powraca ass

Teoria Obwodów 2
Wykład 9 – Transformata Laplace’a oraz jej wykorzystanie w
wyznaczaniu odpowiedzi na dowolne wymuszenie –
transmitancja
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/8
tel: (071) 320 21 60
fax: (071) 320 20 06
email: [email protected]
®
1
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.
Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym................................................................................................................................................ 3
1.1
Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i impulsową układu ..................................................................... 4
1.2
Wyznaczanie transmitancji operatorowej .............................................................................................................................................................. 7
1.3
Wykorzystanie transmitancji operatorowej ......................................................................................................................................................... 10
1.4
Transmitancja operatorowa a stabilność układu .................................................................................................................................................. 20
®
2
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1. Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym
Wprowadzając metodę operatorową sukcesywnie transformowaliśmy zapisy czasowe praw Kirchhoffa w
ich formę operatorową, oraz związki prądowo-napięciowe z ich postaci różniczkowo-całkowych do postaci
operatorowego prawa Ohma i wreszcie reprezentacji elementów obwodu w schemacie operatorowym. Tak
efektywna reprezentacja była możliwa dzięki takim właściwością transformaty Laplace’a jak liniowość
przekształcenia czy transformata z pochodnej.
Podobnie jak to było w analizie stanu nieustalonego metodą klasyczną powraca pytanie, czy nie
zmieniając analizowanego obwodu, a jedynie charakter wymuszenia, muszę ponownie wykonywać pełną
analizę obwodową metodą operatorową? Czy załączając dany układ na napięcia stałe, sinusoidalne,
wykładnicze – dowolne zadane, wymagać będzie to ode mnie ponownej analizy operatorowej?
Tak stawiane pytania przywołują rozpatrywane już wcześniej pojęcie przejścia (transmisji) sygnału przez
układ, z podstawową relacją pomiędzy wejściem a wyjściem układu, pomiędzy wymuszeniem a
odpowiedzią. Wracając do dziedziny czasu, tak postawione relacje skłoniły nas do opisu obwodu
pomiędzy wejściem a wyjściem za pomocą specjalnych charakterystyk. Obwód pełni więc rolę układu, a
wspomniane charakterystyki to odpowiedź impulsowa i odpowiedź skokowa układu. W postaci
matematycznych funkcji czasowych uzyskujemy jednoznaczną reprezentuję fizycznej strukturę obwodu
pomiędzy wejściem a wyjściem.
Wykorzystanie odpowiedzi skokowej k(t) czy odpowiedzi impulsowej h(t) do wyznaczania odpowiedzi y(t)
układu na dowolne wymuszenie x(t) oparte zostało na operacji splotu:
x (t )
WE
SLS
y (t )
h (t )
k (t )
WY
®
y (t ) =
d
⎡⎣ x ( t ) ∗ k ( t ) ⎤⎦
dt
y (t ) = x (t ) ∗ h (t )
3
Całka Duhamela
Całka splotowa
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.1 Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i
impulsową układu
Definicja 1 transmitancji operatorowej:
W układzie mającym n par zacisków, każdej parze zacisków odpowiada napięcie i prąd. Transmitancją
operatorową nazywamy stosunek transformat sygnału wyjściowego układu (odpowiedzi) do transformaty
sygnału wejściowego (wymuszenia) przy warunkach początkowych zerowych
H (s) =
Y (s)
X (s)
Transmitancja może być stosunkiem transformat napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego, prądu
wyjściowego do prądu wejściowego, oraz napięcia wyjściowego do prądu wejściowego i prądu
wyjściowego na napięcia wejściowego. Transmitancja nosi również nazwę funkcji przenoszenia lub tzw.
imitancji wzajemnej.
