Twierdzenie o równowadze (J. Nash jr, 1953)

Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Twierdzenie o równowadze (J. Nash jr, 1953)
Anna Lizurej, Tomasz Jaszczyk
FTiMS
8 stycznia 2009
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 1 (Równowaga Nasha)
Profilem równowagi Nasha w grze
(
Γ=
{1, 2, . . . , k} , {Si }i=1,2,...,k , fi :
k
Y
)
Si → R
i=1
nazywamy taki profil strategii
s ∗ = (s1∗ , s2∗ , . . . , sk∗ ) ∈ S1 × S2 × . . . × Sk
dla którego zachodzi: ∀1¬i¬k ∀si ∈Si
∗
∗
∗
∗
fi s1∗ , . . . , si−1
, si , si+1
, . . . , sk∗ ¬ fi s1∗ , . . . , si−1
, si∗ , si+1
, . . . , sk∗
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Twierdzenie 1 (Nasha)
Jeżeli Γ jest grą k-osobową skończoną, to istnieje równowaga
Nasha w jej randomizacji.
Do dowodu tego twierdzenia bedziemy potrzebowali twierdzenia
Brouwera o punkcie stałym.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Twierdzenie 1 (Nasha)
Jeżeli Γ jest grą k-osobową skończoną, to istnieje równowaga
Nasha w jej randomizacji.
Do dowodu tego twierdzenia bedziemy potrzebowali twierdzenia
Brouwera o punkcie stałym.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 2 (Brouwera, 1911)
Niech K będzie kulą jednostkową w Rn oraz f : K → K . Wówczas
jeżeli funkcja f jest ciągła to ∃x∈K f (x) = x
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Własność Darboux
Niech f : [−1, 1] → [−1, 1] - funkcja ciągła. Jeżeli
f (−1) < 0 ∧ f (1) > 0 wówczas zachodzi:
∃c∈[−1,1] f (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Własność Darboux
Niech f : [−1, 1] → [−1, 1] - funkcja ciągła. Jeżeli
f (−1) < 0 ∧ f (1) > 0 wówczas zachodzi:
∃c∈[−1,1] f (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód dla n=1.
Niech K = [−1, 1]
Jeżeli f (−1) = −1 ∨ f (1) = 1 wówczas natychmiast mamy
f (x) = x
Jeżeli f (−1) > −1 ∨ f (1) < 1 wówczas wówczas na mocy
własności Darboux dla funkcji g (x) = f (x) − x, otrzymujemy:
∃c∈(−1,1) g (c) = 0
Zatem mamy: g (c) = 0 ⇒ f (c) − c = 0 ⇒ f (c) = c
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 2 (Retrakt)
Mówimy, że przestrzeń topologiczna(metryczna) A jest retraktem
przestrzeni X gdy A ⊂ X oraz istnieje f : X → A ciągłe i takie, że
∀a∈A f (a) = a
Twierdzenie 3
Sfera S m−1 = x ∈ Rm ; kxk = 1 nie jest retraktem kuli K
Obserwacja.
S 1 jest retraktem K 2 \ {0}
Odwzorowanie r : K 2 \ {0} → S 1 dane wzorem r (x) =
własność: ∀a∈S 1 f (a) = a
m
x
kxk
spełnia
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 2 (Retrakt)
Mówimy, że przestrzeń topologiczna(metryczna) A jest retraktem
przestrzeni X gdy A ⊂ X oraz istnieje f : X → A ciągłe i takie, że
∀a∈A f (a) = a
Twierdzenie 3
Sfera S m−1 = x ∈ Rm ; kxk = 1 nie jest retraktem kuli K
Obserwacja.
S 1 jest retraktem K 2 \ {0}
Odwzorowanie r : K 2 \ {0} → S 1 dane wzorem r (x) =
własność: ∀a∈S 1 f (a) = a
m
x
kxk
spełnia
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 2 (Retrakt)
Mówimy, że przestrzeń topologiczna(metryczna) A jest retraktem
przestrzeni X gdy A ⊂ X oraz istnieje f : X → A ciągłe i takie, że
∀a∈A f (a) = a
Twierdzenie 3
Sfera S m−1 = x ∈ Rm ; kxk = 1 nie jest retraktem kuli K
Obserwacja.
S 1 jest retraktem K 2 \ {0}
Odwzorowanie r : K 2 \ {0} → S 1 dane wzorem r (x) =
własność: ∀a∈S 1 f (a) = a
m
x
kxk
spełnia
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 2 (Retrakt)
Mówimy, że przestrzeń topologiczna(metryczna) A jest retraktem
przestrzeni X gdy A ⊂ X oraz istnieje f : X → A ciągłe i takie, że
∀a∈A f (a) = a
Twierdzenie 3
Sfera S m−1 = x ∈ Rm ; kxk = 1 nie jest retraktem kuli K
Obserwacja.
S 1 jest retraktem K 2 \ {0}
Odwzorowanie r : K 2 \ {0} → S 1 dane wzorem r (x) =
własność: ∀a∈S 1 f (a) = a
m
x
kxk
spełnia
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Definicja 2 (Retrakt)
Mówimy, że przestrzeń topologiczna(metryczna) A jest retraktem
przestrzeni X gdy A ⊂ X oraz istnieje f : X → A ciągłe i takie, że
∀a∈A f (a) = a
Twierdzenie 3
Sfera S m−1 = x ∈ Rm ; kxk = 1 nie jest retraktem kuli K
Obserwacja.
S 1 jest retraktem K 2 \ {0}
Odwzorowanie r : K 2 \ {0} → S 1 dane wzorem r (x) =
własność: ∀a∈S 1 f (a) = a
m
x
kxk
spełnia
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 4
Jeśli X jest homeomorficzna z kulą domkniętą to posiada własność
punktu stałego.
Dowód
h
X −−−−→ K
x

