Analiza matematyczna 2, cze sc dziesia ta Informacja ogólna dla

Analiza matematyczna 2, cześć dziesiata
Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach:
zdecydowana wiekszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sklada sie z zalożenia
i tezy – znajomość jednej z tych cześci nie oznacza, że student zna twierdzenie.
Zwykla prośba: prosze o informacje o zauważonych bledach, poprawie
Nierówność Höldera
Niech µ oznacza dowolna miare na przestrzeni X . Niech p, q > 0 beda liczbami rzeczywistymi, dla
R
których p1 + q1 = 1 , niech f, g beda funkcjami mierzalnymi takimi, że X |f |p dµ < ∞ i jednocześnie
R
q
X |g| dµ < ∞ . Wtedy funkcja f g jest calkowalna i zachodzi nierówność
R
1/p R
1/q
R
|f g|dµ <
|f |p dµ
· X |g|q dµ
.
X
X
Dowód.
Skorzystamy z tego, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a 1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn
zachodzi znana z I roku nierówność Höldera
a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm ≤ (ap1 + ap2 + · · · + apm )
1/p
(bq1 + bq2 + · · · + bqm )
1/q
.
Ponieważ calkowalność funkcji jest równoważna calkowalności jej modulu, wiec możemy przyja ć,
że funkcje f, g sa nieujemne. Niech (fn ) i (gn ) oznaczaja niemalejace ciagi nieujemnych funkcji
Pkn
P ln
prostych zbieżne odpowiednio do f i do g . Niech fn = i=1
αi χAi , gn = j=1
βj χBj , przy czym
zbiory A1 , A2 , . . . , Akn sa parami rozlaczne, również zbiory B1 , B2 , . . . , Bln sa parami rozlaczne.
Pkn p
Pln
Mamy fnp = i=1
αi χAi oraz gnq = j=1
βjq χBj . Oznacza to, że (fnp ) jest niemalejacym ciagiem
funkcji prostych zbieżnym do funkcji f zaś (gnq ) — niemalejacym ciagiem funkcji prostych zbieżnym
do g q . Z twierdzenia Legesgue’a–Levi’ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem
R
R
R
R
R
R
calki wynika, że lim X fn gn dµ = X f g dµ , lim X fnp dµ = X f p dµ i lim X gnq dµ = X g q dµ .
n→∞
n→∞
n→∞
Wystarczy wiec udowodnić nierówność Höldera w przypadku funkcji prostych. Zachodza równości
R
R
P
P
P
fn gn = i,j αi βj χAi ∩Bj , X fn gn dµ = i,j αi βj µ(Ai ∩ Bj ) , X fnp dµ = i αpi µ(Ai ) i wreszcie
R q
P
g dµ = j βjp µ(Bj ) . Niech ai,j = αi µ(Ai ∩ Bj )1/p , bi,j = βj µ(Ai ∩ Bj )1/q . Z tego określenia
X n
R
P
P
P
1/p+1/q
wynika od razu, że
= i,j αi βj µ(Ai ∩ Bj ) = X fn gn dµ ,
i,j ai,j bi,j =
i,j αi βj µ(Ai ∩ Bj )
R
P
P
P p
P
P
p
p
q
q
p
i,j ai,j =
i,j αi µ(Ai ∩ Bj ) =
i αi µ(Ai ) = X fn dµ oraz
i,j bi,j =
i,j βi µ(Ai ∩ Bj ) =
R
P
= i βiq µ(Bj ) = X gnq dµ . Stad wnioskujemy, że
P
1/p P
1/q R
1/p R
1/q
R
P
p
q
f p dµ
· X gnq dµ
f g dµ = i,j ai,j bi,j ≤
·
=
i,j ai,j
i,j bi,j
X n n
X n
– nierówność wynika oczywiście z nierówności Höldera zastosowanej dla m = k n ln skladników.
Dowód zostal zakończony.
