiany i funkcje wymierne
str. 5
2_R.4 Geometria analityczna
str. 6
2_R.5 Geometria płaszczyzny
str. 9
2
2_R.1 Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa
Zad.1. W wyścigu Tour de France grupa kolarzy ma do mety jeszcze 120 km i jedzie ze średnią prędkością 40 km/h .
Przedstaw odległość tej grupy od celu jako funkcję czasu. Narysuj wykres tej funkcji.
Zad.2. Wyznacz wzór funkcji liniowej f wiedząc ,że f (1) = 6 i f ( x) > 0 ⇔ x ∈ ( − ∞ ,3)
Zad.3. Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji liniowych f oraz g są równoległe:
1
1
g ( x) =
x+ 5
x + m oraz
a) f ( x) =
2
m
+1
m− 3
1
x + 3 oraz
g ( x) = 2 x + 5
b) f ( x) =
m− 2
Zad.4. Wyznacz funkcję liniową dla ,której spełniony jest warunek f (2 x − 1) = 3x + 2 dla każdej liczby rzeczywistej.
Zad.5. Wykaż, że funkcja y = ( 3 − π ) x + 1 jest rosnąca w R.
Zad.6.Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji f i g są prostopadłe
1
f ( x) =
x+ 3
g ( x ) = ( m − 2) x − 1
oraz
m− 2
Zad.7 Znajdź wszystkie funkcje f : R → R spełniające równanie 2 f ( x) + 3 f (1 − x ) = 4 x − 1
Zad.8 Sporządź wykres funkcji f : R → R określonej wzorem :
a) f ( x) = max(2 x − 1, x + 1)
b)
f ( x) = min(3 x − 1, x + 1)
 − x − 5, dlax ∈ ( − ∞ ,− 5 >
określonej wzorem f ( x) = 
 − x + 3 + 2dlax ∈ (− 5,2)
Zad.10 Dla jakich wartości b prosta o równaniu y = - x + b ma dokładnie jeden punkt wspólny z wielokątem wyznaczonym
przez układ nierówności − 1 ≤ x ≤ 3i 0 ≤ y ≤ 2 .
Zad.9 Sporządź wykres funkcji
f :R→ R
Zad.11 Wykresy funkcji f ( x ) = 3 x + 2 a i g ( x) = 1,5 x + 0, (6)a − 1 przecinają się na osi OX w punkcie P oraz przecinają
oś OY odpowiednio w punktach Q i R. Wyznacz a oraz punkty P,Q,R i pole trójkąta PQR.
x+ y− 2≤ 0

Zad.12 Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań układu:  2 y + 5 x ≥ 10
 5 x − 2 y − 10 ≤ 0

Zad.13 Napisz układ nierówności, którego rozwiązaniem są punkty trójkąta A(-1,0) , B (3,-2) C( 3,4)
 (a − 3) x − 4 y = m
Zad.14 Rozwiąż układ równań 
i przeprowadź dyskusję rozwiązań ze względu na parametry a oraz m.
 − 9 x + (a + 2) y = 9
x− y = k− 1
spełnia warunek
 2x − y = − 3 − k
x+ y = k
Zad.16 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań 
spełnia warunek
 3 x − 2 y = 2k − 1
Zad.15 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań 
x + y = 2+ k .
x ≤ 0,5 i y ≤ 0,5 .
 x + y = 2k
Zad.17 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań 
jest parą liczb dodatnich.
 x − 2y = 3 − k
 x + y = m2 + 1
Zad.18 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań 
spełnia warunek x ≥ 2 i y ≥ − 1 .
 2x + y = 3
Zad.19 Zilustruj zbiór punktów płaszczyzny ,których współrzędne spełniają równanie(nierówność)
a) x + y = 2
b) x − y = 2
c) y = x 2 − 4 x + 4 + x
Zad.20 Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają układ nierówności:
a)
 y − x ≤ 1

 y > 1
b)
 x + y ≤ 3

 y ≤ 2
c)
 y − x ≤ 2

 x + y + x − y ≤ 6
3
2_R.2 Ciągi
Zad. 1. Liczby a, b, c, d, różne od zera, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
a) Wyznaczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest dwa razy większa od sumy pierwszego i
trzeciego wyrazu.
b) Obliczyć a, b, c, d, jeżeli wiadomo, że suma trzech pierwszych wyrazów równa się 26 oraz, że liczby a + 1, b + 6, c + 3
tworzą ciąg arytmetyczny.
