POWTÓRKA WIADOMOSCI Z TEORII GRAFÓW

POWTÓRKA WIADOMOŚCI Z TEORII GRAFÓW
1. Oznaczenia liczby wierzchołków ν i liczby kraw˛edzi ².
2. Podstawowe oznaczenia szczególnych grafów:
• K n - graf pełny na n wierzchołkach
• K n,m - graf pełny dwudzielny o zbiorach dwupodziału mocy n i m.
• C n - cykl na n wierzchołkach, P n - ścieżka na n wierzchołkach
• Q n - n-kostka (graf o wierzchołkach b˛edacych
˛
ciagami
˛
binarnymi długości n)
3. Macierz przyległości i macierz incydencji
4. Podgrafy
• rozpi˛ete (definicja)
• indukowane na zbiorze wierzchołków S (Oznaczamy G[S])
• indukowane na zbiorze kraw˛edzi F (oznaczamy G[F ])
• powstałe przez usuni˛ecie zboru wierzchołków S (Oznaczamy G \ S)
• powstałe przez usuni˛ecie zboru kraw˛edzi F (Oznaczamy G \ F )
5. Stopień wierzchołka:
• Symbole dG (v), δ(G), ∆(G)
• Ciag
˛ stopni wierzchołka
P
6. Twierdzenie 2²(G) = v∈V (G) dG (v) i konsekwencje:
¡ ¢
• Liczba kraw˛edzi grafu pełnego K n wynosi n2 = n(n−1)
.
2
• Liczba wierzchołków kostki Q n wynosi 2n a kraw˛edzi n · 2n−1 .
• Liczba kraw˛edzi grafu K n,m wynosi nm.
¡ ¢
• Dopełnienie grafu G ma n2 − ²(G) kraw˛edzi
7. Twierdzenie o grafie dwudzielnym i nieparzystych cyklach
8. Graf k-regularny, przykłady takich grafów:
• Kostka Q n jest n-regularna.
• Graf pełny K n jest n − 1 - regularny.
• Graf pełny dwudzielny K n,n jest n-regularny.
9. Spójność i składowe spójności
• Liczba składowych spójności grafu oznaczana ω.
• ω < ν.
• ν − ω ≤ ².
¡
¢
• ² ≤ ν−ω+1
.
2
10. Poj˛ecia: wierzchołek i kraw˛edź ci˛ecia i znajdowanie ich w grafie.
11. Określanie czy ciag
˛ jest graficzny i znajdowanie odpowiedniego grafu dla ciagu
˛ (algorytm).
12. Drzewa i lasy
• Drzewo - spójny acykliczny graf
• Las - acykliczny graf
• Liczba drzew rozpi˛etych grafu G oznaczana τ(G)
• Drzewo na n wierzchołkach ma n − 1 kraw˛edzi
• Kod Prűfera i jego konsekwencje:
– znajdowanie kodu Prűfera dla drzewa i na odwrót.
– Liczba drzew rozpi˛etych grafu pełnego wynosi
τ(K n ) = n n−2 .
• Rekurencyjne znajdowanie drzew.
13. BFS (Przeszukiwanie wszerz) - używamy kolejki, alfabetycznie
14. DFS (Przeszukiwanie wgłab)
˛ - używamy stosu, przeciwnie do kierunku alfabetycznego
15. Algorytm Dijkstry
16. Algorytm Kruskala
17. Poj˛ecia obchodu i szlaku Eulera oraz cyklu i ścieżki Hamiltona
• Obchód Eulera przechodzi przez wszystkie kraw˛edzie i wraca na start (wierzchołki
moga˛ si˛e powtarzać, kraw˛edzie - nie).
• Szlak Eulera - podobnie jak obchód, ale nie wraca na start.
• Cykl (ścieżka) Hamiltona - cykl (ścieżka) na wszystkich wierzchołkach grafu.
• Graf jest eulerowski (posiada obchód Eulera) wtw gdy wszystkie stopnie wierzchołków sa˛ parzyste.
• Graf posiada szlak Eulera wtw gdy ma obchód Eulera lub dokładnie dwa stopnie sa˛
nieparzyste.
• Jeśli graf posiada cykl Hamiltona to dla każdego zbioru S ⊆ V :
ω(G \ S) ≤ |S|.