I1 (s)
U2 ( s)
I2 (s)
U (s)
U (s)
2
1
U1 ( s )
I2 ( s )
I1 ( s )
- transmitancja napięciowa
- transmitancja prądowa
U2 ( s)
I1 ( s )
I2 ( s )
U1 ( s )
- transmitancja impedancyjna
- transmitancja admitancyjna
UWAGA: Transmitancja operatorowa nie zależy od wymuszenia, a jedynie od budowy obwodu pomiędzy
parą zacisków wejściowych a wyjściowych
®
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Do określenia transmitancji operatorowej i powiązania z wprowadzonymi już charakterystykami odpowiedzi
impulsowej i skokowej układu, posłużymy się podobnym mechanizmem jak w przypadku adaptacji praw
Kirchhoffa czy związków prądowo-napięciowych na elementach obwodu. Poddamy transformacie
Laplace’a związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu w dziedzinie czasu i przedstawimy go w
dziedzinie operatorowej:
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
y (t ) = x (t ) ∗ h (t )
Y (s) = X (s) ⋅ H (s)
SLS
SLS
x (t )
h (t )
k (t )
WE
y (t ) =
y (t )
X (s)
WY
H (s)
K (s)
WE
Y (s)
WY
Y (s) = X (s) ⋅ s ⋅ K (s)
d
d
⎡⎣ x ( t ) ∗ k ( t ) ⎤⎦ = x ( t ) ∗ k ( t )
dt
dt
{
}
Na podstawie właściwości transformaty splotu (tw. Borel’a) : L f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = F1 ( s ) ⋅ F2 ( s )
Definicja 2 transmitancji operatorowej:
Transmitancja operatorowa jest transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej układu
®
5
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Zazwyczaj łatwiej jest wyznaczyć odpowiedź jednostkową niż impulsową. Podkreślmy zatem poszczególne
zależności pomiędzy odpowiedzią jednostkową a impulsową, a także pomiędzy transformatą Laplace’a
odpowiedzi jednostkowej a transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej, czyli transmitancją:
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
H (s)
h (t )
d
h (t ) = k (t )
dt
H (s) = s ⋅ K (s)
W przypadku napięć i prądów wejściowych dla dwójnika możemy również rozważyć zależności pomiędzy
transformatami sygnałów wejściowych. Nazwiemy tę zależność imitancją operatorową.
Definicja imitancji operatorowej wejściowej:
Imitancją operatorową nazwiemy stosunek transformaty napięcia i prądu dwójnika przy warunkach
początkowych zerowych. Wielkość ta może być stosunkiem prądu do napięcia bądź napięcia do prądu.
U1 ( s )
I1(s)
I1 ( s )
I1 ( s )
U1(s)
U1 ( s )
- imitancja operatorowa (impedancja)
- imitancja operatorowa (admitancja)
UWAGA: Imitancja obwodu nie zależy od wymuszenia a jedynie od budowy obwodu pomiędzy zaciskami.
®
6
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.2 Wyznaczanie transmitancji operatorowej
Wprowadzenie w dziedzinie czasu odpowiedzi impulsowej miało służyć jednoznacznej charakterystyce
obwodu pozostającego pomiędzy parą zacisków wejściowych i wyjściowych, niezależnej od wymuszenia.
Podobnie w przypadku transmitancji operatorowej spodziewamy się możliwości jej jednoznacznego
wyznaczenia, niezależnie od wymuszenia, tj. opierając się jedynie na budowie obwodu pomiędzy parą
zacisków wejściowych a wyjściowych. Przypomnijmy, że do wyznaczania transmitancji przyjmujemy
zerowe warunki początkowe.
Najczęstszy przykład wyznaczania transmitancji dotyczy transmitancji napięciowej, tj. stosunku
transformaty napięcia wyjściowego U2(s) do wejściowego U1(s). Pokażemy, że transmitancję tą
jednoznacznie określa relacja impedancji operatorowych tworzących dzielnik operatorowy napięcia
wejściowego.
Nawiązując do definicji transmitancji operatorowej: H
określimy sygnały wejściowe i wyjściowej jako
Y ( s) = U2 ( s).