Zad. 2. Suma n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (an) określona jest wzorem Sn=2n2-14n (n∈N+).
a) Obliczyć trzydziesty pierwszy wyraz ciągu (an).
b) Na podstawie definicji wykazać, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.
c) Wyznaczyć trzy kolejne wyrazy tego ciągu, spełniające warunek: kwadrat środkowego wyrazu jest o 48 mniejszy od różnicy
kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.
Zad. 3. Ciąg liczbowy określony jest wzorem ogólnym an=81/3n i n∈N+.
a) Na podstawie definicji wykazać, że (an) jest ciągiem geometrycznym.
b) Obliczyć sumę wszystkich wyrazów ciągu (an) należących do przedziału <1/729;9).
c) Wiadomo, że liczby an+1, an+1, an+2-5 są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć n.
Zad. 4. Ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem:
an=[(k2-2)*(n2+n-1)]/[(k-1)*(n2+4n+3)] gdzie k∈R jest parametrem.
a) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których granicą tego ciągu jest liczba 4.
b) Przyjmując k=2 obliczyć, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 1,75?
c) Wykazać, że dla k=1 ciąg (bn) określony wzorem bn=an+(n2+3n)/(4n+3) jest rosnący.
Zad. 5. Dany jest ciąg arytmetyczny
gdzie
Wiadomo, że dla każdego
suma
początkowych wyrazów
wyraża się wzorem:
a) Wyznacz wzór na -ty wyraz tego ciągu.
b) Oblicz
c) Wyznacz liczbę
dla której
Zad. 6. Wyraz ogólny ciągu liczbowego an jest określony wzorem an=
, nЄN+.
a) Dla jakich p , ciąg an jest ciągiem geometrycznym?
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których ciąg an jest malejący.
Zad. 7. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny:
a) Pierwszy wyraz danego ciągu, drugi wyraz danego ciągu i liczba 1, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami
ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć x, dla którego znaleziony ciąg arytmetyczny jest rosnący.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości x , dla których dany ciąg geometryczny jest ciągiem malejącym.
Zad. 8. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
których iloraz
. Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla
q danego ciągu spełnia warunek: ∣q∣1 .
Zad. 9. Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny (an), w którym wyrazy a1, a2 , a3 spełniają warunki: a1 + a 2 + a 3 = 12,
a 22 = a 3 + 5 . Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (a n ).
a) Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych występujących w tym ciągu.
b) Dla jakiej wartości n ciąg ( a n , a n+1 + 1, a n+4 + 4) jest ciągiem geometrycznym?
Zad. 10. Ciąg arytmetyczny (an) ma dwadzieścia wyrazów. Suma wyrazów o wskaźnikach parzystych jest równa 250, a suma
wyrazów o wskaźnikach nieparzystych jest równa 220. Wyznacz pierwszy wyraz danego ciągu oraz jego różnicę.
a) Oblicz wartość wyrażenia
2
2
2
2
a 20 − a 6
a10 − a3
. Ile co najmniej wyrazów ciągu (a n) o wskaźnikach podzielnych przez 3 należy
dodać, aby ich suma była większa od 58?
b) Wyznacz liczbę naturalną n, dla której zachodzi zależność: 9S 4 – 8S6 + Sn = 0, gdzie S4 oznacza sumę czterech, S6 sumę
sześciu, a Sn sumę n początkowych wyrazów ciągu (an).
Zad. 11. Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 36. Liczba 11 jest trzecim wyrazem tego ciągu.
