Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej Kolokwium nr 2 z

Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
A
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Ile ró»nych cykli (tzn. dróg bez powtórze« wierzchoªków, ko«cz¡cych si¦ w miejscu startu) dªugo±ci 6
ma graf, którego macierz incydencji jest

1
 0


 0

 1

 0
0
nast¦puj¡ca:
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1





?



2. Niech G b¦dzie grafem, którego wierzchoªkami s¡ wszystkie 3-elementowe podzbiory zbioru X =
{1, 2, 3, 4, 5}. Je»eli A i B s¡ wierzchoªkami tego grafu, to ª¡czy je kraw¦d¹ wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡
dokªadnie jeden wspólny element ze zbioru X , tzn. gdy |A ∩ B| = 1. Ile kraw¦dzi i ile wierzchoªków ma
ten graf ? Wska» w nim drog¦ Eulera i drog¦ Hamiltona, o ile one istniej¡. Czy zawiera on cykl Eulera
lub cykl Hamiltona?
3. Dany jest graf K6 o zbiorze wierzchoªków V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i zbiorze kraw¦dzi E = {{i, j} : i, j ∈
V, i 6= j}. Ile jest ró»nych ci¡gów postaci (d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 ), gdzie dla i = 1, . . . , 6, di jest stopniem i-tego wierzchoªka drzewa rozpinaj¡cego graf K6 . Wyznacz wszystkie te ci¡gi, dla których wszystkie drzewa rozpinaj¡ce maj¡ce taki ci¡g wierzchoªków s¡ izomorczne. Podaj przykªad takiego ci¡gu
(d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 ), który wyznacza przynajmniej dwa nieizomorczne drzewa rozpinaj¡ce graf K6 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) rozªó» na iloczyn cykli rozª¡cznych, podaj jej typ. Oblicz ile
4. Permutacj¦ τ = ( 10
98376541 2
jest wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maj¡cych taki typ. Znajd» najmniejsze liczby
naturalne k i n (n > 1), »e τ k = ε i τ n = τ , gdzie ε jest permutacj¡ to»samo±ciow¡.
=========================================================
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
B
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Ile jest ró»nych drzew rozpinaj¡cych graf, którego macierz incydencji jest nast¦puj¡ca:







1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1




?


Ile jest w±ród nich drzew nieizomorcznych?
2. Niech G b¦dzie grafem, którego wierzchoªkami s¡ wszystkie 3-elementowe podzbiory zbioru X =
{1, 2, 3, 4, 5}. Je»eli A i B s¡ wierzchoªkami tego grafu, to ª¡czy je kraw¦d¹ wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡
dokªadnie dwa wspólne elementy ze zbioru X , tzn. gdy |A ∩ B| = 2. Ile kraw¦dzi i ile wierzchoªków ma
ten graf ? Wska» w nim cykl Eulera oraz 3 kraw¦dziowo rozª¡czne cykle Hamiltona, o ile one istniej¡.
3. Zbada¢ istnienie grafu niespójnego o 7 wierzchoªkach i 16 kraw¦dziach oraz grafu spójnego o 7 wierzchoªkach, z których dokªadnie pi¦¢ ma stopie« nieparzysty.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) rozªó» na iloczyn cykli rozª¡cznych, podaj jej typ. Oblicz ile
4. Permutacj¦ β = ( 15 10
8397461 2
jest wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maj¡cych taki typ. Znajd¹ najmniejsze liczby
naturalne k i n (n > 1), takie »e β k = ε, a β n jest inwolucj¡, gdzie ε jest permutacj¡ to»samo±ciow¡.
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
C
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Ile ró»nych cykli (tzn. dróg bez powtórze« wierzchoªków, ko«cz¡cych si¦ w miejscu startu) dªugo±ci 4
ma graf, którego macierz incydencji jest nast¦puj¡ca:

1 1 1 1 0 0
 1 0 0 0 1 1


 0 1 0 0 1 0

 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1




?


2. Niech G b¦dzie grafem, którego wierzchoªkami s¡ wszystkie 2-elementowe podzbiory zbioru X =
{1, 2, 3, 4, 5}. Je»eli A i B s¡ wierzchoªkami tego grafu, to ª¡czy je kraw¦d¹ wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ to
rozª¡czne podzbiory zbioru X , tzn. gdy A ∩ B = ∅. Ile kraw¦dzi i ile wierzchoªków ma ten graf ? Wska»
w nim drog¦ Eulera i drog¦ Hamiltona, o ile one istniej¡. Czy zawiera on cykl Eulera lub cykl Hamiltona?
3. Wyznacz liczb¦ parami nieizomorcznych drzew rozpinaj¡cych graf o±mio±cianu foremnego. Ile jest
drzew rozpinaj¡cych ten graf, maj¡cych wierzchoªek stopnia 4? Ile jest drzew rozpinaj¡cych ten graf,
maj¡cych dwa wierzchoªki stopnia 3 ?
8 9 10 ) rozªó» na iloczyn cykli rozª¡cznych, podaj jej typ. Oblicz ile
4. Permutacj¦ β = ( 13 24 35 42 57 66 79 10
1 8
jest wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maj¡cych taki typ. Znajd¹ najmniejsze liczby
naturalne k i n (n > 1), »e β k = ε i β n = β −1 , gdzie ε jest permutacj¡ to»samo±ciow¡.
=========================================================
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
D
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Ile ró»nych cykli (tzn. dróg bez powtórze« wierzchoªków, ko«cz¡cych si¦ w miejscu startu) dªugo±ci 5
ma graf, którego macierz incydencji jest

1
 1


 0

 0

 0
0
nast¦puj¡ca:
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1





?