Zadanie H1
Wykazać, ze dla dowolnej liczby p > 1 i dowolnych funkcji mierzalnych f, g , dla których zachodza
R
R
nierówności X |f |p dµ, X |g|p dµ < ∞ zachodzi nierówność (Hermanna Minkowskiego)
132
R
p
X |f + g| dµ
1/p
≤
R
p
X |f | dµ
1/p
+
R
p
X |g| dµ
1/p
.
Zadanie H2
Zdefiniujmy Lp (X) jako zbiór zlożony z tych wszystkich funkcji mierzalnych f , dla których zachodzi
R
nierówność X |f |p dµ < ∞ przy czym utożsamiamy funkcje, różnia ce sie jedynie na zbiorze miary 0 .
R
1/p
p
Wykazać, że jeśli kf kp =
|f
|
dµ
, to k kp jest norma na przestrzeni liniowej Lp (µ) .
X
Zadanie H3
Przestrzeń metryczna Lp (µ) jest zupelna — udowodnić to stwierdzenie (można naśladować dowód
zupelności przestrzeni L1 podany w poprzedniej cześci notatek).
Zadanie H4
Wykazać, że przestrzeń metryczna Lp (`k ) jest ośrodkowa i podać przyklad miary µ , dla której
przestrzeń Lp (µ) NIE jest ośrodkowa.
Zadanie H5
Wykazać, że operacja < f, g >−→
2
R
X
f g dµ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni metrycz-
nej L (µ) .
Zauważmy jeszcze, że jeśli X = {1, 2, . . . , m} i µ jest miara zdefiniowana na rodzinie wszystkich
podzbiorów zbioru X tak, że µ({i}) = 1 , f : X −→ IR jest zdefiniowana za pomoca równości
R
Pm
p
f (i) = ai , to X |f |p dµ =
i=1 |ai | . Oznacza to, że nierówność Höldera znana z analizy 1.2
jest szczególnym przypadkiem nierówności Höldera dla funkcji mierzalnych, wystarczy odpowiednio
dobrać miare.
O przestrzeni L2 ([−π, π]) , z miara Lebesgue’a, wspominaliśmy, nie wnikaja c w szczególy, przy
okazji omawiania szeregów Fouriera — funkcje calkowalne w sensie Riemanna na przedziale [−π, π]
byly traktowane jako elementy tej przestrzeni. liniowej.
Zadanko
Podać przyklad funkcji f : [−π, π] −→ [0, 1] , która jest mierzalna i dla której nie istnieje funkcja
g: [−π, π] −→ IR calkowalna w sensie Riemanna taka, że `1 {x ∈ [−π, π]: f (x) 6= g(x)} = 0 .
Zajmiemy sie teraz produktami miar. Chodzi o uogólnienie twierdzenia Fubiniego, które pozwala sprowadzać calkowanie funkcji wielu zmiennych do calkowania funkcji jednej zmiennej. W
różnych sytuacjach rozpatrywanie iloczynu kartezjańskiego dwu przestrzeni, na których sa określone
miary, jest naturalne o czym studenci przekonaja sie miedzy innymi na zajeciach z rachunku prawdopodobieństwa. Miary te jednak nie moga być calkiem dowolne. Bedziemy rozpatrywać tzw. miary
σ –skończone.
Definicja miary σ –skończonej
Miara µ określona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbiorów przestrzeni X nazywana jest
σ –skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja zbiory mierzalne X1 , X2 ,. . . takie, że µ(Xn ) < ∞
S∞
dla n = 1, 2, . . . i X = n=1 Xn .
133
∞
[
Przykladem miary σ –skończonej jest miara Lebesgue’a: `k B(0, n) < ∞ ,
B(0, n) = IRk .
n=1
Przykladem miary µ , która tego warunku nie spelnia jest „miara licza ca” na dowolnej przestrzeni
nieprzeliczalnej, np. na IR , tzn. µ(A) jest równe liczbie elementów zbioru A , w przypadku zbioru
nieskończonego µ(A) = ∞ .
