Problem ruiny gracza, zmienne losowe
Transkrypt
Problem ruiny gracza, zmienne losowe
DWRP – Zadania domowe 6 Termin: 7.04.2009 Teoria: Problem ruiny gracza, zmienne losowe dyskretne: definicja i rozkÃlad. Zadania: 1. Niech prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki w jednokrotnym rzucie moneta, wynosi p. Rozpatrzmy naste,puja,ca, gre,. Zaczyna A i rzuca moneta, tak dÃlugo, aż wyrzuci orÃla. Naste,pnie rzuca B tak dÃlugo, aż wyrzuci orÃla, potem znowu A i tak dalej. Niech Pn,m oznacza prawdopodobieństwo, że A wyrzuci n reszek zanim B wyrzuci m reszek. Uzasadnij, że Pn,m = pPn−1,m + (1 − p)(1 − Pm,n ). 2. Niech Pn oznacza prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego (n, p). Pokaż, że Pn = p(1 − Pn−1 ) + (1 − p)Pn−1 , n ≥ 1. Wykorzystuja,c powyższy wzór udowodnij (przez indukcje,), że Pn = 1 + (1 − 2p)n . 2 3. Rozpatrzmy ”problem ruiny gracza” z dodatkowym zaÃlożeniem, że A i B zgodzili sie, grać nie wie,cej niż n gier. Niech Pn,i oznacza prawdopodobieństwo, że gracz A zgromadzi caÃly kapitaÃl N jeżeli zaczyna z i euro a gracz B z N − i euro. Wyraź Pn,i jako funkcje, Pn−1,i+1 i Pn−1,i−1 . Jaka jest wartość Pn,i dla n < N − i. Oblicz P7,3 , N = 5. 4. Z urny zawieraja,cej 8 biaÃlych, 4 czarne i 2 pomarańczowe kule losujemy dwie. Przypuśćmy, że wygrywamy 2 zÃl za każda, wylosowana, czarna, kule, i tracimy 1 zÃl za każda, wylosowana, biaÃla, kule,. Niech X be,dzie zmienna, losowa, oznaczaja,ca, nasza, wygrana,. Jakie wartości przyjmuje X. Znajdź rozkÃlad X. 5. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Niech X be,dzie zmienna, losowa, oznaczaja,ca, iloczyn oczek uzyskanych na obu kostkach. Znajdź rozkÃlad X. 6. Rzucamy dwa razy sześcienna, kostka, do gry. Znajdź rozkÃlady naste,puja,cych zmiennych losowych: (a) maksymalna liczba oczek jaka, otrzymaliśmy w obu rzutach; (b) minimalna liczba oczek jaka, otrzymaliśmy w obu rzutach; (c) suma oczek uzyskanych w obu rzutach; (d) liczba oczek uzyskana w pierwszym rzucie minus liczba oczek uzyskana w drugim rzucie.