m
x
g

f
h−1
X ←−−−− K
m
Niech f : X → X - ciągłe.
m
m
Określmy g : K → K takie, że g (x) = h(f (h−1 (x))) ciągłe(jako złożenie funkcji ciągłych).
Z twierdzenia Brouwera: ∃x0 ∈K m g (x0 ) = x0
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Weźmy y := h−1 (x0 ) wówczas h(y ) = h(h−1 (x0 )) = x0 , a stąd
h(f (y )) = h(f (h−1 (x0 ))) = g (x0 ) = x0 = h(y )
Wiemy, że h jest różnowartościowe zatem ∃y ∈X f (y ) = y
Każdy zbiór wypukły jest homeomorficzny z pewną kulą, a zatem
m−1
każdy sympleks m-wymiarowy jest homeomorficzny kulą K
.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Weźmy y := h−1 (x0 ) wówczas h(y ) = h(h−1 (x0 )) = x0 , a stąd
h(f (y )) = h(f (h−1 (x0 ))) = g (x0 ) = x0 = h(y )
Wiemy, że h jest różnowartościowe zatem ∃y ∈X f (y ) = y
Każdy zbiór wypukły jest homeomorficzny z pewną kulą, a zatem
m−1
każdy sympleks m-wymiarowy jest homeomorficzny kulą K
.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Weźmy y := h−1 (x0 ) wówczas h(y ) = h(h−1 (x0 )) = x0 , a stąd
h(f (y )) = h(f (h−1 (x0 ))) = g (x0 ) = x0 = h(y )
Wiemy, że h jest różnowartościowe zatem ∃y ∈X f (y ) = y
Każdy zbiór wypukły jest homeomorficzny z pewną kulą, a zatem
m−1
każdy sympleks m-wymiarowy jest homeomorficzny kulą K
.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Weźmy y := h−1 (x0 ) wówczas h(y ) = h(h−1 (x0 )) = x0 , a stąd
h(f (y )) = h(f (h−1 (x0 ))) = g (x0 ) = x0 = h(y )
Wiemy, że h jest różnowartościowe zatem ∃y ∈X f (y ) = y
Każdy zbiór wypukły jest homeomorficzny z pewną kulą, a zatem
m−1
każdy sympleks m-wymiarowy jest homeomorficzny kulą K
.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 5 (równoważna wersja tw. Brouwera)
Niech K będzie zbiorem wypukłym w Rn oraz f : K → K .
Wówczas jeżeli funkcja f jest ciągła to ∃x∈S f (x) = x
Powyższe twierdzenie daje nam możliwość pełnego udowodnienia
tw. Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Twierdzenie 5 (równoważna wersja tw. Brouwera)
Niech K będzie zbiorem wypukłym w Rn oraz f : K → K .
Wówczas jeżeli funkcja f jest ciągła to ∃x∈S f (x) = x
Powyższe twierdzenie daje nam możliwość pełnego udowodnienia
tw. Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód tw. Nasha dla k=2.
Niech:
S1 = {s1 , . . . , sm } ⊂ Rm - strategie I gracza
S2 = {s1 , . . . , sn } ⊂ Rn - strategie II gracza
A = Am×n - macierz wypłat I gracza
B = Bm×n - macierz wypłat II gracza
∆m = ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii mieszanych I gracza
∆n = ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii mieszanych II gracza
Wiemy, że ∆m i ∆n są sympleksami. Zatem:
∆m i ∆n - zwarte (bo domknięte i ograniczone) i wypukłe
Definiujemy: K := ∆m × ∆n ⊂ Rm × Rm = Rm+n
K jest zwarty i wypukły jako produkt kartezjański zbiorów