Wyrazy pierwszy i czwarty tego ciągu są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego.
a) Oblicz sumę pierwszych czterech wyrazów ciągu geometrycznego.
b) Którymi wyrazami ciągu arytmetycznego są trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego?
4
Zad. 12. Ciąg arytmetyczny (an) składa się ze 100 wyrazów. Suma wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 7300, a suma
wyrazów o numerach parzystych 7500. Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.
a) Które wyrazy ciągu (an) spełniają warunek: an2 < 36 ?
b) Wyznacz n tak, by ciąg ( an, an+1, an+4 ) był ciągiem geometrycznym.
Zad. 13. Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego (a n) jest równy 100, a przy dzieleniu
drugiego wyrazu tego ciągu przez wyraz szósty otrzymujemy 3 i resztę 2. Wyznacz a1 oraz różnicę r tego ciągu.
a) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach podzielnych przez 3.
b) Czy istnieje takie n naturalne, dla którego Sn = -15 ?
Zad. 14. Iloczyn drugiego i trzeciego wyrazu nieskończonego rosnącego ciągu arytmetycznego jest równy 54, a suma
pierwszego i drugiego wyrazu jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu (an).
a) Liczby a2, a1 w podanej kolejności są dwoma pierwszymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego (bn). Sprawdź,
czy istnieje wyraz ciągu (bn) równy
3
.
32
b) Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an) należących do przedziału (77; 777). Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu (an)
spełniające nierówność: an(an+1 - a2) ≤ a6n.
Zad. 16. W ciągu arytmetycznym (an) a1 + a3 = 2,
a1 . a4 = 1. Dla jakich n∈N+ spełniona jest nierówność:
a1 + a2 + ......+ an ≤ 60.
Zad. 17. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), w którym iloczyn drugiego i czwartego wyrazu jest równy
54, a suma pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu jest równa 10,5. Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu (an).
a) Dziesiąty i czwarty wyraz ciągu (an) są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego
(bn). Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu (bn). Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an) spełniających nierówność:
|an – 20b3|<100.
b) Dla jakich wartości n spełniona jest nierówność: an . an+2 ≤ 3 . an+8 ?
Zad. 18. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
wyraża się wzorem
Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
Zad. 19. Ciąg liczbowy
jest określony dla każdej liczby naturalnej
a) Wykaż, że dla każdej wartości
b) Dla
ciąg
dla
wzorem
gdzie
jest arytmetyczny.
oblicz sumę
c) Wyznacz wszystkie wartości
Zad. 20. Wykazać, że jeżeli ciąg
określonym wzorem
Zad. 21. Liczby
dla których ciąg
określony wzorem
jest stały.
jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg
o wyrazie ogólnym
też jest ciągiem arytmetycznym.
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych. Oblicz
Zad. 22. Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól
20 tak utworzonych trójkątów, przyjmując ze bok pierwszego trójkąta ma długość a (a>0).
Zad. 23. Uczeń przygotowujący się do matury z matematyki rozwiązał w ciągu tygodnia tylko trzy zadania. Zaplanował
jednak, że w każdym następnym tygodniu rozwiąże o dwa zadania więcej niż w poprzednim. Po ilu tygodniach suma
rozwiązanych zadań przekroczy tysiąc?
Zad. 24. Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego
początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
a n 
jest równy 4. Oblicz iloczyn piętnastu
Zad. 25. Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca.
Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5. Długość
promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa 20 cm, a jej objętość 3200 ∙ π cm3 .Wszystkie warstwy
wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość. Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku
całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie 0,24 kg mąki do wypieku warstwy środkowej.
Zad. 26. Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w 12 ratach, z których każda następna jest
mniejsza o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.
5
Zad. 27. Inwestor chce uzyskać w banku kredyt, który zamierza spłacić po czterech latach. Taki kredyt w banku A jest
oprocentowany 12% w skali roku, a odsetki są dopisywane do długu co pół roku. Bank B oferuje oprocentowanie roczne 11%
z roczną kapitalizacją odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizję w wysokości 4% kwoty udzielonego kredytu. Oceń,
która oferta jest korzystniejsza dla kredytobiorcy.