Definicja σ –ciala produktowego
Niech (X, F, µ) i (Y, G, ν) beda przestrzeniami z miara . Niech F × G oznacza najmniejsze σ –cialo
zlożone z podzbiorów produktu X × Y zawieraja ce wszystkie „prostoka ty mierzalne”, tj. zbiory
postaci A × B , gdzie A ∈ F , B ∈ G . σ –cialo F × G nazywane jest σ –cialem produktowym.
Jeśli C ⊆ X ×Y , to zbiór Cx = {y ∈ Y :
(x, y) ∈ C} nazywamy przekrojem pionowym zbioru
C wyznaczonym przez punkt x , a zbiór C y = {x ∈ X :
(x, y) ∈ C} — przekrojem poziomym, te
oznaczenia już byly używane.
Twierdzenie o mierzalności przekrojów
Jeśli C ⊆ X ×Y jest zbiorem mierzalnym, to dla każdego x ∈ X przekrój pionowy C x jest mierzalny
i dla każdego y ∈ Y przekrój poziomy C y jest mierzalny.
Dowód.
Ten dowód już raz byl podany (str. 122) w szczególnym przypadku. Powtarzamy: Dla dowolnych
zbiorów C, C1 , C2 , . . . ⊆ X × Y zachodza wzory
S
S
T
T
n Cn x =
n (Cn )x ,
n Cn x =
n (Cn )x oraz X × Y \ C x = Y \ Cx .
Z tych równości wynika, że rodzina M tych zbiorów C ⊆ X × Y , dla których przekrój pionowy C x
jest mierzalny dla każdego x ∈ X , jest σ –cialem zbiorów. σ –cialo M zawiera oczywiście wszystkie
zbiory postaci A × B ⊆ X × Y , wiec zawiera rodzine F × G . Analogicznie jest dla przekrojów
poziomych. Dowód zostal zakończony.
Twierdzenie o generowaniu σ –ciala produktowego
σ –cialo F × G jest najmniejsza rodzina M spelniajaca nastepujace cztery warunki:
1◦ jeśli A ∈ F i B ∈ G , to A × B ∈ M ,
2◦ jeśli C, D ∈ M i C ∩ D = ∅ , to C ∪ D ∈ M ,
3◦ jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi Cn ∈ M oraz Cn ⊆ Cn+1 , to
4◦ jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi Cn ∈ M oraz Cn ⊇ Cn+1 , to
S
T
n
Cn ∈ M ,
n
Cn ∈ M .
Rodzine spelniajaca warunki 3◦ i 4◦ nazywamy rodzina monotoniczna.
Dowód.
Rodzina F × G jest σ –cialem, wiec dla niej wszystkie cztery warunki sa spelnione.
Zalóżmy teraz, że dla pewnej rodziny M ⊆ 2X×Y spelnione sa warunki 1◦ − 4◦ . Wykażemy, że
wtedy M ⊇ F × G .
Jeśli zbiory A1 × B1 , A2 × B2 ,. . . , An × Bn sa parami rozlaczne przy czym Ai ∈ F , Bi ∈ G ,
Sn
to i=1 Ai × Bi ∈ F × G na mocy warunków 1◦ i 2◦ . Jeśli A1 , A2 ∈ F i B1 , B2 ∈ G , to
134
(A1 × B1 ) \ (A2 × B2 ) = (A1 \ A2 ) × B1 ∪ (A1 ∩ A2 ) × (B1 \ B2 ) , wiec zbiór (A1 × B1 ) \ (A2 × B2 )
jest suma dwóch „prostoka tów mierzalnych”, zatem jest elementem rodziny M . Jednocześnie z tego
zdania wynika, że suma skończenie wielu „prostoka tów mierzalnych” może być przedstawiona jako
suma skończenie wielu parami rozla cznych „prostoka tów mierzalnych”. Sta d wynika, że rodzina K
zlożona ze wszystkich skończonych sum „mierzalnych prostoka tów” jest cialem zbiorów zawartym
w rodzinie M .