zwartych i wypukłych.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód tw. Nasha dla k=2.
Niech:
S1 = {s1 , . . . , sm } ⊂ Rm - strategie I gracza
S2 = {s1 , . . . , sn } ⊂ Rn - strategie II gracza
A = Am×n - macierz wypłat I gracza
B = Bm×n - macierz wypłat II gracza
∆m = ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii mieszanych I gracza
∆n = ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii mieszanych II gracza
Wiemy, że ∆m i ∆n są sympleksami. Zatem:
∆m i ∆n - zwarte (bo domknięte i ograniczone) i wypukłe
Definiujemy: K := ∆m × ∆n ⊂ Rm × Rm = Rm+n
K jest zwarty i wypukły jako produkt kartezjański zbiorów
zwartych i wypukłych.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód tw. Nasha dla k=2.
Niech:
S1 = {s1 , . . . , sm } ⊂ Rm - strategie I gracza
S2 = {s1 , . . . , sn } ⊂ Rn - strategie II gracza
A = Am×n - macierz wypłat I gracza
B = Bm×n - macierz wypłat II gracza
∆m = ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii mieszanych I gracza
∆n = ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii mieszanych II gracza
Wiemy, że ∆m i ∆n są sympleksami. Zatem:
∆m i ∆n - zwarte (bo domknięte i ograniczone) i wypukłe
Definiujemy: K := ∆m × ∆n ⊂ Rm × Rm = Rm+n
K jest zwarty i wypukły jako produkt kartezjański zbiorów
zwartych i wypukłych.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód tw. Nasha dla k=2.
Niech:
S1 = {s1 , . . . , sm } ⊂ Rm - strategie I gracza
S2 = {s1 , . . . , sn } ⊂ Rn - strategie II gracza
A = Am×n - macierz wypłat I gracza
B = Bm×n - macierz wypłat II gracza
∆m = ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii mieszanych I gracza
∆n = ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii mieszanych II gracza
Wiemy, że ∆m i ∆n są sympleksami. Zatem:
∆m i ∆n - zwarte (bo domknięte i ograniczone) i wypukłe
Definiujemy: K := ∆m × ∆n ⊂ Rm × Rm = Rm+n
K jest zwarty i wypukły jako produkt kartezjański zbiorów
zwartych i wypukłych.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Dowód tw. Nasha dla k=2.
Niech:
S1 = {s1 , . . . , sm } ⊂ Rm - strategie I gracza
S2 = {s1 , . . . , sn } ⊂ Rn - strategie II gracza
A = Am×n - macierz wypłat I gracza
B = Bm×n - macierz wypłat II gracza
∆m = ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii mieszanych I gracza
∆n = ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii mieszanych II gracza
Wiemy, że ∆m i ∆n są sympleksami. Zatem:
∆m i ∆n - zwarte (bo domknięte i ograniczone) i wypukłe
Definiujemy: K := ∆m × ∆n ⊂ Rm × Rm = Rm+n
K jest zwarty i wypukły jako produkt kartezjański zbiorów
zwartych i wypukłych.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K tak abyśmy mogli
skorzystać z twierdzenia Brouwera.
Definiujemy dla i ∈ {1, . . . , m} odwzorowanie ci : K → R dane
wzorem:
ci = ci (X , Y ) := max
n


