Lista 2

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. IBM, PPT.
Lista zadań nr 2
2016/17
1. Rzucamy trzy razy kostka̧. Skonstruuować przestrzeń probabilistyczna̧ dla
tego doświadczenia i zapisać nastȩpuja̧ce zdarzenia jako zbiory zdarzeń elementarnych:
A = [suma oczek uzyskanych w pierwszym i drugim rzucie jest parzysta],
B = [suma oczek w uzyskanych w trzech rzutach jest parzysta],
C = [pierwszy rzut dal taki sam wynik jak trzeci],
D = [suma oczek uzyskanych we wszystkich rzutach wynosi 6].
2. Rzucamy trzy razy kostka̧. Jakie jest prawdopodobieństwo P (A), P (B),
P (C), P (D) zdarzeń z zadania 1?
3. W urnie sa̧ trzy kule biale i cztery kule czarne. Losujemy kule bez zwracania.
Wylosowanie kuli czarnej daje nam prawo do kolejnych dwóch losowań. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wyjmiemy wszystkie kule?
4. Rzucamy sześć razy moneta̧. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania
wiȩkszej liczby orlów niż reszek? Jak rozwia̧zać to zadanie bardzo prosto?
5. Z talii kart losujemy cztery karty. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kart we wszystkich kolorach?
6. Jakie jest prwawdopodobieństwo wygrania szóstki w totolotka, jeśli wypelniamy tylko jeden kupon? Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania szóstki,
jeśli skreślamy siedem liczb na kuponie?
7. Przypomnieć z wykladu dowód faktu, że dla dowolnych dwóch zdarzeń A, B
zachodza̧ wzory
P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B), P (Ac ) = 1−P (A), P (A\B) = P (A)−P (A∩B).
8. Pokazać, że jeśli (Ω, P ) jest przestrzenia̧ probabilistyczna̧ i dla A ⊆ Ω zachodzi P (A) > 0, to (A, P 0 ) też jest przetrzenia̧ probabilistyczna̧, gdzie P 0 (B) =
P (B)/P (A), dla B ⊆ A.
9. Pokazać, że jeśli (Ω, P ) jest przestrzenia̧ probabilistyczna̧ i dla A ⊆ Ω
zachodzi P (A) > 0, to (Ω, P (A) ) też jest przetrzenia̧ probabilistyczna̧, gdzie
P (A) (B) = P (B ∩ A)/P (A), dla B ⊆ Ω.
10. Pokazać, że jeśli (Ω1 , P1 ) i (Ω2 , P2 ) sa̧ przestrzeniami probabilistycznymi i
dla (ω1 , ω2 ) ∈ Ω1 × Ω2 definiujemy P1 × P2 ({(ω1 , ω2 )}) = P1 ({ω1 }) · P2 ({ω2 }),
to (Ω1 × Ω2 , P1 × P2 ) też jest przetrzenia̧ probabilistyczna̧ i dla A ⊆ Ω1 , B ⊆ Ω2
zachodzi P1 × P2 (A × B) = P1 (A) · P2 (B).
1