Rachunek prawdopodobieństwa — lista 4

Rachunek prawdopodobieństwa — lista 4
Zad.35. Jeśli Y jest ograniczoną zmienną F-mierzalną, a E|X| < ∞, to E(XY |F) = Y E(X|F).
Jakie inne warunki można nałożyć na Y w miejsce ograniczoności, aby twierdzenie pozostało prawdziwe?
Zad. 36. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, wykładniczym
z λ > 0. Oblicz: a) E(X|X + Y = t), b) P (X < t| min(X, Y ) ¬ t), c) P (X > t| max(X, Y ) ¬ 2t).
Zad. 37. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstosci g(x, y) = 8xy1{x>0,y>0,x2 +y2 <1} (x, y). Oblicz
E(Y |X = 21 )
Zad. 38. Odcinek [0, 1] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część znów łamiemy na
dwie części. Punkty złamania mają rozkład jednostajny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak
otrzymanych trzech odcinków da się zbudować trójkat.
Ciekawe problemy do przemyślenia.
I. Przypuśćmy, że płacąc za zakupy w sklepie mogę wybrać jedną z dwóch kolejek do kas. Pan Kowalski,
który przyszedł chwilę po mnie, zajmuje to miejsce w drugiej kolejce, które mogłem wybrać ja. Przez
większość czasu obaj stoimy, jednak co pewien czas jeden z klientów jest obsłużony i jedna z kolejek
przesuwa sie. Cały czas obserwuję, czy pan Kowalski jest przede mną, czy za mną. Dla ułatwienia
opisu matematycznego załóżmy, że obie kolejki są stochastycznie niezależne, a czasy obsługi kolejnych
klientów są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy. Przy tych założeniach kolejne ruchy
kolejek stanowią próby Bernoulliego, przy czym „sukces” oznacza, że ja przesuwam się do przodu, a
„porażka” — że pan Kowalski.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że kiedykolwiek będę wyprzedzał pana Kowalskiego?
Ile średnio biorąc muszę czekać do chwili wyprzedzenia pana Kowalskiego?
II. Zapewne każdy zaobserwował następującą sytuację:
Przychodzę do sklepu (dziekanatu, urzędu itp) i ustawiam się w długiej kolejce. Załatwiam sprawę i
wtedy zauważam, że gdybym przyszedł teraz to albo w ogóle bym nie czekał, albo czekałbym krótko,
bo kolejka bardzo zmalała.
Ponieważ powtarza się to dość często, zastanawiam się — czy jestem aż takim pechowcem? A może
właśnie tak zbudowany jest świat?
Zad.39. Niech u2n =
2n −2n
.
n 2
Wykaż, że limn→∞
√
πn u2n = 1.
Zad.40. Mówimy, że droga {s1 , s2 , ..., sx } osiąga swoje maksimum po raz pierwszy w punkcie k, jeżeli
sk > 0, sk > s1 , ..., sk > sk−1 , sk ­ sk+1 , ..., sk ­ sx . Pokaż, ze
a) Prawdopodobieństwo tego, że w czasie 2n droga osiągnie swoje maksimum po raz pierwszy w punkcie 0 jest równe u2n (tak samo dla czasu 2n − 1).
b) Stosując zasadę dwoistości wywnioskuj, że prawdopodobieństwo osiągnięcia maksimum po raz
pierwszy na końcu jest równe 12 u2n , dla czasu 2n lub 2n + 1.
Zad.41. Niech Xn oznacza (losowe) położenie pierwszego osiągnięcia maksimum przez cząstkę błądzącą
w czasie 2n. Wykaż, że
P (Xn = 2k) =
1
u2k u2n−2k , k = 1, 2, ..., n,
2
oraz P (X0 = 0) = u2n .
P (Xn = 2k + 1) =
1
u2k u2n−2k , k = 0, 1, 2, ..., n − 1,
2