n
X

j=1
0,
aij yj −
m X
n
X
i=1 j=1
= max 0, Ai· Y T − XAY T
xi aij yj


=

o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz Ai· oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Czyli ci jest równe zyskowi gracza I przy zmianie strategii X na i-tą
strategię czystą lub jest równe zero gdyby zysk miałbyć
ujemny(strata).
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K tak abyśmy mogli
skorzystać z twierdzenia Brouwera.
Definiujemy dla i ∈ {1, . . . , m} odwzorowanie ci : K → R dane
wzorem:
ci = ci (X , Y ) := max
n


n
X

j=1
0,
aij yj −
m X
n
X
i=1 j=1
= max 0, Ai· Y T − XAY T
xi aij yj


=

o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz Ai· oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Czyli ci jest równe zyskowi gracza I przy zmianie strategii X na i-tą
strategię czystą lub jest równe zero gdyby zysk miałbyć
ujemny(strata).
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K tak abyśmy mogli
skorzystać z twierdzenia Brouwera.
Definiujemy dla i ∈ {1, . . . , m} odwzorowanie ci : K → R dane
wzorem:
ci = ci (X , Y ) := max
n


n
X

j=1
0,
aij yj −
m X
n
X
i=1 j=1
= max 0, Ai· Y T − XAY T
xi aij yj


=

o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz Ai· oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Czyli ci jest równe zyskowi gracza I przy zmianie strategii X na i-tą
strategię czystą lub jest równe zero gdyby zysk miałbyć
ujemny(strata).
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K tak abyśmy mogli
skorzystać z twierdzenia Brouwera.
Definiujemy dla i ∈ {1, . . . , m} odwzorowanie ci : K → R dane
wzorem:
ci = ci (X , Y ) := max
n


n
X

j=1
0,
aij yj −
m X
n
X
i=1 j=1
= max 0, Ai· Y T − XAY T
xi aij yj


=

o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz Ai· oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Czyli ci jest równe zyskowi gracza I przy zmianie strategii X na i-tą
strategię czystą lub jest równe zero gdyby zysk miałbyć
ujemny(strata).
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K tak abyśmy mogli
skorzystać z twierdzenia Brouwera.
Definiujemy dla i ∈ {1, . . . , m} odwzorowanie ci : K → R dane
wzorem:
ci = ci (X , Y ) := max
n


