Symetria w mechanice klasycznej Równanie ruchu dla funkcji r(t

Symetria w mechanice klasycznej
Równanie ruchu dla funkcji r(t)
d2r
∂U (r)
m 2 =−
dt
∂r
(1)
• Jeśli U (r) = 0 ⇒ równanie (1) jest niezmiennicze przy r → r + a (jednorodność przestrzeni) ⇒ zasada zachowania pędu p
• Jeśli U (r) = U (r) (sferycznie symetryczny potencjał), układ współrzednych
wybieramy dowolnie (izotropowość przestrzeni) ⇒ zasada zachowania momentu pędu ℓ = r × p
• Translacja w czasie, t → t + C ⇒ równanie (1) jest niezmiennicze (jednorodność czasu) ⇒ zasada zachowania energii E
• Inversja czasu, t → −t
W mechanice Lagrange’a: niezmienniczośc Lagrangianu L =
przekształceniach symetrii.
1
(
)
m dr 2
2 dt
− U (r) przy
Symetria w mechanice kwantowej
Równanie Schrödingera dla funkcji falowej ψ(r, t)
h̄2
Ĥ = −
∆ + U (r)
2m
∂ψ
ih̄
= Ĥψ,
∂t
gdzie ∆ - operator Laplace’a.
We współrzędnych karteziańskich ∆ =
∂2
∂x2
2
(2)
2
∂
∂
+ ∂y
2 + ∂z 2
Równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych ψ(r)
Ĥψ = Eψ
(3)
Operator transformacji T̂ : ψ → T̂ ψ. Operator T̂ – unitarny, T̂ −1T̂ = T̂ T̂ −1 = 1.
Przykład: Operacja translacji w przestrzeni, T̂a ψ(r) = ψ(r + a).
2
Jeśli T̂ - operator symetrii, to funkcja T̂ ψ także powinna być rozwiązaniem równania Schrödinger (3) dla tej samej energii E:
Ĥ (T̂ ψ) = E (T̂ ψ)
(4)
T̂ −1Ĥ T̂ ψ = Eψ
(5)
⇒ T̂ −1Ĥ T̂ = Ĥ
(6)
⇒ Ĥ T̂ = T̂ Ĥ
(7)
tzn. Hamiltonian Ĥ komutuje z operatorem przekształcena symetrii .
Funkcji własne operatora T̂ są także funkcjami własnymi Hamiltonianu Ĥ.
3
Przykład 1: Translacja w przestrzeni na dowolny wektor a
h̄2∆
Ĥ = −
,
T̂a ⇒ ψk(r) = eik·r
2m
T̂a eik·r = eik·a eik·r
(8)
(9)
Funkcja ψk(r) = eik·r – funkcja własna elektronu swobodnego
Przykład 2: Translacja w przestrzeni na pewny wektor a
h̄2∆
Ĥ = −
+ U (r), U (r) = U (r + a)
2m
T̂a ⇒ ψk(r) = eik·r uk(r), uk(r) = uk(r + a)
T̂a eik·ruk(r) = eik·a eik·r uk(r)
(10)
(11)
(12)
Funkcja ψk(r) = eik·r uk(r) jest funkcją własną elektronu w pole okresowym
(twierdzenie Blocha)
4