STATYSTYKA MATEMATYCZNA TEMATYCWICZEN dr in˙z
Transkrypt
STATYSTYKA MATEMATYCZNA TEMATYCWICZEN dr in˙z
STATYSTYKA MATEMATYCZNA TEMATY ĆWICZEŃ dr inż. Grzegorz Mzyk 1) Przestrzeń probabilistyczna, zbiór zdarzeń elementarnych, zdarzenia losowe, zmienne losowe, liczby losowe, niezależność zdarzeń, rozłaczność ˛ zdarzeń (algebra zbiorów), prawdopodobieństwo, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, dystrybuanta. 2) Cechy zmiennych losowych: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji. Statystyki opisowe (z próby): wartość średnia, odchylenie standardowe. Eksperymenty złożone, prawdopodobieństwo warunkowe. 3) Zbieżność ciagów ˛ losowych. Typy zbieżności w rozumieniu probabilistycznym. Podstawy teorii estymacji. Obcia˛żenie estymatora. Metoda najmniejszych kwadratów. 4) Sprawdzian nr 1. 5) Zmienne losowe typu ciagłego. ˛ Popularne typy rozkładów i ich cechy. Mocne prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne, twierdzenie Moivre’a-Laplace’a. Nierówność Czebyszewa. Estymacja punktowa i przedziałowa. 6) Testowanie hipotez. Zastosowanie rozkładów T-Studenta, chi-kwadrat, F-Snedecora. 7) Sprawdzian nr 2. Literatura [1] notatki z wykładu [2] tablice statystyczne [3] Klonecki - ”Statystyka matematyczna dla inżynierów” [4] Krysicki, Włodarski - ”Statystyka matematyczna” [5] Magiera - ”Modele i metody statystyki matematycznej” [6] Zieliński - ”7 wykładów wprowadzajacych ˛ do statystyki matematycznej” [7] Gajek, Kałuszka - ”Wnioskowanie statystyczne dla studentów ...” [8] Stanisz - ”Przystepny ˛ kurs statystyki w oparciu o pakiet STATISTICA PL ...” [9] Zieliński, Wieczorkowski - ”Komputerowe generatory liczb losowych” [10] Mańczak, Nahorski - ”Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych” [11] Söderström, Stoica - ”Identyfikacja systemów” PRZYKŁADOWE ZADANIA Eksperymenty z przeliczalnym zbiorem wyników 1. Niech A i B bed ˛ a˛ dowolnymi zdarzeniami losowymi, takimi, że P (A) = 0.4, P (B) = 0.3 oraz P (A a B) = 0.2. Oblicz P (A ^ B), P (A a B c ) i P (Ac a B c ). 2. Oblicz wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej X opartej o idealna˛ monete˛ (orzeł: X = 1, reszka X = 0). 3. W worku znajduje sie˛ 5 kul czarnych i 3 białe. Losujemy dwie (bez zwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane kule maja˛ różny kolor. 4. W partii składajacej ˛ sie˛ ze 100 procesorów 2 sa˛ uszkodzone. Test jakości polega na sprawdzeniu 5-ciu losowo wybranych. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wylosowanej próbie znajdzie sie˛ conajmniej 1 uszkodzony procesor. 5. 52-kartowa˛ talie˛ kart rozdano pomiedzy ˛ 4 graczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie 4 asy trafiły do jednego gracza. Eksperymenty z wynikami ciagłymi ˛ 6. Obliczyć wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale [a, b]. 7. Obliczyć wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej o symetrycznym rozkładzie trójkatnym ˛ na przedziale [−c, c]. 8. Zakładajac, ˛ że pomiar ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej µ = 123.4 i 2 ˛ on: (i) mniejszy od 120, (ii) wariancji σ = 25, oblicz prawdopodobieństwo, że bedzie wiekszy ˛ od 135, (iii) leżał w granicach od 117.4 do 129.4. 9. Zakładajac, ˛ że czas bezawaryjnej pracy zakupionego urzadzenia ˛ ma rozkład wykładniczy, oblicz prawdopodobieństwo tego, że bedzie ˛ on dłuższy niż wartość oczekiwana tego rozkładu. Eksperymenty złożone 10. Rzucamy 5 razy idealna˛ moneta.˛ Wynik eksperymentu X - to liczba uzyskanych orłów. Narysuj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. 11. Rzucamy 100 razy dwiema kostkami do gry. Oblicz oczekiwana˛ liczbe˛ rzutów w których na obu kostkach jest ta sama liczba oczek. (Wskazówka: skorzystać z przybliżenia rozkładu Bernouliego rozkładem Poissona). Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależno´s´c zdarzeń 12. W fabryce pewne detale sa˛ produkowane na 3 maszynach: a, b i c. Dziennie na maszynie a produkuje sie˛ 200 detali, z których 4% jest wadliwych, na maszynie b produkuje sie˛ 300 detali, z których 5% jest wadliwych oraz na maszynie c produkuje sie˛ 400 detali, z których 2% jest wadliwych. Cała produkcja jest składowana do jednego pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowany z pojemnika detal jest wadliwy. Jeśli jest wadliwy, to jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z maszyny a? 13. Układ jest złożony z 5 niezależnie od siebie pracujacych ˛ ogniw, połaczonych ˛ jak na rysunku: A B Prawdopodobieństwo awarii jest jednakowe dla wszystkich ogniw i wynosi p. Układ jest sprawny, gdy istnieje ścieżka od punktu A do B przechodzaca ˛ przez sprawne ogniwa. Oblicz prawdopodobieństwo, że układ bedzie ˛ sprawny. 14. Dwaj koszykarze maja˛ wykonać po 3 rzuty karne, przy czym prawdopodobieństwo zdobycia punktu w pojedynczym rzucie wynosi 0.6 dla pierwszego gracza i 0.7 dla drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że obaj zdobed ˛ a˛ równa˛ liczbe˛ punktów. Korelacja zmiennych losowych 15. Rzucamy dwiema monetami (orzeł: 1, reszka: 0). Wyliczyć korelacje˛ pomiedzy ˛ suma,˛ a iloczynem wyników obydwu monet. 16. Niech sygnał wejściowy {uk } systemu opisanego wzorem yk = αyk−1 + uk jest losowy, typu iid i ma rozkład jednostajny na przedziale [−c, c] (c ∈ (0, ∞)). Wyznaczyć wartość oczekiwana, ˛ wariancje˛ i naszkicować funkcje˛ autokowariancji procesu wyjściowego {yk }. Centralne twierdzenie graniczne, twierdzenie Moivra-LaPlacea 17. Co jest bardziej prawdopodobne w eksperymencie z idealna˛ moneta. ˛ Wyrzucenie conajmniej 60 orłów w 100 rzutach, czy wyrzucenie conajmniej 600 orłów w 1000 rzutach. 18. Pewna konstrukcja składa sie˛ ze 100 standardowych elementów. Cie˛ żar każdego z nich ma wartość średnia˛ 33N i odchylenie standardowe 2N. Konstrukcja zawali sie, ˛ jeśli jej cie˛ żar jest wiekszy ˛ niż 4kN. Oblicz prawdopodobieństwo katastrofy. Estymacja punktowa i przedziałowa 19. Rozkład cechy X i jej wartość oczekiwana w pewnej populacji sa˛ nieznane. Znana jest natomiast jej wariancja σ 2 = 1. Na podstawie serii NPpomiarów xi (i = 1, .., N) szacujemy wartość oczekiwana˛ poprzez uśrednienie xśr = N1 N i=1 xi . Jaka jest potrzebna liczba pomiarów Nmin aby na poziomie ufności 95% bład ˛ oszacowania był mniejszy niż ∆ = 0.1. 20. W zadaniu 19 założyć, że σ jest nieznane. Przy ustalonym N znajdź możliwie waski ˛ przedział [L, P ], który z prawdopodobieństwem 95% obejmuje nieznane EX. Generatory liczb losowych 21. Na podstawie generatora U˜[0, 1] opracować generator rozkładu trójkatnego ˛ metoda˛ odwracania dystrybuanty. Testowanie hipotez 22. Na podstawie przykładowej serii pomiarów przy wykorzystaniu testu chi-kwadrat zweryfikować hipoteze˛ o wartości wariancji rozkładu. 23. Na podstawie dwóch przykładowych serii pomiarów pochodzacych ˛ z 2 różnych populacji, przy wykorzystaniu rozkładu F-Snedecora zweryfikować hipoteze˛ o równości wariancji w obydwu populacjach.