n
X

j=1
0,
aij yj −
m X
n
X
i=1 j=1
= max 0, Ai· Y T − XAY T
xi aij yj


=

o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz Ai· oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Czyli ci jest równe zyskowi gracza I przy zmianie strategii X na i-tą
strategię czystą lub jest równe zero gdyby zysk miałbyć
ujemny(strata).
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Analogicznie dla j ∈ {1, . . . , n}, dj : K → R określamy:
n
dj = dj (X , Y ) := max 0, XB·j − XBY T
o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz B·j oznacza j-tą kolumnę macierzy B.
Dla każdego i, j ci , dj są ciągłe, ponieważ maksimum funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą.
e,Y
e ), gdzie:
Określamy F : K → K dane wzorem F (X , Y ) = (X
xei =
xi + ci (X , Y )
P
dla i ∈ {1, . . . , m}
1+ m
k=1 ck (X , Y )
yej =
yj + dj (X , Y )
P
dla j ∈ {1, . . . , n}
1 + nk=1 dk (X , Y )
Funkcje xei , yej są ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych. Zatem
odwzorowanie F też jest ciągłe.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Analogicznie dla j ∈ {1, . . . , n}, dj : K → R określamy:
n
dj = dj (X , Y ) := max 0, XB·j − XBY T
o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz B·j oznacza j-tą kolumnę macierzy B.
Dla każdego i, j ci , dj są ciągłe, ponieważ maksimum funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą.
e,Y
e ), gdzie:
Określamy F : K → K dane wzorem F (X , Y ) = (X
xei =
xi + ci (X , Y )
P
dla i ∈ {1, . . . , m}
1+ m
k=1 ck (X , Y )
yej =
yj + dj (X , Y )
P
dla j ∈ {1, . . . , n}
1 + nk=1 dk (X , Y )
Funkcje xei , yej są ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych. Zatem
odwzorowanie F też jest ciągłe.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Analogicznie dla j ∈ {1, . . . , n}, dj : K → R określamy:
n
dj = dj (X , Y ) := max 0, XB·j − XBY T
o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz B·j oznacza j-tą kolumnę macierzy B.
Dla każdego i, j ci , dj są ciągłe, ponieważ maksimum funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą.
e,Y
e ), gdzie:
Określamy F : K → K dane wzorem F (X , Y ) = (X
xei =
xi + ci (X , Y )
P
dla i ∈ {1, . . . , m}
1+ m
k=1 ck (X , Y )
yej =
yj + dj (X , Y )
P
dla j ∈ {1, . . . , n}
1 + nk=1 dk (X , Y )
Funkcje xei , yej są ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych. Zatem
odwzorowanie F też jest ciągłe.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Analogicznie dla j ∈ {1, . . . , n}, dj : K → R określamy:
n
dj = dj (X , Y ) := max 0, XB·j − XBY T
o
X ∈ ∆m i Y ∈ ∆n oraz B·j oznacza j-tą kolumnę macierzy B.
Dla każdego i, j ci , dj są ciągłe, ponieważ maksimum funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą.
e,Y
e ), gdzie:
Określamy F : K → K dane wzorem F (X , Y ) = (X
xei =
xi + ci (X , Y )
P
dla i ∈ {1, . . . , m}
1+ m
k=1 ck (X , Y )
yej =
yj + dj (X , Y )
P
dla j ∈ {1, . . . , n}
1 + nk=1 dk (X , Y )
Funkcje xei , yej są ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych. Zatem
odwzorowanie F też jest ciągłe.
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
?
Musimy jeszcze tylko sprawdzić czy F : K → K
e ∈ ∆m :
Wystarczy pokazać, że X
­0