(s) =
Y (s)
X (s)
X ( s ) = U1 ( s )
oraz
Napięcia U2(s) oraz U1(s) łączy relacja dzielnika napięciowego w postaci:
U 2 ( s ) = U1 ( s )
®
Z2 ( s )
Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
→ H (s) =
7
U2 ( s)
U1 ( s )
=
Z1(s)
U1(s)
Z2(s)
WE
Z2 ( s )
Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
U2(s)
WY
Teoria Obwodów 2
Przykład 1: Wyznacz transmitancję operatorową układu
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
i(t)
Z1(s)
WE
uR(t)
uc(t)
Z1 ( s ) = R
1
Z2 ( s ) =
sC
C
U1(s)
WY
Z2(s)
U2(s)
WY
WE
1
sc
1
U2 ( s)
Z2 ( s )
1
1
1
=
=
= sC =
=
H (s) =
sRC + 1 sRC + 1 RC
1
U 1 ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s ) R + 1
s+
sc
sC
RC
®
8
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Przykład 2: Wyznacz transmitancję operatorową układu
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
R
u1(t)
WE
R
C
Z1(s)
u2(t)
U1(s)
WY
WE
Z2(s)
U2(s)
WY
Z1 ( s ) = R
Z2 ( s ) = R +
1
sRC + 1
=
sC
sC
sRC + 1
sRC + 1
1
+
s
U2 ( s)
Z2 ( s )
sRC + 1
RC
RC =
sC
sC
=
=
=
=
=
H (s) =
U 1 ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s ) R + sRC + 1 s2RC + 1 s2RC + 1 2 RC s + 1
2RC
sC
sC
1
1
1
⎛
⎞
+
s+
⎟ 1
1
1⎜
1
1
2RC
2RC
2RC
=
= ⎜1+
=
+
⋅
1
1 ⎟ 2 2RC
1
2
2
⎜
⎟
s+
s+
s+
2RC
2RC ⎠
2RC
⎝
®
9
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.3 Wykorzystanie transmitancji operatorowej
Wykorzystanie reprezentacji obwodu pomiędzy wejściem a wyjściem w postaci transmitancji operatorowej
daje możliwości efektywnego wykorzystania tej formy głównie w dwóch przypadkach:
1. wyznaczania odpowiedzi impulsowej h(t) i skokowej k(t) układu,
2. wyznaczania odpowiedzi układu y(t) na zadane wymuszenie x(t).
Ad.1. Możliwość wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej układu za pomocą transmitancji
operatorowej wynika z bezpośrednich związków:
h (t ) = L
−1
{H ( s )} ;
⎧ H (s) ⎫
k ( t ) = L { K ( s )} = L ⎨
⎬
s
⎩
⎭
−1
−1
Przykład 1: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu:
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
i(t)
Z1(s)
WE
uR(t)
uc(t)
C
WY
U2(s)
WY
WE
H (s) =
h ( t ) = ?, k ( t ) = ?
