4.4.3 Hipoteza skracalności
Transkrypt
4.4.3 Hipoteza skracalności
4.4.3 Hipoteza skracalności ] Przy stosowaniu transmitancji operatorowych w praktyce często podczas mnożenia funkcji wymiernej przez wielomian wykonuje się operację skracania. Typowy przykład to rozwiązanie liniowego równania różniczkowego metodą operatorową: A( s ) x( s ) = B ( s )u ( s ) w którym A(s) i B(s) to wielomiany wynikające z transformaty równania różniczkowego. Aby wyznaczyć transformatę rozwiązania x(s) dzieli się równanie operatorowe obustronnie przez wielomian A(s): A( s ) x( s ) B( s )u ( s ) = A( s ) A( s ) a następnie skraca się lewą stronę i otrzymuje wynik w postaci transmitancji wymiernej: x( s) = B(s) u ( s ) = G ( s )u ( s ) A( s ) Formalnie rzecz biorąc należałoby założyć, że wynik jest poprawny tylko wówczas, gdy wielomian A(s) jest różny od zera. Podany wynik wykorzystuje się jednak w całym zakresie wartości s, również w biegunach transmitancji, i co więcej jest on poprawny. Innym przykładem tego typu jest wyznaczenie transmitancji zastępczej układu ze sprzężeniem zwrotnym Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.). W przypadku gdy transmitancja układu otwartego G(s) jest funkcją wymierną L(s)/M(s), otrzymujemy: G z ( s) = 1 = 1 + G(s) 1 L( s) 1+ M (s) Sprowadzając ułamek piętrowy do funkcji wymiernej, również wykonujemy operację skracania: G z ( s) = M ( s) M ( s) 1 ⋅ = M ( s ) + L ( s ) M ( s ) M ( s ) + L( s ) M (s) Wynik jest także poprawny zawsze, choć formalnie należałoby założyć, że wielomian M(s) musi być różny od zera. Bez operacji skracania w obliczeniach praktycznych nastąpiłby prawdziwy impas. Przyjmuje się więc milcząco pewną hipotezę skracalności, która na ogół prowadzi do wyników zgodnych z doświadczeniem. Z punktu widzenia matematyki jest to hipoteza ciągłości funkcji typu: F ( s) = s − s0 s − s0 Normalnie funkcja F(s) przyjmuje wartość 1 wszędzie poza punktem s=s0, gdzie jest symbolem nieokreślonym typu 0/0. Hipoteza ciągłości zakłada, że wartość funkcji F(s) w punkcie s=s0 jest równa granicy funkcji F(s) przy s→s0 i można ją wyznaczyć stosując regułę de l’Hospitala: d ( s − s0 ) s − s0 ds = lim =1 F ( s0 ) = lim s → s 0 s − s0 s → s 0 d ( s − s0 ) ds Przyjęcie hipotezy skracalności nie zawsze jest dopuszczalne. Ilustruje to kolejny przykład dotyczący badania stabilności układu ze sprzężeniem zwrotnym, w przypadku gdy transmitancja układu otwartego ma postać: G (s) = k 1 − sT ⋅ 1 − sT 1 + sT przy czym parametry k i T są dodatnie. Transmitancja G(s) odpowiada szeregowemu połączeniu niestabilnego członu inercyjnego i przesuwnika fazowego. Przyjmując hipotezę skracalności można ją uprościć. Wówczas transmitancja układu zamkniętego Gz(s) wyznaczona na podstawie wzoru Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.) ma postać: G z ( s) = 1 = 1 + G (s) 1 1+ k 1 + sT = 1 + sT 1 + sT + k Układ zamknięty jest stabilny, ponieważ transmitancja Gz(s) ma jeden ujemny biegun: s1 = − k +1 T Jeśli wyznaczymy transmitancję Gz(s) bez hipotezy skracalności, podstawiając do wzoru Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.) pełną postać transmitancji G(s), to: 1 G z ( s) = 1+ k 1 − sT 1 − sT 1 + sT = (1 − sT )(1 + sT ) (1 − sT )(1 + sT ) = (1 − sT )(1 + sT ) + k (1 − sT ) (1 − sT )(1 + sT + k ) Transmitancja układu zamkniętego ma teraz dwa bieguny: s1 = − 1 k +1 oraz s 2 = T T Ponieważ jeden z biegunów jest dodatni, więc układ zamknięty jest niestabilny, co jest sprzeczne z poprzednim wnioskiem. Układ jednak nie jest jednocześnie stabilny i niestabilny, tylko zawodzi hipoteza skracalności. Doświadczalne sprawdzenie wyniku pokazałoby, że w tym przypadku zarówno układ otwarty jak i zamknięty są niestabilne. O dopuszczalności operacji skracania decyduje położenie pierwiastka wielomianu, który ulega skróceniu. Jeśli wielomian ten ma pierwiastek w lewej półpłaszczyźnie zespolonej, to hipoteza skracalności jest warunkowo słuszna. Tym warunkiem jest, aby skrócony model nie był wykorzystywany do badania problemów, w których występują niezerowe warunki początkowe1. Jeśli pierwiastek skracanego wielomianu nie leży w lewej półpłaszczyźnie, to hipoteza skracalności zawodzi. W praktyce jednak zdarza się, że podczas operacji skracane są wielomiany wyższego rzędu i nikt nie sprawdza ich pierwiastków. W efekcie transmitancja może „gubić” wewnętrzne przebiegi modelu, a mogą być one niestabilne. 1 skrócenie przy niezerowych warunkach początkowych spowodowałoby nieciągłość sygnałów Możliwość „skracania” transmitancji ma zastosowanie praktyczne. Operacja nazywa się kompensacją biegunów transmitancji i polega wykonaniu celowych zabiegów konstruktorskich na obiekcie, które spowodują, że w transmitancji obiektu pojawi się człon typu: G (s) = ... s − s0 k .... s − s 0 gdzie s0 jest biegunem transmitancji pierwotnego obiektu, s0k – zerem transmitancji wynikającej ze zmiany obiektu. Najprostszą zmianą tego typu jest dołączenie szeregowo do obiektu odpowiedniego członu korekcyjnego. Jeśli zapewnimy, że s0=s0k, to zero członu korekcyjnego powinno skompensować biegun transmitancji obiektu. Działanie przynosi efekty, jeśli spełniona jest hipoteza skracalności, czyli kompensowany biegun leży w ujemnej półpłaszczyźnie. Nie można więc tą metodą likwidować niestabilności obiektu2, ale można kompensować wpływ znaczących stałych czasowych. Źródło: Fragment z książki Czemplik A., Modele dynamiki układów fizycznych, WNT, Warszawa 2008 Kurman K.J., Teoria regulacji, WNT, Warszawa 1975 [s.251, 288] 2 jedyną skuteczną metodą likwidacji niestabilności jest zastosowanie sprzężenia zwrotnego.