z}|{ z
xi
1. ∀i
­0
}|
{
+ ci (X , Y )
m
X
1+
­ 0 ⇒ ∀i xei ­ 0
ck (X , Y )
k=1
{z
|
2.
Pm
i=1 xei
}
­1
Pm
=
m
x + i=1 ci (X ,Y )
i=1 i
m
1+ k=1 ck (X ,Y )
P
P
=
1+
1+ci (X ,Y )
P
m
c (X ,Y )
k=1 k
e leży wewnątrz sympleksu ∆m .
Zatem X
e ∈ ∆n
Analogicznie wykazujemy, że Y
Stad F : K → K .
Więc F spełnia założenia twierdzenia Brouwera.
=1
Triangulacja
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Z twierdzenia Brouwera:
e,Y
e)
∃(X ,Y )∈K (X , Y ) = (X
e,Y
e ) jest profilem równowagi, tzn.
Wystarczy teraz wykazać, że (X
∀i ∀j ci = 0dj = 0
Co możemy przekształcić do postaci:
n
∀i 0 = ci = max 0, Ai· Y T − XAY T
o
⇒ Ai· Y T − XAY T ­ 0
⇓
∀i Ei AY T ¬ XAY T
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Z twierdzenia Brouwera:
e,Y
e)
∃(X ,Y )∈K (X , Y ) = (X
e,Y
e ) jest profilem równowagi, tzn.
Wystarczy teraz wykazać, że (X
∀i ∀j ci = 0dj = 0
Co możemy przekształcić do postaci:
n
∀i 0 = ci = max 0, Ai· Y T − XAY T
o
⇒ Ai· Y T − XAY T ­ 0
⇓
∀i Ei AY T ¬ XAY T
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Z twierdzenia Brouwera:
e,Y
e)
∃(X ,Y )∈K (X , Y ) = (X
e,Y
e ) jest profilem równowagi, tzn.
Wystarczy teraz wykazać, że (X
∀i ∀j ci = 0dj = 0
Co możemy przekształcić do postaci:
n
∀i 0 = ci = max 0, Ai· Y T − XAY T
o
⇒ Ai· Y T − XAY T ­ 0
⇓
∀i Ei AY T ¬ XAY T
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
0 )∈∆ .
Zauważny pewną własność. Niech X 0 = (x10 , . . . , xm
m
Mnożymy i-tą nierówność Ei AY T ¬ XAY T przez xi0 i dodajemy je
wszystkie stronami:
Pm
(
0
T
i=1 (xi Ei ))AY
Pm
¬(
0
T
i=1 xi )XAY
⇒ X 0 AY T ¬ XAY T
Wykażemy, że ∀i ci = 0.
Przypuśćmy, że ∃i ci > 0 i niech to bedzie c1 > 0. Zauważmy, że
P
T czyli
funkcja wypłaty gracza I f1 (X , Y ) = XAY T = m
i=1 xi Ai· Y
jest ona średnią ważoną liczb Ai· Y T . Zatem musi istnieć
i ∈ {1, . . . , m} takie, że XAY T ­ Ai· Y T .
Gdyby było inaczej, tzn. ∀i XAY T < Ai· Y T mnożąc te nierówności
przez xi i dodając stronami otrzymamy:
P
T < XAY T ⇔ XAY T < XAY T czyli sprzeczność.
( m
i=1 xi )XAY
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
0 )∈∆ .
Zauważny pewną własność. Niech X 0 = (x10 , . . . , xm
m
Mnożymy i-tą nierówność Ei AY T ¬ XAY T przez xi0 i dodajemy je
wszystkie stronami:
Pm
(
0
T
i=1 (xi Ei ))AY
Pm
¬(
0
T
i=1 xi )XAY
⇒ X 0 AY T ¬ XAY T
Wykażemy, że ∀i ci = 0.
Przypuśćmy, że ∃i ci > 0 i niech to bedzie c1 > 0. Zauważmy, że
P
T czyli
funkcja wypłaty gracza I f1 (X , Y ) = XAY T = m
i=1 xi Ai· Y
jest ona średnią ważoną liczb Ai· Y T . Zatem musi istnieć
i ∈ {1, . . . , m} takie, że XAY T ­ Ai· Y T .
Gdyby było inaczej, tzn. ∀i XAY T < Ai· Y T mnożąc te nierówności
przez xi i dodając stronami otrzymamy:
P
T < XAY T ⇔ XAY T < XAY T czyli sprzeczność.
( m
i=1 xi )XAY
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
0 )∈∆ .
Zauważny pewną własność. Niech X 0 = (x10 , . . . , xm
m
Mnożymy i-tą nierówność Ei AY T ¬ XAY T przez xi0 i dodajemy je
wszystkie stronami:
Pm
(
0
T
i=1 (xi Ei ))AY
Pm
¬(
0
T
i=1 xi )XAY
⇒ X 0 AY T ¬ XAY T
Wykażemy, że ∀i ci = 0.
Przypuśćmy, że ∃i ci > 0 i niech to bedzie c1 > 0. Zauważmy, że
P
T czyli
funkcja wypłaty gracza I f1 (X , Y ) = XAY T = m
i=1 xi Ai· Y