Zad. 28. Suma wyrazów ciągu arytmetycznego o nieparzystych indeksach jest równa 44, natomiast suma wyrazów o
indeksach parzystych wynosi 33. Dodatkowo wiadomo, że ciąg ma nieparzystą ilość wyrazów. Podaj ile wyrazów ma ten ciąg
i podaj środkowy wyraz ciągu.
2_R.3 Wielomiany i funkcje wymierne
W ( x ) = x 3 − ( k + m ) x 2 − ( k − m ) x + 3 jest podzielny przez dwumiany x − 1 oraz x − 3 . Rozwiąż
nierówność W ( x ) ≤ 0 .
Zad. 1 Wielomian
Zad. 2 Dla jakich wartości parametrów m oraz n wielomian
w zbiorze
W ( x ) = 2 x 3 + mx 2 + nx + 30 przyjmuje wartości ujemne tylko
5

 − ∞ , −  ∪ ( 2 , 3) ?
2

Zad. 3 Wyznacz wszystkie całkowite wartości a oraz b, dla których liczba 1+
3 jest pierwiastkiem równania
3x + ax + bx + 12 = 0 .
3
2
Zad. 4 Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba
3+
2−1
y = ax + b nazywamy prostą styczną do wykresu funkcji
wtedy i tylko wtedy, gdy ax + b jest resztą z dzielenia wielomianu f ( x )
Zad. 5 Przyjmujemy następującą definicję : prostą o równaniu
wielomianowej f w punkcie
przez
(x−
x0 ) .
P = ( x0 , f ( x0 ) )
2
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f ( x ) =
ta posiada z wykresem funkcji f dwa punkty wspólne.
Zad. 6 Reszta z dzielenia wielomianu
2 x 3 + 3 x 2 + 3 x − 2 w punkcie P = ( − 1, − 4 ) i uzasadnij, że styczna
x 3 + px 2 − x + q przez ( x + 2 ) 2 wynosi 1 − x . Wyznacz pierwiastki tego
wielomianu.
Zad. 7 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
( )
(x
2
− 1)
2008
+ 2 x 2 + 3 x − 1 przez x 2 − 2 x + 1
( )
Zad. 8 Dany jest wielomian W x = x 3 + 4 x + p , gdzie p jest liczbą pierwszą. Znajdź p wiedząc, że W x ma pierwiastek
całkowity.
Zad. 9 Określ liczbę pierwiastków równania px 3 + 9 p − 3 x 2 + 2 − p x = 0 w zależności od parametru p. Naszkicuj
wykres funkcji, która każdej wartości parametru p przyporządkowuje liczbę różnych pierwiastków tego równania.
Zad. 10 Wyznacz te wartości parametru k, dla których wielomian x 4 + k + 1 x 2 + k 2 − 1 ma dokładnie dwa różne
pierwiastki.
Zad. 11 Udowodnij, że jeśli wielomian 2 x 3 + 2ax 2 + a 2 x + b jest iloczynem wielomianów stopnia pierwszego, to
(
)
(
)
(
)
a = b = 0.
Zad. 12 Udowodnij, że wykres każdej funkcji wielomianowej stopnia 3 posiada środek symetrii.
Zad. 13 Naszkicuj wykres funkcji g ( x ) =
x−1
+
x+ 2
4
x − x2 .
1
1
−
= 2 wyznacz y jako funkcję x i naszkicuj wykres tej funkcji
y− 1 x+ 1
x 5 + x 4 − 4x3 − 2x 2 + 4x
Zad. 15 Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x ) =
.
x3 − x 2 − 2x + 2
a
bx + c
x 2 − 3x − 2
+ 2
Zad. 16 Dobierz stałe a, b, c tak, aby funkcje F ( x ) =
i G( x ) = 3
były równe.
x+ 1 x + x+ 1
x + 2x 2 + 2x + 1
x 2 + ax
Zad. 17 Dla jakich wartości parametru a zbiorem rozwiązań podwójnej nierówności − 1 < 2
< 2 jest zbiór wszystkich
x − x+ 2
liczb rzeczywistych?