®
Z2(s)
U1(s)
10
1
1
⋅
RC s + 1
RC
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Odpowiedź impulsowa h(t):
⎧
⎫
1
⎪ 1
1 ⎪ ⎡ 1 − RC t ⎤
−1
−1
h ( t ) = L { H ( s )} = L ⎨
e
1( t )
⋅
=⎢
⎬
⎥
⎦
⎪ RC s + 1 ⎪ ⎣ RC
RC ⎭
⎩
Odpowiedź skokowa k(t):
⎧
⎫
⎧
⎫
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎧
⎫
1
1
1
−1
−1 H ( s )
−1 ⎪ 1
−1 ⎪
⋅
⋅L ⎨
k ( t ) = L { K ( s )} = L ⎨
⎬=L ⎨
⎬=
⎬
1
1
s
RC
RC
⎛
⎞⎪
⎛
⎞⎪
⎩
⎭
⎪
⎪
+
s⎜ s +
s
s
⎪⎩
⎪⎩ ⎜⎝
RC ⎟⎠ ⎪⎭
RC ⎟⎠ ⎪⎭
⎝
Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:
s1 = 0 , n1 = 1; s2 =
−1
, n2 = 1
RC
Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:
1
1 ⎞
⎛
s⎜ s +
RC ⎟⎠
⎝
=
A11
A21
+
1
s
s+
RC
®
11
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
A11 =
lim
s →0
s⋅
1
1 ⎞
⎛
s ⎜s+
RC ⎟⎠
⎝
= RC
lim
1 ⎞
1
⎛
A11 =
= − RC
1 ⎜s+
⎟⋅
RC
s→−
1 ⎞
⎝
⎠ ⎛
s⎜s+
RC
RC ⎟⎠
⎝
Stąd:
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧
⎫
1
t⎤
−
⎡
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
A
A
1
1
RC
RC
1
1
−
−1
−1
−1
11
21
RC
k (t ) =
⋅L ⎨
+
⋅L ⎨
+
⎬=
⎬=L ⎨ −
⎬ = ⎢1 − e
⎥ 1( t )
1
1
1
RC
⎦
⎪ s
⎪ RC
⎪ s
⎪
⎪s s +
⎪ ⎣
s+
s+
RC ⎭
RC ⎭
RC ⎭
⎩
⎩
⎩
UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu
skokiem jednostkowym (wykład 05 z wykorzystaniem wykładu 3)
®
12
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Przykład 2: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu:
Dziedzina czas t
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
R
u1(t)
WE
R
C
Z1(s)
u2(t)
Z2(s)
U1(s)
WY
WY
WE
h ( t ) = ?, k ( t ) = ?
U2(s)
1
1
1
RC = 1 + 1 ⋅
H (s) =
2 s+ 1
2 2RC s + 1
2RC
2RC
s+
Odpowiedź impulsowa h(t):
⎧
⎫
1
t⎤
−
⎡
⎪
⎪
1
1
1
1
1
−1
−1
2 RC
h ( t ) = L { H ( s )} = L ⎨ +
e
⋅
⎬ = ⎢ δ (t ) +
⎥ 1( t )
1
2RC
⎦
⎪ 2 2RC s +
⎪ ⎣2
2RC ⎭
⎩
®
13
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Odpowiedź skokowa k(t):
⎧
⎫
1 ⎫
1
⎧
s+
⎪⎪ s +
⎪⎪
⎧
⎫
⎪
1
−1
−1 H ( s )
−1 ⎪ 1
−
1
RC = ⋅ L
RC
k ( t ) = L { K ( s )} = L ⎨
⎬=L ⎨
⎬
⎨
⎬
1
1
s
2
2
⎛
⎞
⎩
⎭
⎪ s+
⎪
⎪s⎜ s +
⎪
⎟
2RC ⎭
⎩
2RC ⎠ ⎪⎭
⎪⎩ ⎝
Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:
−1
s1 = 0 , n1 = 1; s2 =
, n2 = 1
2RC
Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:
1
RC = A11 + A21
1
1 ⎞
s
⎛
s+
s⎜ s +
⎟
2RC
2RC ⎠
⎝
s+
®
14
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1
1
lim
RC
A11 =
s⋅
= RC = 2
1
1 ⎞
s →0
⎛
s ⎜s+
2RC ⎟⎠ 2RC
⎝
1
1
1
1
lim
s+
−
+
1 ⎞
⎛
RC
2RC RC = 2RC = 1
⋅
A11 =
s
=
+
1 ⎜
1
1
2RC ⎟⎠ ⎛
s→−
1 ⎞
⎝
s⎜s+
2RC
2RC
2RC
2RC ⎟⎠
⎝
s+
Stąd:
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧
⎫
1
⎪
⎪
A21 ⎪ 1 −1 ⎪ 2
1 −1 ⎪ A11
1
1 1 ⎪ ⎡ 1 − 2 RC t ⎤
−1 1
k (t ) = ⋅ L ⎨
+
⎬ = ⋅L ⎨ +
⎬=L ⎨ +
⎬ = ⎢1 − e
⎥ 1( t )
1
1
1
2
⎦
⎪ s
⎪ 2
⎪s s+
⎪
⎪s 2 s +
⎪ ⎣ 2
s+
2RC ⎭
2RC ⎭
RC ⎭
⎩
⎩
⎩
UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu
skokiem jednostkowym (samodzielnie)
®
15
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Transmitancja charakteryzuje jednoznacznie obwód pomiędzy wejściem a wyjściem, dzięki czemu nie jest
konieczna pełna analiza obwodu w metodzie operatorowej, kiedy poruszamy kwestię odpowiedzi na różne
wymuszenia.