jest ona średnią ważoną liczb Ai· Y T . Zatem musi istnieć
i ∈ {1, . . . , m} takie, że XAY T ­ Ai· Y T .
Gdyby było inaczej, tzn. ∀i XAY T < Ai· Y T mnożąc te nierówności
przez xi i dodając stronami otrzymamy:
P
T < XAY T ⇔ XAY T < XAY T czyli sprzeczność.
( m
i=1 xi )XAY
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
0 )∈∆ .
Zauważny pewną własność. Niech X 0 = (x10 , . . . , xm
m
Mnożymy i-tą nierówność Ei AY T ¬ XAY T przez xi0 i dodajemy je
wszystkie stronami:
Pm
(
0
T
i=1 (xi Ei ))AY
Pm
¬(
0
T
i=1 xi )XAY
⇒ X 0 AY T ¬ XAY T
Wykażemy, że ∀i ci = 0.
Przypuśćmy, że ∃i ci > 0 i niech to bedzie c1 > 0. Zauważmy, że
P
T czyli
funkcja wypłaty gracza I f1 (X , Y ) = XAY T = m
i=1 xi Ai· Y
jest ona średnią ważoną liczb Ai· Y T . Zatem musi istnieć
i ∈ {1, . . . , m} takie, że XAY T ­ Ai· Y T .
Gdyby było inaczej, tzn. ∀i XAY T < Ai· Y T mnożąc te nierówności
przez xi i dodając stronami otrzymamy:
P
T < XAY T ⇔ XAY T < XAY T czyli sprzeczność.
( m
i=1 xi )XAY
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Wracamy do: XAY T ­ Ai· Y T ⇒ ci = 0(z definicji funkcji ci ) dla
pewnego i ∈ {1, . . . , m}. Stąd otrzymujemy:
xi + ci
xei =
1+
m
X
< xi
ci
i=1
|
{z
}
>1 bo c1 >0
e,Y
e ).
Co jest sprzeczne z założeniem, że (X , Y ) = (X
Czyli ∀i ci = 0.
Analogicznie udowadniamy, że ∀j dj = 0.
e,Y
e ) jest punktem równowagi dwuosobowej gry Γ
Zatem punkt (X
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Dowód dla k > 2.
Oznaczmy przez
∆(j)
mj = ∆(Sj )
zbiór strategii mieszanych gracza j-tego dla 1 ¬ j ¬ k, gdzie Sj zbiór jego strategii czystych, mj - ilość tych strategii. Czyli widzimy,
(j)
że dla każdego gracza sympleks ∆mj może być innego wymiaru.
Niech teraz
n
o
(1)
(k)
m1 +...+mk
K = ∆m
× ∆(2)
m2 . . . × ∆mk ⊂ R
1
oraz fj : K → R - funkcja wypłaty j-tego gracza.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Dowód dla k > 2.
Oznaczmy przez
∆(j)
mj = ∆(Sj )
zbiór strategii mieszanych gracza j-tego dla 1 ¬ j ¬ k, gdzie Sj zbiór jego strategii czystych, mj - ilość tych strategii. Czyli widzimy,
(j)
że dla każdego gracza sympleks ∆mj może być innego wymiaru.
Niech teraz
n
o
(1)
(k)
m1 +...+mk
K = ∆m
× ∆(2)
m2 . . . × ∆mk ⊂ R
1
oraz fj : K → R - funkcja wypłaty j-tego gracza.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Dowód dla k > 2.
Oznaczmy przez
∆(j)
mj = ∆(Sj )
zbiór strategii mieszanych gracza j-tego dla 1 ¬ j ¬ k, gdzie Sj zbiór jego strategii czystych, mj - ilość tych strategii. Czyli widzimy,
(j)
że dla każdego gracza sympleks ∆mj może być innego wymiaru.
Niech teraz
n
o
(1)
(k)
m1 +...+mk
K = ∆m
× ∆(2)
m2 . . . × ∆mk ⊂ R
1
oraz fj : K → R - funkcja wypłaty j-tego gracza.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Następnie konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K takie, że
e (1) , . . . , X
e (k) ), gdzie
F (X (1) , . . . , X (k) ) = (X
(j)
(j)
xei
=
xi
1+
(j)
ci
(j)
− ci
Pmj
(j)
k=1 ck
, 1 ¬ i ¬ mj
(j)
= ci (X (1) , . . . , X (k) ) =
= max{0, fj (X (1) , . . . , X (j−1) , Ei , X (j+1) , . . . , X (k) )−fj (X (1) , . . . , X (k) )}
Korzystając z twierdzenia Brouwera mamy, że
e (1) , . . . , X
e (k) ) = F (X (1) , . . . , X (k) ) =
∃(X (1) ,...,X (k) )∈K (X