Zad. 14 Z równania
Zad. 18 Rozwiąż nierówność
1
1
1
+
+ ... +
≤ 0
( x + 2007 )( x + 2008)
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2 )
6
a

y=
Zad. 19 Wyznacz te wartości parametru a, dla których układ równań 
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Znajdź to
x
 y = x + a
rozwiązanie.
Zad. 20 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x prawdziwa jest nierówność
x2 + 1 − x −
1
1
<
2 x 8x 3
2_R.4 Geometria analityczna
1) Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu: A= ( 4 ; - 1) i C= (− 3 ; 0) . Wyznacz współrzędne pozostałych
wierzchołków.
2) Znając dwa wierzchołki rombu A= (8 ; - 3) i C= (10 ; 11) , znaleźć dwa pozostałe wierzchołki B i D, wiedząc,
że bok rombu równa się 10.
3) Obliczyć pole kwadratu ABCD i trójkąta równobocznego ABC, jeśli
a) A= ( − 3 ;− 5) i C= (− 1 ; 3) ,
b) A= (3 ;− 2) i C= ( − 1 ; −
6) .
4) Oblicz pole rombu mając dane dwa jego przeciwległe wierzchołki A= ( 2 ;− 1) i C= ( − 4 ; −
równą
9) i długość boku
5 10 .
5) Dane są dwa punkty A= (− 5 ;2) i C= ( − 2 ; −
2) . Na osi odciętych znaleźć taki punkt C, aby ∠ACB=90°.
6) Przez punkt A= ( 4 ;6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach współrzędnych odcinki o równej długości.
7) Proste y=3x-9, y=-2x+1, y=-x+3 są bokami trójkąta. Znaleźć pole tego trójkąta.
8) Pole trójkąta jest równe 8. Dwa jego wierzchołki są równe A= (1 ;− 2) i B= ( 2 ; 3) . Znaleźć trzeci wierzchołek
wiedząc, że leży on na prostej 2x+y – 2=0
9) Przez punkt A= ( 2 ;1) przeprowadzić prostą tak, by jej punkty wspólne z prostymi 2x+y=0 i x – y – 2=0 były
końcami odcinka, którego środkiem jest punkt A.
10) Dane są równania dwóch środkowych trójkąta 4x+5y=0, x–3y=0 i wierzchołek A= ( 2 ;1) . Znaleźć równania
boków i pozostałe wierzchołki.
11) W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A= ( 2 ;− 4) i równania trzech środkowych 4x+y–6=0, 2x+y–2=0,
x– 2=0. Znaleźć równania boków tego trójkąta.
12) Udowodnić, że odległość między prostymi równoległymi o równaniach Ax+By+C 1=0 i Ax+By+C2=0 jest
równa
|C 1− C 2 |
A2 + B 2
.
13) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A= ( − 1 ;− 3) względem prostej x+2y–2=0.
14) Dla jakich wartości parametru m∈R, proste (m–1)x+my–5=0, mx+(2m–1)y–10=0 przecinają się w punkcie
leżącym na osi Ox?
15) Dany jest wierzchołek kwadratu A= (1 ;− 3) i jedna z jego przekątnych y=2x. Znaleźć równania boków
kwadratu.
16) Przez początek układu współrzędnych poprowadzić proste odległe od punktu A= (3 ;4) o
5.
17) Znaleźć równania dwusiecznych kątów zawartych między prostymi 2x+2y+7=0, 7x+y–4=0.
18) Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach x+y+12=0, 7x+y=0, 7x–y+28=0.
19) Napisać równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty A= ( 2 ;2) , B= ( − 5 ;− 5) , C= (1 ;− 5) .
20) Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej –3x+y–2=0 i przechodzącego przez punkty
A= ( − 3 ;− 1) , B= (1 ;− 3) .
7
21) Wyznaczyć takie wartości parametru m∈ R aby prosta o rówaniu m(x–8y+30)+x+5y–22=0 była sieczną
okręgu x2+y2–2x+2y–14=0 i wyznaczyła cięciwę o długości
2 3.