2. Ile jest nieizomorcznych drzew rozpinaj¡cych graf sze±cianu?
3. Niech G b¦dzie grafem, którego wierzchoªkami s¡ wszystkie 2-elementowe podzbiory zbioru X =
{1, 2, 3, 4, 5}. Je»eli A i B s¡ wierzchoªkami tego grafu, to ª¡czy je kraw¦d¹ wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡
dokªadnie 1 wspólny element zbioru X , tzn. gdy |A ∩ B| = 1. Ile kraw¦dzi i ile wierzchoªków ma ten graf?
Wska» w nim cykl Eulera i 3 kraw¦dziowo rozª¡czne cykle Hamiltona, o ile one istniej¡.
4. Wyznaczy¢ liczb¦ wszystkich permutacji, które w rozkªadzie na cykle rozª¡czne maj¡ dokªadnie:
(a) 1 cykl;
(b) 2 cykle, z których 1 ma dªugo±¢ n − 1.
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
E
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Wyznacz kod Prüfera wybranego drzewa rozpinaj¡cego graf sze±cianu. Drzewo musi zawiera¢ dwa
nieincydentne wierzchoªki stopnia 3. Podaj macierz s¡siedztwa drzewa, którego kod Prüfera jest nast¦puj¡cy: (1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5).
2. Znajd¹ cztery kraw¦dziowo rozª¡czne cykle Hamiltona w grae K9 . Ile jest ró»nych cykli Hamiltona w
tym grae? Wska» dwa ró»ne cykle Eulera grafu K5
3. Dany jest graf K6 o zbiorze wierzchoªków V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i zbiorze kraw¦dzi E = {{i, j} : i, j ∈
V, i 6= j}. Ile jest parami nieizomorcznych drzew rozpinaj¡cych ten graf. Wyznacz wszystkie te drzewa.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ) β = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 )rozªó» na iloczyn cykli
4. Permutacje α = ( 13 10
5 11 7 12 9 2 1 4 6 8
3 8 5 10 9 11 1 12 7 2 4 6
rozª¡cznych, podaj ich typy. Oblicz ile jest wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
maj¡cych taki typ. Oblicz α5 , β 5 i (αβ)5 .
=========================================================
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
F
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. 1. Graf G jest okre±lony przez nast¦puj¡c¡ macierz incydencji







1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1




.


Jak¡ posta¢ maj¡ drzewa rozpinaj¡ce ten graf, których kod Prüfera ma posta¢ (a, b, c) gdzie a < b < c.
Ile jest takich drzew?
2. Zbadaj, czy istnieje graf o siedmiu wierzchoªkach i szesnastu kraw¦dziach nie b¦d¡cy grafem Hamiltona.
Czy istnieje graf o 17 kraw¦dziach, którego dokªadnie 3 wierzchoªki maj¡ nieparzysty stopie«.
3. Niech G b¦dzie grafem, którego wierzchoªkami s¡ wszystkie 2-elementowe podzbiory zbioru X =
{1, 2, 3, . . . , n}. Je»eli A i B s¡ wierzchoªkami tego grafu, to ª¡czy je kraw¦d¹ wtedy i tylko wtedy, gdy
maj¡ dokªadnie 1 wspólny element zbioru X , tzn. gdy |A ∩ B| = 1. Jaki jest stopie« ka»dego wierzchoªka
w tym grae. Ile kraw¦dzi i ile wierzchoªków ma ten graf? Czy jest to graf Eulera ?
4. Wyznaczy¢ liczb¦ wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} speªniaj¡cych warunek β 2 = ε
oraz permutacji tego zbioru speªniaj¡cych warunek β 3 = ε, gdzie ε jest permutacj¡ to»samo±ciow¡. Podaj
przykªady takich permutacji.
Nazwisko i imi¦: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium nr 2 z Matematyki Dyskretnej
G
Informatyka, studia dzienne magisterskie
1. Czy istniej¡ grafy nieizomorczne, których macierze incydencji maj¡ po 7 wierzchoªków i 21 kraw¦dzi?
Podaj przykªad dwóch nieizomorcznych grafów, ka»dy o 7 wierzchoªkach, których stopnie s¡ równe 4.
2. Przez Kn,m oznaczymy graf peªny dwudzielny. Dla jakich m i n jest to graf Eulera? Dla jakich m i n
jest to graf Hamiltona? Wska» graf Eulera dla grafu K4,4 , o ile on istnieje.
3. Dany jest graf K6 o zbiorze wierzchoªków V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i zbiorze kraw¦dzi E = {{i, j} : i, j ∈
V, i 6= j}. Ile jest ró»nych ci¡gów postaci (d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 ), gdzie dla i = 1, . . . , 6, di jest stopniem
i-tego wierzchoªka drzewa rozpinaj¡cego graf K6 , przy czym d1 > d2 > · · · > d6 . Podaj przykªad takiego
ci¡gu (d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 ), który wyznacza przynajmniej dwa nieizomorczne drzewa rozpinaj¡ce graf
K6 .
4. Czy w zbiorze wszystkich permutacji zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} istnieje permutacja
α speªniaj¡ca warunek α42 = ε i dla 0 < k < 42 αk 6= ε (ε jest permutacj¡ to»samo±ciow¡)? Podaj
przykªady nieto»samo±ciowych permutacji α zbioru X , dla których α13 = ε, o ile istniej¡.