= (X (1) , . . . , X (k) )
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Następnie konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K takie, że
e (1) , . . . , X
e (k) ), gdzie
F (X (1) , . . . , X (k) ) = (X
(j)
(j)
xei
=
xi
1+
(j)
ci
(j)
− ci
Pmj
(j)
k=1 ck
, 1 ¬ i ¬ mj
(j)
= ci (X (1) , . . . , X (k) ) =
= max{0, fj (X (1) , . . . , X (j−1) , Ei , X (j+1) , . . . , X (k) )−fj (X (1) , . . . , X (k) )}
Korzystając z twierdzenia Brouwera mamy, że
e (1) , . . . , X
e (k) ) = F (X (1) , . . . , X (k) ) =
∃(X (1) ,...,X (k) )∈K (X
= (X (1) , . . . , X (k) )
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Następnie konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K takie, że
e (1) , . . . , X
e (k) ), gdzie
F (X (1) , . . . , X (k) ) = (X
(j)
(j)
xei
=
xi
1+
(j)
ci
(j)
− ci
Pmj
(j)
k=1 ck
, 1 ¬ i ¬ mj
(j)
= ci (X (1) , . . . , X (k) ) =
= max{0, fj (X (1) , . . . , X (j−1) , Ei , X (j+1) , . . . , X (k) )−fj (X (1) , . . . , X (k) )}
Korzystając z twierdzenia Brouwera mamy, że
e (1) , . . . , X
e (k) ) = F (X (1) , . . . , X (k) ) =
∃(X (1) ,...,X (k) )∈K (X
= (X (1) , . . . , X (k) )
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Następnie konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K takie, że
e (1) , . . . , X
e (k) ), gdzie
F (X (1) , . . . , X (k) ) = (X
(j)
(j)
xei
=
xi
1+
(j)
ci
(j)
− ci
Pmj
(j)
k=1 ck
, 1 ¬ i ¬ mj
(j)
= ci (X (1) , . . . , X (k) ) =
= max{0, fj (X (1) , . . . , X (j−1) , Ei , X (j+1) , . . . , X (k) )−fj (X (1) , . . . , X (k) )}
Korzystając z twierdzenia Brouwera mamy, że
e (1) , . . . , X
e (k) ) = F (X (1) , . . . , X (k) ) =
∃(X (1) ,...,X (k) )∈K (X
= (X (1) , . . . , X (k) )
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
Następnie konstruujemy ciągłe odwzorowanie F : K → K takie, że
e (1) , . . . , X
e (k) ), gdzie
F (X (1) , . . . , X (k) ) = (X
(j)
(j)
xei
=
xi
1+
(j)
ci
(j)
− ci
Pmj
(j)
k=1 ck
, 1 ¬ i ¬ mj
(j)
= ci (X (1) , . . . , X (k) ) =
= max{0, fj (X (1) , . . . , X (j−1) , Ei , X (j+1) , . . . , X (k) )−fj (X (1) , . . . , X (k) )}
Korzystając z twierdzenia Brouwera mamy, że
e (1) , . . . , X
e (k) ) = F (X (1) , . . . , X (k) ) =
∃(X (1) ,...,X (k) )∈K (X
= (X (1) , . . . , X (k) )
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
e (1) , . . . , X
e (k) ) był punktem
Analogicznie potrzebujemy, żeby (X
(j)
równowagi, tzn. ∀j ∀i ci = 0.
(j ∗ )
Ustalmy j ∗ oraz przypuśćmy, że c1 > 0. Podobnie jak dla k = 2
istnieje takie 1 ¬ i ¬ mj ∗ takie, że:
fj ∗ (X (1) , . . . , X (k) ) ­ fj ∗ (X (1) , . . . , X (j
∗ −1)
, Ei , X (j
∗ +1)
, . . . , X (k) )
⇓
(j ∗ )
ci
=0
(j ∗ )
⇒ xei
(j ∗ )
=
xi
1+
(j ∗ )
−ci
Pmj ∗
(j ∗ )
c
k=1 k
(j ∗ )
< xi
e (1) , . . . , X
e (k) ) = (X (1) , . . . , X (k) )
Co przeczy założeniu, że (X
Zatem w każdej grze istnieje równowaga Nasha.
Twierdzenie Nasha
Twierdzenie o punkcie stałym
Dowód tw. Nasha
Triangulacja
O podziałach symplicjalnych (triangulacjach)
Triangulację (trójkąta) wykonujemy dzieląc go na mniejsze trójkąty,
stosując zasadę by dowolne 2 trójkąty z podziału stykały się ze
sobą albo całym bokiem albo tylko wierzchołkiem albo wogóle.
Rysunek: Triangulacja
Rysunek: Nie triangulacja