22) Znaleźć środek okręgu o promieniu r=50 wiedząc, że okrąg ten odcina na osi Ox cięciwę o długości 28 i
przechdzi przez punkt A= (0 ;8) .
23) Dany jest okrąg (x–1)2+y2=4. Przez punkt A= ( 2 ;−
punkcie A.
1
2
) poprowadzić prostą wyznaczającą cięciwę o środku w
24) Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań równania: (4x+3y–4)(x2+y2–6x–8y)=0. Naszkicuj wykres
funkcji y=f(m) przedstawiający ilość rozwiązań układu
parametru m.
 (4 x + 3 y − 4)( x + y − 6 x − 8 x) = 0
w zależności od

y= m

25) Dane jest równanie okręgu x2+y2=25. Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu tak, aby odcinek tej
stycznej, zawarty między punktem styczności a punktem przecięcia z dodatnią częścią osi Ox, miał długość
d=
20
.
3
26) Dane są parabole opisane równaniami: y=x2+(m+2)x+m, y=(–m–2)x2+mx+m+p, gdzie m,p∈R są
parametrami. Wyznacz m i p dla których parabole te przecinają oś Ox w tych samych punktach. Dla
otrzymanych wartości parametrów oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są wierzchołki parabol.
27) Obliczyć pole i obwód figury ograniczonej linią o równaniu y=|x|+|x+1|, x∈R, osią Ox i prostymi o
równaniach x=–2, x=2.
28) Dla jakich wartości parametru p punkt przecięcia się prostych o równaniach 2x–3py–5=0 i 6x+2y–5=0 należy
do kwadratu o wierzchołkach A= (0 ;0) , B= ( 2 ;0) , C= ( 2 ;2) , D= (0 ;2) .
29) Wyznaczyć równanie które spełniają środki wszystkich cięciw okręgu, które przechodzą przez ustalony
punkt tego okręgu.
30) Znaleźć równanie zbioru środków wszystkich cięciw paraboli y=x2 zawartych w prostych y=mx+1, gdzie
m∈ (-∞;+∞).
31) Przez punkt przecięcia prostych2x–5y–1=0 i x+4y–7=0 przeprowadzić prostą dzielącą odcinek o końcach
A= ( 4 ;− 3) , B= (− 1 ;2) w stosunku
k=
2
3
.
32) Dane są punkty A= ( − 1 ;− 3) , B= (1 ;− 1) . Wyznacz największą wartość pola trójkąta ABC, jeżeli punkt C leży
na okręgu o równaniu x2+y2=1.
33) Dany jest okrąg x2+y2=20 i prosta 2x+y–20=0. Znaleźć równanie okręgu o najmniejszym promieniu,
stycznego zewnętrznie do danego okręgu i stycznego do danej prostej.
34) W trójkącie ABC dane są wierzchołki A= (− 4 ;2) , B= (5 ;− 1) oraz punkt M= (3 ;3) przecięcia wysokości
tego trójkąta. Obliczyć pole trójkąta ABC.
35) Znaleźć równanie okręgu przecinjącego pod katem prostym trzy okręgi: x2+y2+x+2y=0, x2+y2–2x+2y–9=0,
x2+y2+3x+y–1=0. (Kątem między dwoma okręgami nazywamy kąt między stycznymi w punkcie przecięcia.)
36) Wykazać, że okręgi x2+y2–2mx–2ny–m2+n2=0, x2+y2–2nx+2my+m2–n2=0 przecinają się pod kątem prostym.
37) Przez punkt
A = ( 2 ;3) poprowadzić okrąg o promieniu r=3 i przecinający okrąg x2+y2=1 pod kątem prostym.
38) Dany jest punkt o współrzędnych A =
(1 ;2) .
a) Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkt A i stycznego do osi Oy w punkcei (0 ;1) .
b) Wyznaczyć punkty B i C należące do znalezionego okręgu tak, by trójkąt ABC był równoboczny.