Wykażemy teraz, że najmniejsza rodzina monotoniczna N zawieraja ca cialo K jest σ –cialem
zbiorów, co zakończy dowód (bo z definicji N wynika, że N ⊆ F × G ).
Niech N (K) = {C ⊆ X × Y :
C ∪ D, C \ D, D \ C ∈ N dla D ∈ K} . Ponieważ K jest cialem
zbiorów, wiec N (K) ⊇ K .
Jeśli Cn ∈ N (K) i C1 ⊆ C2 ⊆ . . . oraz D ∈ K , to C1 ∪D ⊆ C2 ∪D ⊆ . . . , C1 \D ⊆ C2 \D ⊆ . . . ,
D \ C1 ⊇ D \ C2 ⊇ . . . oraz Cn ∪ D, Cn \ D, D \ Cn ∈ N , wiec na mocy warunku 3◦ mamy
S
S
S
S
( n Cn ) ∪ D = n (Cn ∪ D) ∈ N i ( n Cn ) \ D = n (Cn \ D) ∈ N a na mocy warunku 4◦
S
T
S
mamy D \ ( n Cn ) = (D \ Cn ) ∈ N . Wobec tego n Cn ∈ N (K) , zatem dla N (K) spelniony
jest warunek 3◦ .
Niech Cn ∈ N i niech C1 ⊇ C2 ⊇ . . . oraz D ∈ K . Rozumuja c tak jak poprzednio i korzystaja c
T
T
T
T
z warunku 4◦ stwierdzamy, że ( n Cn )∪D = n (Cn ∪D) ∈ N , ( n Cn )\D = n (Cn \D) ∈ N , zaś
T
S
T
z warunku 3◦ wnioskujemy, że D \ ( n Cn ) = n (D \ Cn ) ∈ N . Stad wynika, że n Cn ∈ N (K) , a
wiec rodzina N (K) spelnia również warunek 4◦ . Wykazaliśmy, że N (K) jest monotoniczna rodzina
zbiorów zawieraja ca rodzinke K , zatem N (K) ⊇ N .
e = {C ⊆ X × Y :
Zdefniujmy N
C ∪ D, C \ D, D \ C ∈ N dla D ∈ N (K} . W dokladnie
e ⊇ K oraz że N
e jest rodzina monotoniczna,
taki sam sposób jak przed chwila stwierdzamy, że N
e ⊇ N . Wynika sta d, że jeśli C, D ∈ N ⊆ N
e , to C ∪ D, C \ D, D \ C ∈ N , a to oznacza,
wiec N
że N jest cialem zbiorów. Jeśli C1 , C2 , . . . ∈ N , to również C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Cn ∈ N dla każdej
liczby naturalnej n . Ponieważ C1 ⊆ C1 ∪ C2 ⊆ C1 ∪ C2 ∪ C3 ⊆ . . . i N jest zamknieta ze wzgledu
S
S
na przeliczalne sumy wstepujacych rodzin zbiorów, wiec n Cn = n (C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Cn ) ∈ N , co
kończy dowód tego, że N jest σ –cialem.
Dzieki tym nudnawym rozważaniom jesteśmy wyposażeni w kryterium pozwalaja ce na stwierdzanie, że jakaś rodzina jest przeliczalnie addytywnym cialem w prostszy nieco sposób. Możemy teraz
nie meczac sie zbytnio posprawdzać nastepne detale zwiazane z określaniem miary produktowej.
Niech f : X × Y −→ IR bedzie funkcja mierzalna. Definiujemy fx (y) = f (x, y) = f y (x) .
Twierdzenie o mierzalności ograniczeń funkcji mierzalnej do przekrojów
Jeśli f : X × Y −→ IR jest funkcja mierzalna, to dla każdego x ∈ X funkcja fx : Y −→ IR jest
mierzalna, dla każdego y ∈ Y funkcja f y : X −→ IR jest mierzalna.