Ad.2. Możliwość wyznaczania odpowiedzi układu na zadane wymuszenie za pomocą transmitancji
operatorowej wynika z zapisu całki splotowej w postaci operatorowej:
y ( t ) = L −1 { H ( s ) ⋅ X ( s )} ; y ( t ) = L −1 {sK ( s ) ⋅ X ( s )}
Przykład 1: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie ekspotencjalne
x ( t ) = u1 ( t ) = e −α t 1( t ) :
Dziedzina czas t
i(t)
WE
uR(t)
uc(t)
C
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
Z1(s)
WY
U2(s)
WY
WE
1
1
⋅
RC s + 1
RC
1
U1 ( s ) =
s +α
H (s) =
y (t ) = ?
x ( t ) = u1 ( t ) = e −α t 1( t )
®
Z2(s)
U1(s)
16
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
⎧
⎫
⎪ 1
1
1 ⎪
−1
−1
y ( t ) = u2 ( t ) = L { H ( s ) ⋅ X ( s )} = L ⎨
⋅
⋅
⎬
1
RC
s
α
+
⎪
⎪
s+
RC
⎩
⎭
Transformata odpowiedzi Y(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:
s1 = −
1
, n1 = 1; s2 = −α , n2 = 1.
RC
Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując metodę residuów:
⎡ res
⎤
res
st
y ( t ) = u2 ( t ) = ⎢
Y ( s ) ⋅ e st ⎥ 1( t )
1 Y (s) ⋅ e +
⎢s = −
⎥
s = −α
RC
⎣
⎦
⎛
⎞
⎟
res
lim ⎜
1
−
t
1
1
1
1
1
⎛
⎞
st
st
⎜
⎟
RC
⋅e =
⋅
=
⋅ ⎜s+
e
⋅
1 Y (s) ⋅ e =
1 ⎜
⎟
⎟
1
RC ⎠
RC −
RC ⎛
s=−
s→−
1 ⎞
⎝
+α
s
α
+
s
+
⎜
⎟
RC
RC ⎜
(
)
⎜
⎟
⎟
RC
RC ⎠
⎝
⎝
⎠
1
1
t
t
−
−
1
1
RC
RC
e
e
=
=−
1 − α RC
−1 + α RC
{
{
}
{
}
}
®
17
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
res
Y ( s ) ⋅ e st
s = −α
{
=
1
(1 − α RC )
}
⎛
⎞
⎟
lim ⎜ 1
1
1
1
st
⎜
e −α t
⋅
=
⋅
⋅ (s +α ) ⋅e ⎟ =
1 ⎞
s → −α ⎜ RC ⎛
⎟ RC ⎛ −α + 1 ⎞
+
+
s
s
α
(
)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
RC
RC
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
e −α t
Stąd:
1
⎡
t ⎞⎤
⎛ −α t − RC
1
y ( t ) = u2 ( t ) = ⎢
⎜e −e
⎟ ⎥ 1( t )
1
RC
−
α
)⎝
⎢⎣ (
⎠ ⎥⎦
UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi analizowanego układu za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą splot odpowiedzi impulsowej z zadanym
wymuszeniem (wykład 05).
®
18
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Rozwiąż samodzielnie Przykład 2: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie
ekspotencjalne
x ( t ) = u1 ( t ) = e −α t 1( t ) :
Dziedzina czas t
R
u1(t)
WE
R
C
Dziedzina operatorowa (zespolona) s
Z1(s)
u2(t)
U1(s)
WY
Z2(s)
WY
WE
y (t ) = ?