39) Punkty A = (0 ;4) D = (3 ;5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego podstawy są
prostopadłe do prostej o równaniu y=x–2. Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków wiedząc, że
wierzchołek C należy do danej prostej.
40) Na paraboli x2=y znaleźć punkt, którego odległość od punktu
A = (1 ;1) jest najmniejsza.
8
Lm = { ( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x + y = m} . W prostokątnym
A ∩ L6 ,
płaszczyźnie
zaznaczyć
zbiór
gdzie
41) Dla każdej liczby rzeczywistej m niech
układzie
współrzędnych
na
1
5


A =  ( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ y ≥ − x + 2 ∧ y ≥ − x + 6 . Dla jakich m zbiór A ∩ Lm
3
3


jest niepusty?
42) Dany jest okrąg o środku w punkcie A = (0 ;0) i promieniu r oraz prosta y=m gdzie |m|>r. Wyznacz
równanie które spełniają środki okręgów stycznych do danej prostej oraz stycznych do danego okręgu.
43) Dla jakich wartości parametru m parabola y= mx2+4 ma z okręgiem
wspólny.
x2+y2=16 dokładnie jeden punkt
44) Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A = ( − 2 ;− 3) i tworzącej z ujemnymi półosiami
prostokątnego układu współrzędnych, trójkąt o najmniejszym polu.
45) Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt
2x +y=20.
A = (1 ;2) i stycznego do prostych 2x+y=0 i
A = {( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x 2 − y 2 ≥ 0}.
Wyznacz współrzędne punktu zbioru A. , który jest położony najbliżej punktu K = (1 ;2) .
46) W prostokątnym układzie współrzędnych dany jest zbiór
47) Dany jest
punkt
K = (1 ;−
1
)
2
oraz
zbiory
A = {( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y = x + m ∧ m ∈ − 2;2 },

1  Zbadaj, czy K należy do zbioru
B =  ( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y = nx ∧ n ∈ − 3;−
A∩ B .
.
2


Przedstaw ilustrację graficzną zbioru A ∩ B .
48) Dana jest parabola y2=8x i odcinek o końcach A = ( 2 ;4) , B = ( 2 ;− 4) . Rozważmy te wszystkie prostokąty,
których dwa wierzchołki należą do danego odcinka, zaś dwa pozostałe należą do danej paraboli. Wyznacz
współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największe pole.
49) Podaj, na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych, ilustację zbioru
A = { ( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ | x | + x = y + | y |} , B = { ( x ; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ | x | + | y |≤ 1}.
A ∩ B , jeśli
50) Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y= –x2+6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem, a
bok AB jest równoległy do osi Ox. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
9
2_R.5 Geometria płaszczyzny
Zadanie 1. W trójkącie ABC rzuty prostokątne boków AC i BC na bok AB wynoszą odpowiednio
11 cm i 24 cm . Ponadto  BC = 45 cm . Na jakie części dzieli bok BC symetralna boku AB ?
Zadanie 2. W trójkącie ABC symetralna boku AB podzieliła bok BC na odcinki długości 4 cm i 2 cm .
Wiedząc, że kąt ABC ma miarę 45°, oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Zadanie 3. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r = 3 cm . Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że punkt
styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 3 cm i 4 cm .
Zadanie 4. Dwusieczna kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego odcina trójkąt do niego podobny.
Oblicz miary kątów danego trójkąta.
Zadanie 5. Wysokość trójkąta prostokątnego, opuszczona z wierzchołka kąta prostego, dzieli
przeciwległy bok na odcinki o długościach 12cm i 3 cm . Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie 6. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w
punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta.
Zadanie 7. W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą a i b . Oblicz długości
odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego.
Zadanie 8. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku
3 : 5. W jakim stosunku ( biorąc odcinki w tym samym porządku ) dzieli przeciwprostokątną
wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ?
Zadanie 9. W trójkącie ABC bok AB ma długość 6 , bok AC ma długość 3 , a kąt przy wierzchołku A
ma miarę 150° . Punkt D jest punktem wspólnym boku BC i dwusiecznej kąta BAC. Oblicz długość
odcinka AD .
Zadanie 10. Dany jest trójkąt o bokach długości: 4 cm., 6cm , 8cm . Dwusieczna najwięk-szego kąta
wewnętrznego tego trójkąta dzieli przeciwległy bok na dwa odcinki. Oblicz ich długości.
Zadanie 11. Wykaż, że jeżeli przekątne czworokąta dzielą się na połowy, to czworokąt ten jest
równoległobokiem.
Zadanie 12. Udowodnij, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest większa od połowy
obwodu i mniejsza od obwodu tego czworokąta.
Zadanie 13. W kwadracie o boku długości a odcięto cztery przystające trójkąty prostokąt-ne, otrzymując
w ten sposób ośmiokąt foremny. Oblicz długość boku tego ośmiokąta.
Zadanie 14. Odcinek poprowadzony z jednego z wierzchołków prostokąta prostopadle do przekątnej
dzieli tę przekątną na dwa odcinki o długościach 4 i 9. Oblicz pole prostokąta.
Zadanie 15. Na kole opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 150°. Oblicz
stosunek pola koła do pola rombu.
Zadanie 16. Romb o boku długości 18 cm podzielono na trzy części o równych polach prostymi
przechodzącymi przez wierzchołek kąta ostrego. Oblicz długości odcinków, na jakie te proste
podzieliły boki rombu.
Zadanie 17. Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego rombu i wierzchołki kątów rozwartych
tego rombu dzieli przekątną rombu na dwa odcinki długości 16 cm i 8 cm . Oblicz pole rombu.
Zadanie 18. W równoległoboku ABCD na przekątnej AC obrano dowolny punkt K. Wykaż, że pola
trójkątów ABK i ADK są równe.
Zadanie 19. W równoległobok o krótszym boku długości 5 cm wpisano dwa jednakowe koła o
promieniu długości 2 cm, każde styczne do trzech boków równole-głoboku i styczne do siebie. Oblicz
obwód i pole równoległoboku.
Zadanie 20. Środek okręgu opisanego na trapezie równoramiennym ABCD należy do podstawy AB .
Uzasadnij, że różnica miar kątów ADC i ACD jest równa 90° .
Zadanie 21. W trapezie o polu 100 cm2 połączono środki kolejnych boków. Oblicz pole powstałego
czworokąta.
Zadanie 22. Podstawy trapezu mają długości 3 i 7 . Oblicz długość odcinka łączącego środki
przekątnych trapezu.
10
Zadanie 23. Oblicz pole trapezu równoramiennego, wiedząc, że jego podstawy mają długości 6 cm i 24
cm , oraz że w ten trapez można wpisać okrąg.
Zadanie 24. Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległości środka okręgu od końców dłuższej
podstawy wynoszą 8 2 cm i 17 cm . Oblicz pole trapezu.
Zadanie 25. Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trapez równoramienny. Punkt styczności
dzieli ramię trapezu w stosunku 1 : 2 . Oblicz pole trapezu i długość promienia okręgu opisanego na
tym trapezie.
Zadanie 26. Przekątne AC i BD trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O.
Wiedząc, że pole trójkąta ABO równe jest 4 , a pole trójkąta CDO - 9 , oblicz pole trapezu ABCD.
Zadanie 27. Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem jest
punkt przecięcia przekątnych tego trapezu, wynoszą P1 i P2 . Oblicz pole trapezu.
Zadanie 28. Wykaż, że jeżeli w trapezie równoramiennym wysokość jest średnią geometryczną
podstaw, to w ten trapez można wpisać okrąg.
Zadanie 29. Odległość środków dwóch kół zewnętrznie stycznych jest równa 8 dm . Suma pół tych kół
wynosi 34π dm2. Oblicz długości średnic tych kół.
Zadanie 30. Dwa koła, o promieniach odpowiednio 32 cm oraz 50 cm , są styczne zewnętrznie. Oblicz
długość odcinka wspólnej stycznej zewnętrznej (pomiędzy punktami styczności).