Dowód.
Wynika to od razu z twierdzenia o mierzalności przekrojów i tego że
135
{(r, s):
f (r, s) > a}x = {s:
fx (s) > a} i {(r, s):
f (r, s) > a}y = {r:
f y (r) > a} .
Uwaga: funkcja jednej zmiennej jest mierzalna jako funkcja dwu zmiennych
˜ y) = f (x) , to f˜: X × Y −→ IR jest mierzalna.
Jeśli funkcja f : X −→ IR jest mierzalna i f(x,
Dowód.
{(x, y):
f˜(x, y) > a} = {x:
f (x) > a} × Y .
Twierdzenie o produkcie miar skończonych
Jeśli µ(X) < ∞ , ν(Y ) < ∞ i C ∈ F × G , to funkcje x −→ ν(Cx ) i y −→ µ(C y ) sa mierzalne i
zachodzi równość
R
X
ν(Cx )dµ(x) =
R
Y
µ(C y )dν(y) =: (µ × ν)(C) .
Funkcja (µ × ν): F × G −→ IR jest miara . Jest to jedyna miara na σ –ciele F × G , dla której
(µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) dla dowolnych A ∈ F i B ∈ G .
Dowód.
Niech hC (x) = ν(Cx ) . Jeśli C = A × B , A ∈ F , B ∈ G , to hC (x) = 0 dla x 6= A i hC (x) = ν(B)
dla x ∈ A , zatem hC = ν(B) χA , wiec hC jest w tym przypadku funkcja mierzalna. Jeśli zbiory
C, D ∈ F × G sa rozlaczne, to dla każdego x ∈ X zbiory Cx i Dx sa rozlaczne. Stad wynika, że
hC∪D = hC + hD , jeśli wiec funkcje hC , hD sa mierzalne, to również funkcja hC∪D ma te wlasność.
Niech M oznacza rodzine wszystkich zbiorów C ∈ F × G , dla których funkcja hC jest mierzalna. Wykazaliśmy już, że rodzinie M przysluguja wlasności 1◦ i 2◦ twierdzenia o generowaniu
σ –ciala produktowego. Zalóżmy teraz, że C1 ⊆ C2 ⊆ . . . sa elementami rodziny M . Ponieważ
S
ν jest miara, wiec lim ν (Cn )x = ν(Cx ) , gdzie C = n Cn , czyli hC (x) = lim hCn (x) dla
n→∞
n→∞
każdego x ∈ X . Wobec tego funkcja hC jest mierzalna jako granica cia gu funkcji mierzalnych,
czyli C ∈ M . Zalóżmy dla odmiany, że C1 ⊇ C2 ⊇ . . . sa elementami rodziny M . Ponieważ
T
ν (C1 )x < ∞ , wiec lim ν (Cn )x = ν(Cx ) , gdzie C = n Cn . Wobec tego również w tym przyn→∞
padku mamy hC (x) = lim hCn (x) dla każdego x ∈ X i wobec tego funkcja hC jest mierzalna, tzn.
n→∞
C ∈ M . W ten sposób wykazaliśmy, że dla rodziny M spelnione sa warunki 1◦ − 4◦ twierdzenia
o generowaniu σ –ciala produktowego. Sta d wynika, że M = F × G , a to oznacza, że dla każdego
zbioru C ∈ F × G funkcja hC jest mierzalna.
R
R
Możemy wiec rozpatrywać calke X hC dµ = X ν(Cx )dµ =: (µ × ν)(C) . Z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy po znakiem calki wynika od razu, że µ × ν jest miara (chodzi
o przeliczalna addytywność). Z określenia wynika natychmiast, że (µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) .
Te same rozważania można przeprowadzić w przypadku funkcji przypisuja cej zbiorowi
R
C ∈ F × G liczbe Y µ(C y )dν . Ta funkcja też jest miara i te obie miary pokrywaja sie na „prostokatach mierzalnych”.
