zadania was 2

PF zima 2010-11 grupa J5 - zadania mechanika seria 2
Opis ruchu w układzie kartezjańskim
1. Z samolotu lecącego z prędkością v0 na stałej wysokości H upuszczono przedmiot, który w czasie lotu doznaje


oporu powietrza proporcjonalnego do jego prędkości v . Przyspieszenie a tego przedmiotu względem Ziemi
  

wyraża się wzorem a= g − kv , gdzie g - przyspieszenie ziemskie, k - stała proporcjonalności. Opisać ruch


przedmiotu, podając zależności od czasu jego wektora położenia r ( t ) i prędkości v ( t ) , względem układu
współrzędnych o początku zaczepionym w punkcie, nad którym samolot znajdował się w momencie upuszczenia
przedmiotu. Znaleźć równanie toru. Jakim ruchem będzie się poruszał przedmiot dla czasów t spełniających
warunek kt >> 1 ?
 v
 
g  xk  gx
g
g 
g

Odp. v v0 e − kt , ( e − kt − 1)  ;
.
r =  0 (1 − e − kt ) , H − 2 (1 − e − kt ) − t  ; y ( x ) =H + 2 ln 1 −  +
k
k
k 
k


k
 v0  kv0
2. Ciało zostało wyrzucone pod kątem α do poziomu z prędkością v0. Opór powietrza jest proporcjonalny do
  
prędkości ciała, a więc przyspieszenie ciała wyraża się wzorem a= g − kv , gdzie k – stała proporcjonalności.


Opisać ruch tego ciała, podając: a) zależność od czasu jego wektora położenia r ( t ) , b) prędkości v ( t ) oraz c)
równanie toru z(x). Jakim ruchem będzie się ono poruszało dla czasów t spełniających warunek kt >> 1 .

g
Odp. v=
( t ) v0 cos α ⋅ e− kt , v0 sin α ⋅ e− kt + ( e− kt − 1) ;
k



 v cos α
g
x
g 
kx 
gt 
 v sin α g 

+ 2 ln 1 −
r (t )  0
1 − e − kt ) ,  0
=
+ 2  (1 − e − kt ) −  ; z ( x ) =  v0 sin α + 
(

k  v0 cos α k
k 
k

 k
 k
 v0 cos α 
3. W motorówce, płynącej z prędkością v0 przerywa pracę silnik i motorówka zaczyna zwalniać, doznając siły
oporu, proporcjonalnej do v 2 . Przyspieszenie motorówki jest więc opisane wzorem a = −bv 2 , gdzie b – stała
proporcjonalności. Znaleźć zależność prędkości motorówki od czasu v ( t ) . Jaką drogę s przebędzie motorówka
do czasu, gdy jej prędkość zmaleje do wartości v1 = v0 10 ?
v0
1
Odp. v ( t ) =
; s = ln10 .
b
1 + v0bt
Opis ruchu w układzie biegunowym
4. Rzeka o szerokości d tworzy zakole o promieniu wewnętrznym D. Prędkość przepływu wody w zakolu
wynosi v0 . Pływak przepływa z brzegu wewnętrznego na zewnętrzny tak, że cały czas utrzymuje kierunek
prostopadły do brzegu zewnętrznego, a jego prędkość względem wody wynosi v p . Znaleźć równanie toru
pływaka we współrzędnych biegunowych r (φ ) , przyjmując środek zakola za początek układu odniesienia.
Jakiego odchylenia ∆l , liczonego wzdłuż brzegu zewnętrznego, dozna pływak? Jaką drogę s względem Ziemi
przebędzie? Znaleźć składowe przyspieszenia pływaka: radialną ar i transwersalną aφ oraz styczną at i
normalną an .
Odp. r (φ ) = De
ar = −
v pφ vw
v 2p + vw2
vw
D+d
;=
; s=d
;
∆l
( D + d ) ln
vp
D
vp
vw v 2p + vw2
v v
vw2
; aφ = p w ; as = 0 ; an =
v pt + D
v pt + D
v pt + D
5. Motorówka zbliża się do małej wysepki po spirali ze stałą prędkością radialną u, jednocześnie okrążając
wysepkę ze stała prędkością kątową ω. W chwili początkowej (t=0) odległość od środka wysepki wynosiła D.
Znaleźć: równanie toru motorówki we współrzędnych biegunowych r (φ ) , składowe przyspieszenia (styczną as i
normalną an ) oraz promień krzywizny toru R w funkcji bieżącej odległości r od środka wyspy.
Odp. r= D − uφ ω ; as = −
ω 2ur
u 2 + ω 2r 2
; as = ω
4u 2 ( u 2 + ω 2 r 2 ) + ω 4 r 2
u 2 + ω 2r 2
; R (r ) =
(u + ω r )
4u ( u + ω r ) + ω r
2 2 32
2
ω
2
2
2 2
4 4
6. Motorówka z poprzedniego zadania znajdując się w odległości d od środka wyspy, zaczyna się oddalać od
wyspy stosując analogiczną strategię jak przy zbliżaniu. Znaleźć równanie toru? Obliczyć składowe
przyspieszenia: styczną i normalną oraz promień krzywizny w funkcji odległości motorówki od środka wyspy.
ω 2ur
.
Odp.: an i R jak w poprzednim zadaniu; r= d + uφ ω ; as =
u 2 + ω 2r 2
7. Z nieruchomej szpulki o promieniu R jednostajnie odwijamy nić, tak że stale pozostaje ona naprężona.
Długość nici =
l vt + l0 . Znaleźć:
a. równania ruchu końca naprężonej nici,
b. odległość końca nici od środka szpulki w funkcji czasu,
c. kształt toru końca nici (zrobić rysunek),
d. długość łuku, jaki zatacza koniec nici w funkcji kąta φ o jaki przesunie się punkt, w którym nitka
odłącza się od szpulki.
Wybrać układ współrzędnych, w którym w chwili t = 0 będzie spełniony warunek y = R .
v
v
v
v
2
Odp.: a) x ( t ) =
( l0 + vt ) cos  t  − R sin  t  ; y ( t ) =
( l0 + vt ) sin  t  + R cos  t  ; b) r ( t )= R 2 + ( l0 + vt ) ;
R 
R 
R 
R 
R
d) s =
(φ ) φ  l0 + φ 
2

8. Znaleźć równanie punktu, poruszającego się po okręgu o promieniu r0 , jeśli kąt pomiędzy wektorem


przyspieszenia a i wektorem wodzącym r jest stały i wynosi α. Przyjąć, że φ ( 0 ) = 0 oraz φ ( 0 ) = ω .
0
Odp.: φ ( t ) cot α ln (ω0t tan α + 1) . W szczególności dla α = 0 otrzymuje się φ = ω0t , czyli ruch jednostajny po
=
okręgu.