U2(s)
1
s+
1
RC
H (s) =
2 s+ 1
2RC
1
U1 ( s ) =
s +α
x ( t ) = u1 ( t ) = e −α t 1( t )
Odp:
1
⎡ 1 − α RC −α t 1
t⎤
−
1
2 RC
y ( t ) = u2 ( t ) = ⎢
e −
e
⎥ 1( t )
2 ( 1 − α 2RC )
⎣ ( 1 − α 2RC )
⎦
®
19
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.4 Transmitancja operatorowa a stabilność układu
Jednym z ważnych zagadnień dotyczących pracy układów (systemów) jest pojęcie stabilności względem
ograniczonego pobudzenia (wymuszania). Jest to stabilność typu BIBO (Bounded Input Bounded Output).
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu liniowego stacjonarnego o stałych
współczynnikach (SLS) jest, by odpowiedź tego układu była ograniczona, tzn. przyjmowała postać
h ( t ) = ho ( t ) + δ ( t )
gdzie:
lim
t → +∞
lim
t → +∞
ho ( t ) = 0
- układ asymptotycznie stabilny,
ho ( t ) ≠ 0 < ∞
- układ na granicy stabilności,
Przy ograniczonym wymuszeniu stabilność systemu jest cechą jedynie systemu i nie zależy od
wymuszenia. Podobnie traktowaliśmy odpowiedź impulsową, jako charakterystykę jednoznacznie
opisującą dany system, bez znaczenia na rodzaj wymuszenia.
W dziedzinie operatorowej rolę podobnej niezależnej charakterystyki systemu pełni transmitancja
operatorowa. A zatem podobnie jak istnieją związki pomiędzy charakterem odpowiedzi impulsowej a
stabilnością, tak istnieją związki pomiędzy strukturą transmitancji a stabilnością.
®
20
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
W układach SLS transmitancja ma najczęściej postać wielomianu:
H (s) =
Y (s)
X (s)
L( s)
bn s m + bn −1 s m−1 + … + b1 s + b0
=
=
an s n + an −1 s n −1 + … + a1 s + a0 an ( s − s1 )n1 ( s − s2 )n2 … ( s − sr )nr
Warunkiem koniecznym i wystarczającym by układ SLS, o wymiernej transmitancji, był asymptotycznie
stabilny w sensie BIBO jest, by wszystkie jego bieguny leżały w lewej półpłaszczyźnie, tzn.
1.
st { L ( s )} ≤ st {M ( s )}
2. Dla wszystkich biegunów transmitancji tj.
M ( sk ) = 0 ; Re {sk } < 0
Jednym ze sposobów badania stabilności układu jest określenie położenia biegunów transmitancji.
Gdyby przyjrzeć się dokładnie rozkładowi transmitancji na ułamki proste możemy wyróżnić kilka
szczególnych składników rozkładu. Ich budowa pozwala przewidzieć charakter odpowiedzi impulsowej na
podstawie położenia biegunów.