Niech m oznacza dowolna miare na F × G , która pokrywa sie z miara µ × ν na „prostoka tach
mierzalnych”. By wykazać, że µ×ν = m sprawdzamy po prostu, że rodzina tych zbiorów C ∈ F ×G ,
dla których zachodzi równość (µ×ν)(C) = m(C) jest jest σ –cialem. Wynika to od razu z twierdzenia
136
o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem calki — sprawdzamy, że rodzina tych
zbiorów jest monotoniczna., czyli że spelnione sa warunki 3◦ i 4◦ twierdzenia o generowaniu σ –ciala
produktowego.
Cel jest już prawie zrealizowany. Trzeba jeszcze wykazać to samo twierdzenie przy nieco slabszych zalożeniach, bo czesto trzeba rozważać miary, które nie sa skończone.
Twierdzenie o produkcie miar σ –skończonych
Jeśli µ i ν sa miarami σ –skończonymi oraz C ∈ F × G , to funkcje x −→ ν(Cx ) i y −→ µ(C y ) sa
mierzalne i zachodzi równość
R
R
y
X ν(Cx )dµ(x) = Y µ(C )dν(y) =: (µ × ν)(C) .
Funkcja (µ × ν): F × G −→ IR jest miara . Jest to jedyna miara na σ –ciele F × G , dla której
(µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) dla dowolnych A ∈ F i B ∈ G .
Dowód.
Niech X1 , X2 , . . . ∈ F , X =
S
n
Xn , Y 1 , Y 2 , . . . ∈ G , Y =
S
n
Yn i µ(Xn ) < ∞ oraz ν(Yn ) < ∞ dla
każdego n ∈ IN . Można przyja ć, że zbiory X1 , X2 , . . . sa parami rozlaczne, jeśli nie, to zastepujemy
je zbiorami X1 , X2 \ X1 , X3 \ (X1 ∪ X2 ) , . . . , które sa parami rozlaczne, ich miary sa skończone i
ich suma jest X . Analogicznie można przyja ć, że zbiory Y1 , Y2 , . . . sa parami rozlaczne.
Miare µ można ograniczyć do zbioru Xm , miare ν – do zbioru Yn . Wtedy na zbiorze Xm × Yn
dana jest miara µ × ν . Jeśli (m, n) 6= (i, j) , to oczywiście (Xm × Yn ) ∩ (Xi × Yj ) = ∅ . Mamy też
S
(m,n) Xm × Yn = X × Y . Niech M oznacza rodzine wszystkich takich zbiorów C ∈ F × G , że
C ∩ (Xm × Yn ) jest zbiorem mierzalnym dla każdej pary (m, n) . Jeśli C ∈ M , to (X × Y ) \ C ∈ M ,
S
S
bo (X ×Y )\C = (m,n) (Xm ×Yn )\C = (m,n) (Xm ×Yn )\ C ∩(Xm ×Yn ) ∈ M . Jeśli Cj ∈ M
dla j = 1, 2, . . . , to Cj ∩ Xm × Yn jest zbiorem mierzalnym, wiec mierzalny jest również zbiór
S
S
S
j Cj ∩ (Xm × Yn ) =
j Cj ∩ Xm × Yn , a to oznacza, że
j Cj ∈ M . Udowodniliśmy wlaśnie,
że rodzina M jest σ –cialem. Jeśli A ∈ F , b ∈ G , to (A × B) ∩ (Xm × Yn ) = (A ∩ Xm ) × (B ∩ Yn )
jest zbiorem mierzalnym, wiec A × B ∈ M . Wobec tego M ⊇ F × G , wiec M = F × G .
P
Za pomoca równości (µ × ν)(C) = (m,n) (µ × ν) C ∩ (Xm × Yn ) możemy zdefiniować miare
µ × ν na F × G . Sprawdzenie, że jest ona przeliczalnie addytywna to czysta formalność. Niech
C ∈ F × G . Z podanej definicji miary wnioskujemy, że
2 P
3
R
P
1
(µ × ν)(C) ==
(m,n) (µ × ν) C ∩ (Xm × Yn ) ==
(m,n) Xm ν C ∩ (Xm × Yn ) x ==
=
P
R
(m,n) Xm
4
ν(Cx ∩ Yn ) ==
P P R
m
n Xm
5
ν(Cx ∩ Yn ) ==
P R
m Xm
=
Równości te wynikaja kolejno
1 — z definicji µ × ν ,
2 — z wlasności µ × ν na produkcie przestrzeni skończonej miary,
3 — z definicji przekroju Cx ,
137
P R
P
n
m Xm
6
ν(Cx ∩ Yn ) ==
7
ν(Cx ) ==
R
X
ν(Cx )
4 — z wlasności sumy podwójnej,
5 — z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem calki
6 — z przeliczalnej addytywności miary ν ,
7 — z elementarnych wlasności calki.
Z mierzalnościa calkowanych funkcji nie ma żadnych klopotów, bo funkcje mierzalne określone
na zbiorach Xm × Yn można przedlużać na X × Y przyjmuja c, że sa równe 0 poza Xm × Yn ,
nastepnie korzystaja c z tego, że granica cia gu funkcji mierzalnych (np. suma szeregu funkcji mierzalnych) jest mierzalna.
Wykazaliśmy, że zdefiniowana przez nas miara µ × ν jest niezależna od sposobu przedstawienia
przestrzeni X i Y w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów skończonej miary. Jest jasne, że
miara jest jednoznacznie wyznaczona jako calka z miary przekrojów, bo tak jest na przestrzeni
Xm × Yn , bowiem µ(Xm ), ν(Yn ) < ∞ .
Teraz możemy sformulować twierdzenie Fubiniego dla produktu dwu miar σ –skończonych.
Twierdzenie Fubiniego
Jeśli µ jest miara σ –skończona na przestrzeni X , ν jest miara σ –skończona na przestrzeni Y ,
f : X × Y −→ IR funkcja mierzalna nieujemna lub calkowalna , to dla każdego x ∈ X funkcja
fx : Y −→ IR zdefiniowana wzorem fx (y) = f (x, y) jest mierzalna, funkcja f y : Y −→ IR zdefiR
niowana wzorem f y (x) = f (x, y) jest mierzalna, funkcja x −→ Y fx dν jest mierzalna, funkcja
R
y −→ X f y dµ jest mierzalna i zachodza równości
R R
R
R R
f dν dµ = X×Y f d(µ × ν) = Y
f y dµ dν .
X
Y x
X
Dowód.
W tym przypadku mamy do czynienia z miara produktowa, wiec nie musimy pisać dla prawie
każdego. Miara `k+l nie jest produktem miar `k i `l , bo niektóre zbiory C ⊆ IRk+l sa niemierzalne
z wzgledu na miare `k ×`l i jednocześnie `k+l (C) = 0 . Jest to jedyny problem. Poza ta jedna kwestia
nie ma różnicy i dowodu nie warto powtarzać – jest po prostu taki sam (poprzednie twierdzenie to
twierdzenie Fubiniego dla funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych).
Zadanie 6
na
Wykazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ: [0, 1]−−→[0, 1] × [0, 1] taka, że zbiór A ⊆ [0, 1]
jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ϕ(A) jest mierzalny i dla każdego zbioru A ⊆ [0, 1]
zachodzi równość `1 (A) = `2 (ϕ(A)) .
Oznacza to, że z punktu widzenia teorii miary odcinek nie różni sie od kwadratu, zupelnie inaczej
niż z punktu widzenia topologii!
Zadanie 7
Niech µ oznacza jednowymiarowa miare Lebesgue’a ograniczona do przedzialu [0, 1] , ν — miare
„liczaca” na przedziale [0, 1] . Wykazać, że dla tej pary miar twierdzenie Fubiniego nie zachodzi.
138