Seria 2

PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 2
Opis ruchu w układzie kartezjańskim
1. Z samolotu lecącego z prędkością v0 na stałej wysokości H upuszczono przedmiot, który
w czasie lotu doznaje oporu powietrza proporcjonalnego do jego prędkości . Przyspieszenie
tego przedmiotu względem Ziemi wyraża się wzorem
, gdzie - przyspieszenie
ziemskie, k - stała proporcjonalności. Opisać ruch przedmiotu, podając zależności od czasu
jego wektora położenia
i prędkości
, względem układu współrzędnych o początku
zaczepionym w punkcie, nad którym samolot znajdował się w momencie upuszczenia
przedmiotu. Znaleźć równanie toru. Jakim ruchem będzie się poruszał przedmiot dla czasów t
spełniających warunek kt  1 ?
Odp:
;
;
.
2. Pocisk został wystrzelony z prędkością
pod kątem  do poziomu. Opór powietrza jest
proporcjonalny do prędkości ciała, a więc przyspieszenie pocisku wyraża się wzorem
, gdzie k – stała proporcjonalności. Opisać ruch pocisku, podając: a) zależność od
czasu jego wektora położenia
, b) prędkości
oraz c) równanie toru z(x). Jakim
ruchem będzie się on poruszał dla długich czasów t, spełniających warunek
?
g


Odp . v  t   v0 cos   e kt , v0 sin   e kt   e kt  1  ;
k


 v cos 
gt 
 v sin  g 
r t    0
1  e kt  ,  0
 2  1  e  kt    ;

k 
k
 k
 k
g
x
g 
kx 

z  x    v0 sin   
 2 ln 1 

k  v0 cos  k

 v0 cos  
3. W chwili
w motorówce, płynącej z prędkością
zepsuł się silnik i motorówka
zaczęła zwalniać, doznając siły oporu, proporcjonalnej do . Przyspieszenie motorówki jest
więc opisane wzorem
, gdzie
– stała proporcjonalności. Znaleźć zależność
prędkości motorówki od czasu
. Jaką drogę s przebyła motorówka do czasu, gdy jej
prędkość zmalała do wartości v1  v0 10 ?
v0
1
Odp. v  t  
; s  ln10 .
b
1  v0bt
Opis ruchu w układzie biegunowym
4. Rzeka o szerokości d tworzy zakole o promieniu wewnętrznym D. Prędkość przepływu
wody w zakolu ma stałą wartość v0 . Pływak przepływa z brzegu wewnętrznego na
zewnętrzny tak, że cały czas utrzymuje kierunek prostopadły do brzegu zewnętrznego, a jego
prędkość względem wody wynosi v p . Znaleźć równanie toru pływaka we współrzędnych
biegunowych
, przyjmując środek zakola za początek układu odniesienia. Jakiego
odchylenia l , liczonego wzdłuż brzegu zewnętrznego, dozna pływak? Jaką przebędzie
drogę s względem Ziemi? Znaleźć składowe przyspieszenia pływaka: radialną ar i
transwersalną a oraz styczną at i normalną an .
Odp. r    De
v p vw
; l 
vw
Dd
;
 D  d  ln
vp
D
vw v 2p  vw2
v p vw
vw2
ar  
; a 
; as  0 ; an 
v pt  D
v pt  D
v pt  D
;
PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 2
5. Motorówka zbliża się do małej wysepki po spirali ze stałą prędkością radialną u,
jednocześnie okrążając wysepkę ze stała prędkością kątową . W chwili początkowej (
) odległość od środka wysepki wynosiła D. Znaleźć: równanie toru motorówki we
współrzędnych biegunowych r   , składowe przyspieszenia (styczną as i normalną an ) oraz
promień krzywizny toru R w funkcji bieżącej odległości r od środka wyspy.
Odp.
;
;
;
6. Motorówka z poprzedniego zadania znajdując się w odległości d od środka wyspy,
zaczyna się oddalać od wyspy stosując analogiczną strategię jak przy zbliżaniu. Znaleźć
równanie toru? Obliczyć składowe przyspieszenia: styczną i normalną oraz promień
krzywizny w funkcji odległości motorówki od środka wyspy.
 2ur
Odp.: an i R jak w poprzednim zadaniu; r  d  u  ; as 
.
u 2   2r 2
7. Z nieruchomej szpulki o promieniu R jednostajnie odwijamy nić, tak że stale pozostaje
ona naprężona. Długość nici l  vt  l0 . Znaleźć:
a. równania ruchu końca naprężonej nici,
b. odległość
końca nici od środka szpulki w funkcji czasu,
c. kształt toru końca nici (zrobić rysunek),
d. długość łuku s (w przybliżeniu), jaki zatacza koniec nici w funkcji niewielkiego
kąta o jaki przesunie się punkt, w którym nitka odłącza się od szpulki.
Wybrać układ współrzędnych, w którym w chwili t  0 będzie spełniony warunek y  R .
Odp.: a)
b)
;
;
; d)
8. Znaleźć równanie punktu, poruszającego się po okręgu o promieniu r0 , jeśli kąt pomiędzy
wektorem przyspieszenia a i wektorem wodzącym r jest stały i wynosi . Przyjąć, że
oraz
, gdzie
.
Odp.:
. W szczególności dla
otrzymuje się
, czyli ruch jednostajny po okręgu (w tym przypadku trzeba rozwinąć funkcję logarytm w
szereg i zatrzymać się na 1. wyrazie rozwinięcia:
) .