Rozważmy pewne szczególne położenia biegunów i związane z nim elementy rozkładu H(s) na ułamki
proste w relacji do odpowiedzi impulsowej h(t):
®
21
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
c
sk + a
hk ( t ) = ce − at 1( t )
Pojedynczemu biegunowi w lewej półpłaszczyźnie
sk=-a odpowiada malejąca wykładniczo funkcja
czasu
Jeśli „a” jest dodatnie wyrażenie generuje
biegun leżący na osi rzeczywistej w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie sk=-a
1
hk
0.9
Im{s}
0.8
0.7
s k=-a
Re{s}
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
®
22
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
2. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
c
( sk + σ )
2
hk ( t ) =
+ ω2
Jeśli „σ ” jest dodatnie wyrażenie generuje
bieguny zespolone sprzężone leżące w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej s : sk = −σ + jω
oraz
ω
e −α t sin (ωt ) 1 ( t )
Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
w lewej półpłaszczyźnie odpowiada tłumiona funkcja
sinusoidalna
sk = −σ − jω
sk = −σ + jω
c
0.8
hk
0.6
Im{s}
0.4
Re{s}
0.2
0
sk = −σ − jω
-0.2
-0.4
-0.6
-1
®
23
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
3. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
c
( sk )
2
hk ( t ) =
+ ω2
Wyrażenie generuje bieguny zespolone
sprzężone leżące na osi urojonej płaszczyzny
zmiennej s w punkcie sk = jω oraz sk = − jω
ω
sin (ωt ) 1 ( t )
Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna
hk
0.08
Im{s}
sk = jω
c
0.06
0.04
Re{s}
0.02
sk = − jω
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-1
®
24
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
4. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
c
sk + a
hk ( t ) = ce − at 1( t )
Jeśli „a” jest ujemne wyrażenie generuje biegun Pojedynczemu biegunowi w prawej półpłaszczyźnie
sk=a odpowiada narastająca wykładniczo funkcja
leżący na osi rzeczywistej w prawej
czasu
półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie sk=a
Im{s}
140
sk =a
Re{s}
hk
120
100
80
60
40
20
0
-1
®
25
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
5. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
c
( sk + σ )
2
hk ( t ) =
+ ω2
Jeśli „σ ” jest ujemne wyrażenie generuje
bieguny zespolone sprzężone leżące w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s : sk = σ + jω oraz
c
ω
e −α t sin (ωt ) 1 ( t )
Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
w prawej półpłaszczyźnie odpowiada narastająca
funkcja sinusoidalna
sk = σ − jω
hk
80
60
40
Im{s}
sk = σ + jω
20
0
Re{s}
-20
-40
sk = σ − jω
-60
-80
-100
-120
-1
®
26
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
hk
0.08
0.06
0.04
0.02
0
Obszar odpowiedzi
sinusoidalnej
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-1
0
1
2
3
4
Im{s}
1
140
hk
0.9
Re{s}
0.8
0.7
hk
120
100
0.6
80
0.5
60
0.4
0.3
40
0.2
20
0.1
0
-1
0
1
2
3
0
-1
4
0
1
2
3
4
Obszar odpowiedzi
niesinusoidalnej (najczęściej
wykładniczej)
rosnącej
Obszar odpowiedzi
niesinusoidalnej (najczęściej
wykładniczej)
malejącej
0.8
hk
hk
80
60
0.6
40
0.4
20
0
0.2
-20
0
-40
-60
-0.2
-80
-0.4
-0.6
-1
-100
-120
0
1
2
3
-1
4
0
1
2
3
4
Obszar odpowiedzi
sinusoidalnej narastającej
Obszar odpowiedzi
sinusoidalnej malejącej
BIEGUNY POJEDYNCZE W TYM ZESPOLONE SPRZEŻONE
®
27
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
UWAGA: analiza stabilności obwodu przy biegunach wielokrotnych, lub przy wielomianach
mianownika o dużych stopniach, wymaga bardziej zaawansowanych metod np. stosując
algebraiczne metody badania stabilności (kryterium Huriwitza, Routha)
Przykład wpływu krotności biegunów na stabilność - bieguny dwukrotne zespolone sprzężone
na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s
Dziedzina operatorowa s
Dziedzina czasu t
Element rozkładu H(s) na ułamki proste
Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)
H k ( sk ) =
(( s )
k
1
2
+ω
2
)
hk ( t ) =
2
2ω
3
( sin (ωt ) − ωt cos (ωt ) ) 1( t )
Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna
narastają a
Wyrażenie generuje bieguny zespolone
sprzężone dwukrotne leżące na osi urojonej
płaszczyzny zmiennej s w punkcie sk = jω
oraz
1
sk = − jω
hk
0.02
0.015
0.01
Im{s}
sk = jω
2
sk = − jω
2
0.005
0
Re{s}
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-1
®
28
0
1
2
3
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
®
29
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski